高中全程复习方略配套三角函数的诱导公式ppt课件

1、第二节 三角函数的诱导公式三年三年1 1考考 高考指数高考指数: :能利用单位圆中的三角函数线推导出能利用单位圆中的三角函数线推导出 的正弦、余的正弦、余弦、正切的诱导公式弦、正切的诱导公式. .2，1.1.利用诱导公式求值或化简三角函数式是调查重点也是热点利用诱导公式求值或化简三角函数式是调查重点也是热点. .2.2.主要以选择题、填空题的方式调查主要以选择题、填空题的方式调查. .三角函数的诱导公式三角函数的诱导公式(1)(1)三角函数的诱导公式三角函数的诱导公式: :(2)(2)诱导公式的记忆方法与规律：诱导公式的记忆方法与规律：记忆口诀：记忆口诀：“奇变偶不变，符号看象限奇变偶不变，符

2、号看象限.(.(解释：公式中的解释：公式中的角可以表示为角可以表示为k k (kZ)(kZ)的方式，的方式，“奇、偶是指奇、偶是指k k的奇的奇偶性；偶性；“符号是指把恣意角符号是指把恣意角看作是锐角时原函数值的符号看作是锐角时原函数值的符号) )可以分类记忆：函数称号可以分类记忆：函数称号“变与不变，函数值的符号变与不变，函数值的符号“变变与不变与不变. .2【即时运用】【即时运用】(1)(1)思索思索:“:“符号看象限中符号能否与符号看象限中符号能否与的大小有关？的大小有关？提示提示: :无关，只是把无关，只是把从方式上看作锐角，从而从方式上看作锐角，从而2k+(kZ)2k+(kZ)，+,

3、-,-, -+,-,-, -， + +分别是第一、三、四、二、一、分别是第一、三、四、二、一、二象限角二象限角. .(2)sin(- )=_.(2)sin(- )=_.【解析】【解析】sin(- )=-sin(+ )=sin =sin(- )=-sin(+ )=sin =答案：答案：224343333.232(3)(3)知知tan(+)=3,tan(+)=3,那么那么 =_. =_.【解析】【解析】tan(+)=3,tan=3.tan(+)=3,tan=3.原式原式答案：答案：7 72cos()3sin()4cos()sin(2) 2cos3sin23tan23 37.4cossin4tan4

4、3 利用诱导公式求值利用诱导公式求值【方法点睛】利用诱导公式解题的原那么和步骤【方法点睛】利用诱导公式解题的原那么和步骤1.1.诱导公式运用的原那么：诱导公式运用的原那么：负化正、大化小，化到锐角为终了负化正、大化小，化到锐角为终了. .2.2.诱导公式运用的步骤：诱导公式运用的步骤：恣意负角的三角函数恣意负角的三角函数 恣意正角的三角函数恣意正角的三角函数 0 022的角的三角函数的角的三角函数 锐角三角函数锐角三角函数【提示】诱导公式运用时不要忽略了角的范围和三角函数的符号【提示】诱导公式运用时不要忽略了角的范围和三角函数的符号. .【例【例1 1】(1)(1)知知tan=2,sin+co

5、s0,tan=2,sin+cos0,tan=20,为第一象限角或第三象限角，为第一象限角或第三象限角，又又sin+cos0,sin+cos0,sin+cos0,再求所给式子的值再求所给式子的值. .【解析】【解析】tan=3,sin+cos0,tan=3,sin+cos0,为第一象限角为第一象限角, , 得得sin=3cos,sin=3cos,代入代入sin2+cos2=1,sin2+cos2=1,解得解得: :sintan3,cos 3 10sin.10 【反思【反思感悟】在利用诱导公式求值时，普通要先化简，再根感悟】在利用诱导公式求值时，普通要先化简，再根据条件求值，掌握诱导公式的关键是对

6、据条件求值，掌握诱导公式的关键是对“函数称号和函数称号和“正负正负号的正确判别号的正确判别. .另外，诱导公式的运用非常灵敏，可以正用、另外，诱导公式的运用非常灵敏，可以正用、逆用和变形运用逆用和变形运用, ,但是要尽量避开平方关系但是要尽量避开平方关系. .【变式备选】知【变式备选】知sin(- )=a(asin(- )=a(a1,a0),1,a0),求求cos(+ )tan(- )+ cos(+ )tan(- )+ 的值的值. .【解析】【解析】51451159tan()526cos()59tan()14115cos() tan()2655cos()5tan()5cos() tan()55

