《三角函数模型的简单应用》的教学设计剖析

1、学习必备欢迎下载1.6三角函数模型的简单应用教学设计一、 教学分析三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画周期变化规律、预测其未来等方面都发挥着十分重要的作用三角函数模型的简单应用的设置目的，在于加强用三角函数模型刻画周期变化现象的学习.本节教材通过 4 个例题，循序渐进地从四个层次来介绍三角函数模型的应用，在素材的选择上注意了广泛性、真实性和新颖性，同时又关注到三角函数性质（特别是周期性）的应用通过引导学生解决有一定综合性和思考水平的问题，培养他们综合应用数学和其他学科的知识解决问题的能力培养学生的建模、分析问题、数形结合、抽象概括等能力由于实际 问题常

2、常涉及一些复杂数据，因此要鼓励学生利用计算机或计算器处理数据，包括建立有关 数据的散点图，根据散点图进行函数拟合等二、 教学目标1、知识与技能：掌握三角函数模型应用基本步骤:（1）根据图象建立解析式；（2）根据解析式作出图象；（3） 将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型2、过程与方法：选择合理三角函数模型解决实际问题，注意在复杂的背景中抽取基本的数学关系，还要调动相 关学科知识来帮助理解问题。切身感受数学建模的全过程，体验数学在解决实际问题中的价值 和作用及数学和日常生活和其它学科的联系。3、情态与价值：培养学生数学应用意识；提高学生利用信息技术处理一些实际计算的能力。三、 教学重点与

3、难点教学重点：分析、整理、利用信息，从实际问题中抽取基本的数学关系来建立三角函数模型，用三角函数模型解决一些具有周期变化规律的实际问题教学难点：将某些实际问题抽象为三角函数的模型，并调动相关学科的知识来解决问题四、 教学过程：三角函数模型的简单应用一、导入新课思路 1.（问题导入）既然大到宇宙天体的运动，小到质点的运动以及现实世界中具有周学习必备欢迎下载期性变化的现象无处不在，那么究竟怎样用三角函数解决这些具有周期性变化的问题？它到 底能发挥哪些作用呢？由此展开新课.思路 2.我们已经学习了三角函数的概念、图象与性质，特别研究了三角函数的周期性 在现实生活中，如果某种变化着的现象具有周期性，那

4、么是否可以借助三角函数来描述呢？回忆必修 1 第三章第二节“函数模型及其应用”，面临一个实际问题，应当如何选择恰当的函 数模型来刻画它呢？以下通过几个具体例子，来研究这种三角函数模型的简单应用二、推进新课、新知探究、提出问题1回忆从前所学，指数函数、 对数函数以及幕函数的模型都是常用来描述现实世界中的 哪些规律的？2数学模型是什么，建立数学模型的方法是什么？3上述的数学模型是怎样建立的？4怎样处理搜集到的数据？活动：师生互动，唤起回忆，充分复习前面学习过的建立数学模型的方法与过程对课前已经做好复习的学生给予表扬，并鼓励他们类比以前所学知识方法，继续探究新的数学模型 对还没有进入状态的学生，教师

5、要帮助回忆并快速激起相应的知识方法在教师的引导下，学生能够较好地回忆起解决实际问题的基本过程是：收集数据T画散点图T选择函数模型T求解函数模型T检验T用函数模型解释实际问题这点很重要，学生只要有了这个认知基础，本节的简单应用便可迎刃而解 新课标下的教 学要求，不是教师给学生解决问题或带领学生解决问题，而是教师引领学生逐步登高，在合作 探究中自己解决问题，探求新知.讨论结果：描述现实世界中不同增长规律的函数模型2简单地说，数学模型就是把实际问题用数学语言抽象概括，再从数学角度来反映或近似地反映实际问题时，所得出的关于实际问题的数学描述 数学模型的方法，是把实际问题加 以抽象概括，建立相应的数学模

6、型，利用这些模型来研究实际问题的一般数学方法3解决问题的一般程序是：1审题：逐字逐句的阅读题意，审清楚题目条件、要求、理解数学关系；2 建模：分析题目变化趋势，选择适当函数模型；3求解：对所建立的数学模型进行分析研究得到数学结论；4还原：把数学结论还原为实际问题的解答4画出散点图，分析它的变化趋势，确定合适的函数模型学习必备欢迎下载三、应用示例例 1 如图 1,某地一天从 614 时的温度变化曲线近似满足函数y=sin(wx+$ )+b.图 1(1) 求这一天的最大温差；(2) 写出这段曲线的函数解析式 .活动：这道例题是 2002 年全国卷的一道高考题，探究时教师与学生一起讨论 .本例是研究

7、温度随时间呈周期性变化的问题.教师可引导学生思考，本例给出模型了吗？给出的模型函数是什么？要解决的问题是什么？怎样解决？然后完全放给学生自己讨论解决题目给出了某个时间段的温度变化曲线这个模型.其中第(1)小题实际上就是求函数图象的解析式，然后再求函数的最值差.教师应引导学生观察思考：“求这一天的最大温差”实际指的是“求 6 是到 14 时这段时间的最大温差”，可根据前面所学的三角函数图象直接写出 而不必再求解析式.让学生体会不同的函数模型在解决具体问题时的不同作用.第(2)小题只要用待定系数法求出解析式中的未知参数，即可确定其解析式 .其中求w是利用半周期 (14-6)，通过建立方程得解解：(

