第3章 微积分问题的计算机求解

1、高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 147)1/1591/29/2022星期六, 2008-9- 6, 13:07:55 第第3章章 微积分问题的计算机求解微积分问题的计算机求解极限问题的解析解函数导数的解析解积分问题的解析解函数的级数展开与级数求和问题求解曲线积分与曲面积分的计算数值微分问题数值积分问题高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 147)2/1591/29/2022星期六, 2008-9- 6, 13:07:55 3.1 极限问题的解析解极限问题的解析解单变量函数的极限区间函数的极限运算多变量函数的极限高等应

2、用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 147)3/1591/29/2022星期六, 2008-9- 6, 13:07:55 3.1.1 单变量函数的极限单变量函数的极限极限的定义MATLAB函数左右极限MATLAB函数高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 147)4/1591/29/2022星期六, 2008-9- 6, 13:07:55 例例 3.1试求解极限问题MATLAB代码高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 147)5/1591/29/2022星期六, 2008-9- 6, 13:0

3、7:55 例例 3.2试求解单边极限问题MATLAB代码高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 147)6/1591/29/2022星期六, 2008-9- 6, 13:07:55 MATLAB绘图语句拓展：复数的余弦Euler公式求出极限高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 147)7/1591/29/2022星期六, 2008-9- 6, 13:07:55 例例 3.3试分别求出tan t函数关于p/2点处的左右极限MATLAB代码高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 147)8/15

4、91/29/2022星期六, 2008-9- 6, 13:07:55 例例3-4序列的极限序列极限与函数极限同样求解申明符号变量、描述函数、调用limit()高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 147)9/1591/29/2022星期六, 2008-9- 6, 13:07:55 例例3-5既为函数又为序列同样求解高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 147)10/1591/29/2022星期六, 2008-9- 6, 13:07:55 3.1.2 区间函数的极限运算区间函数的极限运算例3-6：极限早期MATLAB不能求解

5、新版本分段函数的引入高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 147)11/1591/29/2022星期六, 2008-9- 6, 13:07:55 MuPAD的底层的底层limit函数函数底层limit函数可以求解区间极限问题例3-7 求高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 147)12/1591/29/2022星期六, 2008-9- 6, 13:07:55 分段函数的解析描述分段函数的解析描述编写如下代码调用格式高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 147)13/1591/29/202

6、2星期六, 2008-9- 6, 13:07:55 例例3-8分段函数MATLAB符号描述 高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 147)14/1591/29/2022星期六, 2008-9- 6, 13:07:55 3.1.3 多变量函数的极限多变量函数的极限函数 的累极限累极限的求解高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 147)15/1591/29/2022星期六, 2008-9- 6, 13:07:55 例例 3.9试求出二元函数极限值MATLAB代码高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1

7、(of 147)16/1591/29/2022星期六, 2008-9- 6, 13:07:55 多元函数的重极限多元函数的重极限数学表达式不易求解理论上说，沿所有方向均得出相同的极限才可累极限存在但不相等，没有重极限有时累极限存在且相等，但无重极限高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 147)17/1591/29/2022星期六, 2008-9- 6, 13:07:55 例例3-10重极限求解高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 147)18/1591/29/2022星期六, 2008-9- 6, 13:07:55 3.2

8、 函数导数的解析解函数导数的解析解函数的导数和高阶导数多元函数的偏导数多元函数的Jacobian矩阵Hessian偏导数矩阵隐函数的偏导数参数方程的导数高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 147)19/1591/29/2022星期六, 2008-9- 6, 13:07:55 3.2.1 函数的导数和高阶导数函数的导数和高阶导数如果函数和自变量都已知，且均为符号变量，则可以用diff()函数解出给定函数的各阶导数函数语法或高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 147)20/1591/29/2022星期六, 2008-9-

9、6, 13:07:55 例例 3.11给定函数 试求出MATLAB求解绘制原函数和其一阶导数高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 147)21/1591/29/2022星期六, 2008-9- 6, 13:07:55 4阶导数化简函数diff()的高效率高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 147)22/1591/29/2022星期六, 2008-9- 6, 13:07:55 例例 3.12试推导函数 的3阶导函数公式，并得出 时的3阶导数，将这样得出的结果与直接求导的结果相比较MATLAB求解当 时求3阶导数高等应用数学