7、cos()5 3222sin()aa2a5sin()a.51a1acos ()5 利用诱导公式化简证明利用诱导公式化简证明【方法点睛】【方法点睛】1.1.利用诱导公式化简三角函数的思绪和要求利用诱导公式化简三角函数的思绪和要求(1)(1)思绪方法：分析构造特点，选择恰当公式；利用公式思绪方法：分析构造特点，选择恰当公式；利用公式化成单角三角函数；整理得最简方式化成单角三角函数；整理得最简方式. .(2)(2)化简要求：化简过程是恒等变形；结果要求项数尽能化简要求：化简过程是恒等变形；结果要求项数尽能够少，次数尽能够低，构造尽能够简单，能求值的要求出值够少，次数尽能够低，构造尽能够简单，能求值的

8、要求出值. .2.2.三角恒等式证明的常用方法三角恒等式证明的常用方法(1)(1)从左向右证或从右向左证从左向右证或从右向左证( (以从繁化到简为原那么以从繁化到简为原那么).).(2)(2)两边向中间证两边向中间证. .(3)(3)证明一个与原等式等价的式子证明一个与原等式等价的式子, ,从而推出原等式成立从而推出原等式成立. .【例【例2 2】(1)(1)化简化简: :(2)(2)求证求证: :对于恣意的整数对于恣意的整数k,k,【解题指南】【解题指南】(1)(1)把所给的三角函数式化简，约分得结果把所给的三角函数式化简，约分得结果. .(2)(2)由于此题中的由于此题中的k k不明确，需

9、求对其分偶数和奇数讨论不明确，需求对其分偶数和奇数讨论. .3sin(2) cos(3) cos()2;sin(3) sin() cos()sin(k)cos(k)1.sin(k+1)cos(k-1) 【规范解答】【规范解答】(1)(1)原式原式= = (2)(2)当当k k为偶数时为偶数时, ,设设k=2n(nZ),k=2n(nZ),那么原式那么原式= = = = 当当k k为奇数时为奇数时, ,设设k=2n+1(nZ)k=2n+1(nZ)，那么原式那么原式= = = =sin( cos ) sin1.sin( sin ) ( cos ) sin(2n)cos(2n)sin(2n)cos(2

10、n)( sin )cos1( sin )( cos ) ；sin(2n+1)cos(2n+1)sin(2n+2)cos(2n)sin cos1.sin cos 故对恣意的整数故对恣意的整数k, k, sin(k)cos(k)1.sin(k+1)cos(k-1) 【互动探求】将本例【互动探求】将本例(1)(1)化简式变为化简式变为 如何化简如何化简? ?【解析】原式【解析】原式= = = = =3tan()cos(2)sin()2,cos()sin()( tan ) cos() sin()2cos()sin()( tan ) cossin(-)2( cos ) sin( tan ) cos( c

11、os )( cos ) sin ( tan ) cossincos()1.sincossin 【反思【反思感悟】感悟】1.1.在用诱导公式时在用诱导公式时, ,式子符号的判别看象限式子符号的判别看象限, ,留留意把恣意角意把恣意角看成锐角来处置看成锐角来处置. .2.2.把异角利用诱导公式化为同角把异角利用诱导公式化为同角, ,再用同角三角函数关系式化再用同角三角函数关系式化简是求解的关键简是求解的关键. .【变式备选】【变式备选】(1)(1)化简化简(2)(2)求证求证: :sin()cos()sin()cos()222;cos()sin()sin 1440cos10801.cos180si

12、n(180 ) 【解析】【解析】(1)(1)由于由于所以原式所以原式=-sin+sin=0.=-sin+sin=0.(2)(2)由于左边由于左边= = = =-1= =-1=右边右边, ,所以原等式成立所以原等式成立. .sin()cos()cossin22sincos()cos ，sin()cos()sinsin2sin ,sin()sin sin(4 360 ) cos(3 360 )cos(180) sin180 sincoscos(180)sin(180)sincos( cos ) sin 诱导公式在三角形中的运用诱导公式在三角形中的运用【方法点睛】三角形中的诱导公式【方法点睛】三角形

13、中的诱导公式在三角形在三角形ABC ABC 中常用到以下结论中常用到以下结论: :sin(A+B)=sin(-C)=sinC,sin(A+B)=sin(-C)=sinC,cos(A+B)=cos(-C)=-cosC,cos(A+B)=cos(-C)=-cosC,tan(A+B)=tan(-C)=-tanC,tan(A+B)=tan(-C)=-tanC,sin( )=sin( )=sin( )=sin( )=cos( )=cos( )=cos( )=cos( )=AB22C22Ccos,2AB22C22Csin.2【例【例3 3】在】在ABCABC中，假设中，假设sin(2-A)=- sin(-