8、1)由图可知，这段时间的最大温差是20C.从图中可以看出，从 614 时的图象是函数 y=Asin(wx+ $ )+b 的半个周期的图象11 A= (30-10)=10，b=(30+10)=20.22.122二=14-6,CO - w兀3兀=?.将 x=6,y=10 代入上式，解得$ =.综上，所求解析式为 y=10sin( x+込)+20,x 6,14.84点评:本例中所给出的一段图象实际上只取6 14 即可,这恰好是半个周期，提醒学生注意抓关键.本例所求出的函数模型只能近似刻画这天某个时段的温度变化情况，因此应当特别注意自变量的变化范围，这点往往被学生忽略掉学习必备欢迎下载（互动探究）图

9、5 表示的是电流 I 与时间 t 的函数关系l=Asin(3x+ $ )(30,| $ |)在一个周期内的图象.2(1) 根据图象写出 I=Asin(3x+ $ )的解析式；1(2) 为了使 I=Asin(3x+ $ )中的 t 在任意一段 - s 的时间内电流 I 能同时取得最大值100和最小值，那么正整数3的最小值为多少？11解:由图知 A=300,第一个零点为(一,0),第二个零点为(,0),30015011“兀n3 ( - )+ $ =0,3 -+$ =n.解得3=100n, $ =, l=300sin(100nt+ ).30015033*1Q IT*1(2)依题意有 TW ,即 20

10、0n.故3min=629.100 CO 100例 2 做出函数 y=|sinx|的图象并观察其周期例 3 如图 2,设地球表面某地正午太阳高度角为0,S为此时太阳直射纬度，$为该地的纬度值，那么这三个量之间的关系是0=90 -| $ -3|.当地夏半年S取正值，冬半年S取负值.如果在北京地区（纬度数约为北纬 40 ）的一幢高为 ho的楼房北面盖一新楼，要使新楼 一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡，两楼的距离不应小于多少？活动：如图 2 本例所用地理知识、物理知识较多，综合性比较强，需调动相关学科的知识来帮助理解问题，这是本节的一个难点在探讨时要让学生充分熟悉实际背景，理解各个量的含义以及它们

11、之间的数量关系学习必备欢迎下载首先由题意要知道太阳高度角的定义：设地球表面某地纬度值为0,正午太阳高度角为0，此时太阳直射纬度为S,那么这三个量之间的关系是0=90 -I0-sI.当地夏半年S取正值,冬半年s取负值根据地理知识，能够被太阳直射到的地区为南、北回归线之间的地带，图形如图 3,由画图易知太阳高度角0、楼高 ho与此时楼房在地面的投影长h 之间有如下关系：ho=htan0.由地理知识知，在北京地区，太阳直射北回归线时物体的影子最短，直射南回归线时物体的影子最长因此，为了使新楼一层正午的太阳全年不被遮挡，应当考虑太阳直射南回归线时的情况解：如图 3，A、B、C 分别为太阳直射北回归线、

12、赤道、南回归线时楼顶在地面上的投影点要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡，应取太阳直射南回归线的情况考虑此时的太阳直射纬度23 26.依题意两楼的间距应不小于MC.根据太阳高度角的定义，有/ C= 90 |40 ( 23 26 )| = 26 34，所以 MC=ho=ho. 2.000ho，tanC tan 26 34即在盖楼时，为使后楼不被前楼遮挡，要留出相当于楼高两倍的间距点评:本例是研究楼高与楼在地面的投影长的关系问题，是将实际问题直接抽象为与三角函数有关的简单函数模型，然后根据所得的函数模型解决问题 要直接根据图 2 来建立函 数模型，学生会有一定困难，而解决这一困难的关键是联

13、系相关知识，画出图 3,然后由图形建立函数模型，问题得以求解这道题的结论有一定的实际应用价值教学中，教师可以在这道题的基础上再提出一些问题，如下例的变式训练，激发学生进一步探究变式训练某市的纬度是北纬 23,小王想在某住宅小区买房,该小区的楼高 7 层,每层 3 米,楼与楼学习必备欢迎下载之间相距 15 米.要使所买楼层在一年四季正午太阳不被前面的楼房遮挡，他应选择哪几层的房？解：如图 4,由例 3 知,北楼被南楼遮挡的高度为h=15tan :90 -(23 +23 26门=15tan43 34 14.26,由于每层楼高为 3 米,根据以上数据，所以他应选 3 层以上.例 4 货船进出港时间问