10、问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 147)23/1591/29/2022星期六, 2008-9- 6, 13:07:55 例例3-13矩阵的求导直接求解高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 147)24/1591/29/2022星期六, 2008-9- 6, 13:07:55 3.2.2 参数方程的导数参数方程的导数参数方程 ，则 为高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 147)25/1591/29/2022星期六, 2008-9- 6, 13:07:55 递归函数实现高等应用数学问题的MATL

11、AB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 147)26/1591/29/2022星期六, 2008-9- 6, 13:07:55 例例 3.14已知参数方程 求MATLAB求解命令高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 147)27/1591/29/2022星期六, 2008-9- 6, 13:07:55 3.2.3 多元函数的偏导数多元函数的偏导数双变量函数 求导MATLAB语法或高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 147)28/1591/29/2022星期六, 2008-9- 6, 13:07:55 例例 3.1

12、5试求出下列二元函数的偏导数，并用图形表示 和高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 147)29/1591/29/2022星期六, 2008-9- 6, 13:07:55 绘制三维曲面引力线 （负梯度）高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 147)30/1591/29/2022星期六, 2008-9- 6, 13:07:55 例例 3.16三元函数求偏导数MATLAB求解高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 147)31/1591/29/2022星期六, 2008-9- 6, 13:07

13、:55 3.2.4 隐函数的偏导数隐函数的偏导数隐函数 一阶偏导数MATLAB代码高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 147)32/1591/29/2022星期六, 2008-9- 6, 13:07:55 二元隐函数的高阶偏导数二元隐函数的高阶偏导数二元函数一阶偏导数二阶偏导数高阶偏导数高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 147)33/1591/29/2022星期六, 2008-9- 6, 13:07:55 高阶偏导数高阶偏导数MATLAB求解求解递推公式MATLAB求解高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学

14、院Slide 1 (of 147)34/1591/29/2022星期六, 2008-9- 6, 13:07:55 例例 3.17二元隐函数求其各阶偏导数一阶二阶、三阶高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 147)35/1591/29/2022星期六, 2008-9- 6, 13:07:55 例例3-18隐函数各阶导数有时需要手工化简高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 147)36/1591/29/2022星期六, 2008-9- 6, 13:07:55 3.2.5 多元函数的多元函数的Jacobian矩阵矩阵多元函数Ja

15、cobi矩阵MATLAB求解高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 147)37/1591/29/2022星期六, 2008-9- 6, 13:07:55 例例 3.19直角坐标和极坐标变换公式如下，推导其Jacobian矩阵MATLAB代码高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 147)38/1591/29/2022星期六, 2008-9- 6, 13:07:55 3.2.6 Hessian偏导数矩阵偏导数矩阵给定的n元函数 Hessian矩阵MATLAB早期版本高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide

16、1 (of 147)39/1591/29/2022星期六, 2008-9- 6, 13:07:55 例例 3.20试求出下列二元函数的Hessian矩阵MATLAB代码高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 147)40/1591/29/2022星期六, 2008-9- 6, 13:07:55 3.3 积分问题的解析解积分问题的解析解不定积分的推导定积分与无穷积分计算多重积分问题的MATLAB求解高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 147)41/1591/29/2022星期六, 2008-9- 6, 13:07:55 3.

17、3.1 不定积分的推导不定积分的推导函数int()可以被用于计算不定积分MATLAB函数积分多重积分，嵌套调用；更多重循环高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 147)42/1591/29/2022星期六, 2008-9- 6, 13:07:55 例例 3.21函数求其一阶导数，再积分求其四阶导数，再积分，检验结果高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 147)43/1591/29/2022星期六, 2008-9- 6, 13:07:55 例例 3.22试证明对等号左侧进行化简高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学

18、院Slide 1 (of 147)44/1591/29/2022星期六, 2008-9- 6, 13:07:55 输入右侧，比较并化简高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 147)45/1591/29/2022星期六, 2008-9- 6, 13:07:55 例例 3.23考虑如下两个不可积问题的积分问题求解。MATLAB求解结果特殊函数高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 147)46/1591/29/2022星期六, 2008-9- 6, 13:07:55 求解 ，其中MATLAB命令无法获得显示的解 Warning:

19、Explicit integral could not be found并不是所有的积分都能被计算出，应为原始函数不一定存在高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 147)47/1591/29/2022星期六, 2008-9- 6, 13:07:55 3.3.2 定积分与无穷积分计算定积分与无穷积分计算函数int()可以直接使用语句格式有时需要积分公式原函数 F(x)高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 147)48/1591/29/2022星期六, 2008-9- 6, 13:07:55 例例 3.24函数 求 或 时的定