14、B), cosA=sin(2-A)=- sin(-B), cosA=- cos(-B),- cos(-B),求求ABCABC的三个内角的三个内角. .【解题指南】先利用诱导公式化简知条件，再利用平方关系求【解题指南】先利用诱导公式化简知条件，再利用平方关系求得得cosAcosA，进而可求得角，进而可求得角A,B,C.A,B,C.【规范解答】由知得【规范解答】由知得sinA= sinB, cosA= cosBsinA= sinB, cosA= cosB两式平两式平方相加得方相加得2cos2A=1,2cos2A=1,即即cosA= cosA= 或或cosA=-cosA=-223232222.2(1

15、)(1)当当cosA= cosA= 时时,cosB=,cosB=又角又角A A、B B是三角形的内角是三角形的内角,A= B=,A= B=C=-(A+B)= C=-(A+B)= (2)(2)当当cosA=- cosA=- 时，时，cosB=-cosB=-又角又角A A、B B是三角形的内角，是三角形的内角，A= B= A= B= 不合题意不合题意. .综上知，综上知，A= B= C=A= B= C=223,24，,67.12223,234，56，4，,67.12【反思【反思感悟】感悟】1.1.三角形中常用角的变形结论有：三角形中常用角的变形结论有：A+B=-CA+B=-C；2A+2B+2C=2

16、2A+2B+2C=2；2.2.求角时，普通先求出该角的某一三角函数值，再确定该角的求角时，普通先求出该角的某一三角函数值，再确定该角的范围，最后求角范围，最后求角. .ABC.2222【变式训练】在三角形【变式训练】在三角形ABCABC中，中，(1)(1)求证：求证：(2)(2)假设假设 tan(C-)0 tan(C-)0，求证：三角形，求证：三角形ABCABC为为钝钝角三角形角三角形. .【证明】【证明】(1)(1)在在ABCABC中，中，A AB B-C,-C,22ABCcoscos122 ；3cos(A)sin(B)22ABC,222ABCCcoscos()sin,222222ABCco

17、scos1.22(2)(2)假设假设cos( +A)sin( +B)tan(C-)0,cos( +A)sin( +B)tan(C-)0,那么那么(-sinA)(-cosB)tanC0,(-sinA)(-cosB)tanC0,即即sinAcosBtanC0,sinAcosBtanC0,在在ABCABC中中,0A,0B,0C,0A,0B,0C0, sinA0, 或或BB为钝角或为钝角或C C为钝角为钝角, ,故故ABCABC为钝角三角形为钝角三角形. .232cosB0tanC0tanC0,cosB0【总分值指点】关于诱导公式客观题的规范解答【总分值指点】关于诱导公式客观题的规范解答【典例】【典例

18、】(12(12分分)(2021)(2021合肥模拟合肥模拟) )知知 (0,),(0,),(1)(1)求求 的值的值; ;(2)(2)求求cos(2- )cos(2- )的值的值. .5sin(),25 22cos ()cos ()4242sin()cos(3) 34【解题指南】利用知结合诱导公式求出【解题指南】利用知结合诱导公式求出coscos和和sinsin，把所给，把所给三角函数式利用诱导公式和三角函数关系式化简，即可求得三角函数式利用诱导公式和三角函数关系式化简，即可求得. .【规范解答】【规范解答】(1) 2(1) 2分分cos=- cos=- 又又(0,),sin= 4(0,),s

19、in= 4分分= =5sin(),25 5,52 5.522cos ()cos ()4242sin()cos(3) 22cos ()sin ()4242sincos= 6= 6分分(2)cos=- sin= (0,)(2)cos=- sin= (0,)sin2=sin2=cos2=- 10cos2=- 10分分cos(2- )= 12cos(2- )= 12分分cos()sin22.sincossincos3 5,52 5,54,53,534222cos2sin2.2210 【阅卷人点拨】经过阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下【阅卷人点拨】经过阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下失分警示和备

20、考建议：失分警示和备考建议：失失分分警警示示在解答本题时有以下两点容易造成失分：在解答本题时有以下两点容易造成失分：(1)(1)忽略忽略的范围而使解的三角函数值符号错误；的范围而使解的三角函数值符号错误；(2)(2)在化简时公式应用错误，而使结果错误在化简时公式应用错误，而使结果错误. .备备考考建建议议在用诱导公式解三角函数的问题时，还有以下几点容在用诱导公式解三角函数的问题时，还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：易造成失分，在备考时要高度关注：(1)(1)诱导公式记忆不准确诱导公式记忆不准确; ;(2)(2)不注意角的范围和象限，造成符号的错误不注意角的范围和象限，造成符号的错误. .另外另外, ,需要熟练掌握几种常见角的变形和公式的变形，需要熟练掌握几种常见角的变形和公式的变形，才能快速正确地解决这类问题才能快速正确地解决这类问题. .1.(20211.(2021中山模拟中山模拟) )知知tan=-a,tan=-a,那么那么tan(-)tan(-)的值等于的值等于( )( )(A)a (B)-a (C)