14、题：海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮.一般地,早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回 海洋.下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表：时刻0:003:006:009:0012:0015:0018:0021:0024:00水深/米5.07.55.02.55.07.55.02.55.0(1)选用一个函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系，给 出 整 点 时 的 水 深 的近似数值(精确到 0.001).(2) 一条货船的吃水深度(船底与水面的距离)为 4 米,安全条例规定至少要有1.5 米的安全间隙(船底与洋底的距离)，该船何时

15、能进入港口？在港口能呆多久？(3) 若某船的吃水深度为4 米，安全间隙为 1.5 米,该船在 2:00 开始卸货，吃水深度以每小时 0.3 米的速度减少，那么该船在什么时间必须停止卸货，将船驶向较深的水域？活动：引导学生观察上述问题表格中的数据，会发现什么规律？比如重复出现的几个数据并进一步引导学生作出散点图.让学生自己完成散点图，提醒学生注意仔细准确观察散点图 如图 6.教师引导学生根据散点的位置排列，思考可以用怎样的函数模型来刻画其中的规律根据散点图中的最高点、 最低点和平衡点，学生很容易确定选择三角函数模型 港口的水深与 时间的关系可以用形如 y=Asin(3x+ $ )+h 的函数来刻

16、画.其中 x 是时间，y 是水深,我们可以 根据数据确定相应的 A,3, $ ,h 的值即可.这时注意引导学生与“五点法”相联系.要求学生 独立操作完成，教师指导点拨，并纠学习必备欢迎下载正可能出现的错误，直至无误地求出解析式，进而根据所 得的函数模型，求出整点时的水深肿614V11屮1 -11-036 9 12 15 1 S2I 2 4 X图 6根据学生所求得的函数模型，指导学生利用计算器进行计算求解注意引导学生正确理解题意，一天中有两个时间段可以进港这时点拨学生思考：你所求出的进港时间是否符合时间情况？如果不符合，应怎样修改？让学生养成检验的良好习惯在本例 中，应保持港口的水深不小于船的安

17、全水深，那么如何刻画船的安全水深呢？引导学生思考，怎样把此问题翻译成函数模型求货船停止卸货，将船驶向深水域的含义又是什么？教师引导学生将实际问题的意义转化为数学解释，同时提醒学生注意货船的安全水深、港口的水深同时在变，停止卸货的时间应当在安全水深接近于港口水深的时候进一步引导学生思考：根据问题的实际意义，货船的安全水深正好等于港口的水深时停止卸货行吗？为什么？正确结论是什么？可让学生思考、讨论后再由教师组织学生进行评价通过讨论或争论，最后得出一致结论：在货船的安全水深正好等于港口的水深时停止卸货将船驶向较深水域是不行的，因为这样不能保证货船有足够的时间发动螺旋桨解：(1)以时间为横坐标，水深为

18、纵坐标，在直角坐标系中画出散点图(图 6).根据图象，可以考虑用函数 y=Asin(3x+$ )+h 刻画水深与时间之间的对应关系.从数据和图象可以得出：A= 2.5,h = 5,T = 12, $ = 0,2兀兀由 T= 12,得3=.6学习必备欢迎下载所以这个港口的水深与时间的关系可用y = 2.5sin x+5 近似描述.6由上述关系式易得港口在整点时水深的近似值：时刻0:001:002:003:004:005:006:007:008:009:0010:0011:00水5.006.257.167.57.166.255.003.752.832.502.833.75深00550045054时

19、刻12:013:014:015:016:017:018:019:020:021:022:023:0000000000000水深5.006.257.167.57.166.255.003.752.832.502.833.7500550045054货船需要的安全水深为4+1.5 = 5.5（米）,所以当 y 5.5 时就可以进港令 2.5sin x+5=5.5,sin x=0.2.6 6由计算器可得如图 7,在区间0,12内，函数 y= 2.5sin x+5 的图象与直线 y = 5.5 有两个交点 A、B,图 70.201学习必备欢迎下载因此 x 0.201 4,或nx 0.201 4.6 6解得

20、XA0.384 8,xB 5.615 2.由函数的周期性易得 :xc12+0.384 8 = 12.384 8,X12+5.615 2 = 17.615 2.因此，货船可以在 0 时 30 分左右进港，早晨 5 时 30 分左右出港；或在中午 12 时 30 分左右进港，下午 17 时 30 分左右出港.每次可以在港口停留5 小时左右.(3)设在时刻X货船的安全水深为y,那么 y=5.5-0.3(x-2)(x2).在同一坐标系内作出这两个函数的图象，可以看到在 67 时之间两个函数图象有一个交点(如图 8).通过计算也可以得到这个结果.在 6 时的水深约为5 米，此时货船的安全水深约为4.3米;6.5 时的水深约为 4.2 米,此时货船的安全水深约为4.1 米;7 时的水深约为 3.8 米,而货船的安全水深约为4 米.因此为了安全，货船最好在 6.5 时之前停止卸货，将船驶向较深的水域.点评:本例是研究港口海水深度随时间呈周期性变化的问题，题目只给出了时间与水深的关系表，要想由此表直接得到函数模型是很困难的.对第问的解答,教师引导学生利用计算器进行计算求解.同时需要强调，建立数学模型