20、积分值MATLAB求解高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 147)49/1591/29/2022星期六, 2008-9- 6, 13:07:55 例例 3.25求解MATLAB求解（早期版本）直接公式求解高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 147)50/1591/29/2022星期六, 2008-9- 6, 13:07:55 3.3.3 多重积分问题的多重积分问题的MATLAB求解求解函数int()仍可以被用于计算多重积分注意：需要根据实际情况先选择积分顺序，可积的部分作为内积分，然后再处理外积分。否则，会的不出解析解

21、高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 147)51/1591/29/2022星期六, 2008-9- 6, 13:07:55 例例 3.26已知下面的三元函数试求出高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 147)52/1591/29/2022星期六, 2008-9- 6, 13:07:55 早期版本不同积分顺序结果可能不同高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 147)53/1591/29/2022星期六, 2008-9- 6, 13:07:55 例例 3.27求解积分问题MATLAB求解注

22、意： eulergamma为Euler常数g高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 147)54/1591/29/2022星期六, 2008-9- 6, 13:07:55 3.4 函数的级数展开函数的级数展开与级数求和问题求解与级数求和问题求解Taylor幂级数展开单变量函数Taylor级数展开多变量函数Taylor级数展开Fourier级数展开级数求和的计算序列求积问题高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 147)55/1591/29/2022星期六, 2008-9- 6, 13:07:55 3.4.1 单变量函数单变量函

23、数的的Taylor幂级数展开幂级数展开数学表示在x=0点附近的Taylor幂级数其中MATLAB格式早期版本高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 147)56/1591/29/2022星期六, 2008-9- 6, 13:07:55 关于x = a点的Taylor展开其中MATLAB格式早期版本高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 147)57/1591/29/2022星期六, 2008-9- 6, 13:07:55 例例 3.28函数在x=0, x=2和x=a求其Taylor幂级数展开在x=0进行Taylor展开结果高等

24、应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 147)58/1591/29/2022星期六, 2008-9- 6, 13:07:55 检查有限项的近似结果在区间-1,1内绘图更小的区间-0.6,0.6高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 147)59/1591/29/2022星期六, 2008-9- 6, 13:07:55 在x=2进行Taylor展开结果高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 147)60/1591/29/2022星期六, 2008-9- 6, 13:07:55 在 x = a 进行

25、 Taylor 展开数学描述高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 147)61/1591/29/2022星期六, 2008-9- 6, 13:07:55 例例 3.29函数 进行Taylor展开，观察近似效果MATLAB求解16阶展开高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 147)62/1591/29/2022星期六, 2008-9- 6, 13:07:55 多变量函数的多变量函数的Taylor幂级数展开幂级数展开多元函数Taylor幂级数展开高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 147)

26、63/1591/29/2022星期六, 2008-9- 6, 13:07:55 例例 3.30函数 在原点展开Taylor级数关于(1,a)点展开高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 147)64/1591/29/2022星期六, 2008-9- 6, 13:07:55 3.4.2 Fourier级数展开级数展开给定周期函数由此它的Fourier级数展开是高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 147)65/1591/29/2022星期六, 2008-9- 6, 13:07:55 求解求Fourier级数展开得MATLAB代

27、码高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 147)66/1591/29/2022星期六, 2008-9- 6, 13:07:55 支持函数其他函数也可能使用后面将用到这个公用函数高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 147)67/1591/29/2022星期六, 2008-9- 6, 13:07:55 例例 3.31函数 其中求它的Fourier级数展开结果比较高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 147)68/1591/29/2022星期六, 2008-9- 6, 13:07:55 更大

28、的区域数学描述一般形式高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 147)69/1591/29/2022星期六, 2008-9- 6, 13:07:55 例例 3.32给定函数 ，其中求它的 Fourier 级数展开，与原函数进行比较原函数可以表示成高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 147)70/1591/29/2022星期六, 2008-9- 6, 13:07:55 MATLAB求解高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 147)71/1591/29/2022星期六, 2008-9- 6,

29、 13:07:55 前14项的Fourier级数展开数学形式一般形式高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 147)72/1591/29/2022星期六, 2008-9- 6, 13:07:55 在区间-2p,2p进行拟合效果比较回忆一下开始的假设高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 147)73/1591/29/2022星期六, 2008-9- 6, 13:07:55 3.4.3 级数求和的计算级数求和的计算求已知通项的有穷或无穷级数的和。数学表示MATLAB语句高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide

30、 1 (of 147)74/1591/29/2022星期六, 2008-9- 6, 13:07:55 例例 3.33计算数值计算方法使用symsum()更多项的扩展高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 147)75/1591/29/2022星期六, 2008-9- 6, 13:07:55 例例 3.34求解无穷级数的和使用函数symsum() 使用数值方法高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 147)76/1591/29/2022星期六, 2008-9- 6, 13:07:55 例例 3.35试求解含有变量 x 的无穷级数

31、符号运算方法高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 147)77/1591/29/2022星期六, 2008-9- 6, 13:07:55 例例 3.36试求解级数与极限综合问题MATLAB求解注意：求解该问题不能先求解无穷级数的和，然后再减去ln n，这样做前后均为无穷大，高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 147)78/1591/29/2022星期六, 2008-9- 6, 13:07:55 例例3.37综合问题通项求解高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 147)79/1591/2

32、9/2022星期六, 2008-9- 6, 13:07:55 3.4.4 序列求积问题序列求积问题序列求积运算MATLAB语句新符号运算工具箱早期版本高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 147)80/1591/29/2022星期六, 2008-9- 6, 13:07:55 例例 3.38试计算序列的乘积MATLAB求解语句（有限、无限项）高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 147)81/1591/29/2022星期六, 2008-9- 6, 13:07:55 例例3.39综合问题通项求解高等应用数学问题的MATLAB求

33、解东北大学信息学院Slide 1 (of 147)82/1591/29/2022星期六, 2008-9- 6, 13:07:55 例例3.40求解问题直接求解分段函数解读高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 147)83/1591/29/2022星期六, 2008-9- 6, 13:07:55 3.5 曲线积分与曲面积分的计算曲线积分与曲面积分的计算曲线积分及MATLAB求解曲面积分与MATLAB语言求解高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 147)84/1591/29/2022星期六, 2008-9- 6, 13:07:

34、55 3.5.1 曲线积分及曲线积分及MATLAB求解求解第一类曲线积分第二类曲线积分高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 147)85/1591/29/2022星期六, 2008-9- 6, 13:07:55 3.5.1.1 第一类曲线积分第一类曲线积分第一类曲线积分将 带入 f(.)或高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 147)86/1591/29/2022星期六, 2008-9- 6, 13:07:55 例例 3.41计算 ，l 是如下定义的螺线MATLAB求解语句高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院

35、Slide 1 (of 147)87/1591/29/2022星期六, 2008-9- 6, 13:07:55 例例 3.42试求 l 曲线为 y = x 与 围成的正向曲线绘制曲线 l高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 147)88/1591/29/2022星期六, 2008-9- 6, 13:07:55 化成两段曲线的积分问题来求解结果高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 147)89/1591/29/2022星期六, 2008-9- 6, 13:07:55 3.5.1.2 第二类曲线积分第二类曲线积分第二类曲线积分

36、其中并且上式化为高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 147)90/1591/29/2022星期六, 2008-9- 6, 13:07:55 例例 3.43求出曲线积分其中，l为正向圆周MATLAB求解语句高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 147)91/1591/29/2022星期六, 2008-9- 6, 13:07:55 例例 3.44计算 其中，l 为抛物线MATLAB求解语句高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 147)92/1591/29/2022星期六, 2008-9-

37、6, 13:07:55 3.5.2 曲面积分与曲面积分与MATLAB语言求解语言求解第一类曲面积分第二类曲面积分高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 147)93/1591/29/2022星期六, 2008-9- 6, 13:07:55 3.5.2.1 第一类曲面积分第一类曲面积分第一类曲面积分的数学定义为其中曲面 S 是变换为 x-y 平面的二重积分其中 为积分区域高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 147)94/1591/29/2022星期六, 2008-9- 6, 13:07:55 例例 3.45计算 ，其中S是如

38、下定义的外侧面MATLAB求解语句高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 147)95/1591/29/2022星期六, 2008-9- 6, 13:07:55 若曲面的参数方程为曲面积分为其中高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 147)96/1591/29/2022星期六, 2008-9- 6, 13:07:55 例例 3.46计算积分 ，S 是如下曲面MATLAB求解语句高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 147)97/1591/29/2022星期六, 2008-9- 6, 13:

39、07:55 接上页高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 147)98/1591/29/2022星期六, 2008-9- 6, 13:07:55 3.5.2.2 第二类曲面积分第二类曲面积分第二类曲面积分的数学定义为被积函数是并且正向曲面 由 z = f(x,y) 给出高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 147)99/1591/29/2022星期六, 2008-9- 6, 13:07:55 第二类曲面积分转换为第一类曲面积分其中， z = f(x,y) 并且高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1

40、(of 147)100/1591/29/2022星期六, 2008-9- 6, 13:07:55 整个曲面积分又可以写成若曲面由下述方程给出那么高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 147)101/1591/29/2022星期六, 2008-9- 6, 13:07:55 其中整个曲面积分可以化简为高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 147)102/1591/29/2022星期六, 2008-9- 6, 13:07:55 例例 3.47试求出曲面积分 ，S是下面的 椭球面的上半部，且积分沿椭球面的上面引入参数方程高等应用数

41、学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 147)103/1591/29/2022星期六, 2008-9- 6, 13:07:55 原曲面积分化为可以转换为一般双重积分MATLAB求解语句高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 147)104/1591/29/2022星期六, 2008-9- 6, 13:07:55 3.6 数值微分问题数值微分问题数值微分算法中心差分方法及其MATLAB实现二元函数的梯度计算高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 147)105/1591/29/2022星期六, 2008

42、-9- 6, 13:07:55 3.6.1 数值微分算法数值微分算法前向差分公式后向差分公式算法精度高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 147)106/1591/29/2022星期六, 2008-9- 6, 13:07:55 中心差分算法中心差分算法公式1定义一阶微分为记为高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 147)107/1591/29/2022星期六, 2008-9- 6, 13:07:55 Taylor级数展开为算法精度高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 147)108/15

43、91/29/2022星期六, 2008-9- 6, 13:07:55 该中心差分算法的高阶微分公式为高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 147)109/1591/29/2022星期六, 2008-9- 6, 13:07:55 公式2差分方程算法精度高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 147)110/1591/29/2022星期六, 2008-9- 6, 13:07:55 中心差分算法的中心差分算法的 MATLAB 实现实现函数调用清单高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 147)11

44、1/1591/29/2022星期六, 2008-9- 6, 13:07:55 例例 3.48对函数 用数值微分法求取其14阶导数，并与其导数的解析解比较精度输入函数高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 147)112/1591/29/2022星期六, 2008-9- 6, 13:07:55 比较不同阶的导数分析误差高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 147)113/1591/29/2022星期六, 2008-9- 6, 13:07:55 3.6.3 二元函数的梯度计算二元函数的梯度计算函数gradient()的调用格式计

45、算梯度其中 Dx 和 Dy 分别为 x 和 y 生成网格的步距高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 147)114/1591/29/2022星期六, 2008-9- 6, 13:07:55 例例 3.49已知 计算梯度并分析误差 MATLAB求解语句高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 147)115/1591/29/2022星期六, 2008-9- 6, 13:07:55 绘制误差曲面高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 147)116/1591/29/2022星期六, 2008-9-

46、 6, 13:07:55 将网格加密一倍：高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 147)117/1591/29/2022星期六, 2008-9- 6, 13:07:55 3.7 数值积分问题数值积分问题由给定数据进行梯形求积单变量数值积分问题求解广义数值积分问题求解积分函数的计算双重积分问题的数值解三重定积分的数值求解多重积分数值求解高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 147)118/1591/29/2022星期六, 2008-9- 6, 13:07:55 3.7.1 由给定数据进行梯形求积由给定数据进行梯形求积梯形近似

47、方法的基本思想MATLAB的调用格式或高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 147)119/1591/29/2022星期六, 2008-9- 6, 13:07:55 例例 3.50试用梯形法求出函数 在区间 的定积分值MATLAB求解语句结论：由于选择的步距较大，有很大的误差高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 147)120/1591/29/2022星期六, 2008-9- 6, 13:07:55 例例 3.51用定步长方法求解积分并比较不同步距下的结果首先绘图在求解区域内被积函数有很强的振荡高等应用数学问题的MATLA

48、B求解东北大学信息学院Slide 1 (of 147)121/1591/29/2022星期六, 2008-9- 6, 13:07:55 对不同的步距比较近似结果高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 147)122/1591/29/2022星期六, 2008-9- 6, 13:07:55 计算步长与误差关系计算步长与误差关系理论值 1/150.25秒高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 147)123/1591/29/2022星期六, 2008-9- 6, 13:07:55 3.7.2 单变量数值积分问题求解单变量数值积分问

49、题求解Simpson方法求解 区间上的积分其中，高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 147)124/1591/29/2022星期六, 2008-9- 6, 13:07:55 调用格式新版本数值积分早期版本求定积分其他数值定积分函数 quadl(), quadgk(), quadv()高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 147)125/1591/29/2022星期六, 2008-9- 6, 13:07:55 例例 3.52用数值方法计算积分方法1，一般函数方法方法2，inline函数方法方法3，匿名函数(MATLAB 7

50、.0)高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 147)126/1591/29/2022星期六, 2008-9- 6, 13:07:55 MATLAB求解语句解析解：运用符号工具箱默认选项下数值解函数 integral() 即可保证高精度的数值解高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 147)127/1591/29/2022星期六, 2008-9- 6, 13:07:55 例例 3.53给定如下分段函数计算积分值定积分示意图高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 147)128/1591/29/

51、2022星期六, 2008-9- 6, 13:07:55 MATLAB求解语句提高精度（检验）解析解高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 147)129/1591/29/2022星期六, 2008-9- 6, 13:07:55 例例 3.54重新计算积分MATLAB求解语句结论：和梯形法相比，速度精度都明显提高理论值：1/15高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 147)130/1591/29/2022星期六, 2008-9- 6, 13:07:55 例例3.55复数积分数值解解析解高等应用数学问题的MATLAB求解东北大

52、学信息学院Slide 1 (of 147)131/1591/29/2022星期六, 2008-9- 6, 13:07:55 例例3.56大范围积分早期版本的几个积分函数不实用数值解解析解高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 147)132/1591/29/2022星期六, 2008-9- 6, 13:07:55 3.7.3 广义数值积分问题求解广义数值积分问题求解Integral() 函数可以直接用于广义积分运算函数调用格式与前面介绍的完全一致早期版本，采用 Gauss-Kronrod 算法高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (

53、of 147)133/1591/29/2022星期六, 2008-9- 6, 13:07:55 例例3.57数值计算数值解与解析解高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 147)134/1591/29/2022星期六, 2008-9- 6, 13:07:55 例例3.58积分函数，绘制 曲线新版本可以一次性求解高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 147)135/1591/29/2022星期六, 2008-9- 6, 13:07:55 3.7.4 积分函数的数值求解积分函数的数值求解前面介绍的是定积分，如何求积分函数？编写如

54、下的MATLAB函数函数调用高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 147)136/1591/29/2022星期六, 2008-9- 6, 13:07:55 例例3.59绘制分段函数的积分函数积分函数求解高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 147)137/1591/29/2022星期六, 2008-9- 6, 13:07:55 3.7.5 双重积分问题的数值解双重积分问题的数值解定义在矩形区域内的双重积分MATLAB函数调用格式矩形区域的双重积分早期版本高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (o

55、f 147)138/1591/29/2022星期六, 2008-9- 6, 13:07:55 例例 3.60试求出双重定积分MATLAB求解语句高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 147)139/1591/29/2022星期六, 2008-9- 6, 13:07:55 二元积分函数的运算二元积分函数的运算MATLAB函数调用格式高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 147)140/1591/29/2022星期六, 2008-9- 6, 13:07:55 例例3.61绘制积分函数曲面MATLAB求解高等应用数学问题的MAT

56、LAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 147)141/1591/29/2022星期六, 2008-9- 6, 13:07:55 定义在非矩形区域的双重积分MATLAB调用命令一般双重积分限定精度的双重积分高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 147)142/1591/29/2022星期六, 2008-9- 6, 13:07:55 一般区域的双重积分一般区域的双重积分数学表达式Howard Wilson 与 Bryce Gardner 的 NITNIT工具箱的求解函数 （先 x 后 y）高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide

57、1 (of 147)143/1591/29/2022星期六, 2008-9- 6, 13:07:55 积分顺序变换积分顺序变换数学形式积分顺序 （先 y 后 x）描述被积函数时应该调换自变量顺序高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 147)144/1591/29/2022星期六, 2008-9- 6, 13:07:55 例例 3.62试求出双重定积分先 y 后 x，调换顺序求解高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 147)145/1591/29/2022星期六, 2008-9- 6, 13:07:55 解析解方法注意积分次序高等应用数学问题的MATLAB求解东北大学信息学院Slide 1 (of 147)146/1591/29/2022星期六, 2008-9- 6, 13:07:55 例例3.63先 x 后 y 的积分解析