微积分-D111对弧长与曲线积分ppt课件

1、第十一章积分学 定积分二重积分三重积分积分域 区间域 平面域 空间域 曲线积分曲线积分曲线域曲线域曲面域曲面域曲线积分曲线积分曲面积分曲面积分对弧长的曲线积分对坐标的曲线积分对面积的曲面积分对坐标的曲面积分曲面积分曲面积分曲线积分与曲面积分 第一节一、对弧长的曲线积分的概念与性质一、对弧长的曲线积分的概念与性质二、对弧长的曲线积分的计算法二、对弧长的曲线积分的计算法对弧长的曲线积分 第十一章 三、物理运用三、物理运用AB一、对弧长的曲线积分的概念与性质一、对弧长的曲线积分的概念与性质假设曲线形细长构件在空间所占弧段为AB , 其线密度为),(zyx“大化小, 常代变, 近似和, 求极限 kkk

2、ks),(可得nk 10limM为计算此构件的质量,ks1kMkM),(kkk1.1.引例引例: : 曲线形构件的质量曲线形构件的质量采用设 是空间中一条有限长的光滑曲线,义在 上的一个有界函数, kkkksf),(都存在,),(zyxf上对弧长的曲线积分,记作szyxfd),(假设经过对 的恣意分割部分的恣意取点, 2.定义定义是定),(zyxf以下“乘积和式极限那么称此极限为函数在曲线或第一型曲线积分.),(zyxf称为被积函数， 称为积分弧段 .曲线形构件的质量szyxMd),(nk 10limks1kMkM),(kkk和对假设 L 是 xoy 面上的曲线弧 ,kknkksf),(lim

3、10Lsyxfd),(假设 L 是闭曲线 , 那么记为.d),(Lsyxf那么定义对弧长的曲线积分为思索思索:(1) 假设在 L 上 f (x, y)1, ?d 表示什么问Ls(2) 定积分能否可看作对弧长曲线积分的特例 ? 否! 对弧长的曲线积分要求 ds 0 ,但定积分中dx 能够为负.3. 性质性质szyxfd ),() 1 (szyxfkd),()2(k 为常数)szyxfd),()3( 由 组成) 21, sd)4( l 为曲线弧 的长度),(zyxgszyxfd),(szyxgd),(szyxfkd),(l21d),(d),(szyxfszyxfsPfsfPs)(d,)5(使得上一

4、点则存在的弧长是设7对称性对称性1设平面曲线设平面曲线L关于关于y轴对称轴对称,轴右侧位于为曲线yLL1则上连续在曲线的弧线段,),(,)0(Lyxfx Ldsyxf),(2设空间曲线设空间曲线L关于关于 xoy面对称面对称,),(,)0(1zyxfzxoyLL的弧线段上方位于坐标平面为曲线则上连续在曲线,LLdszyxf),(),(),(, 0yxfyxf1),(),(,),(2Lyxfyxfdsyxf),(),(, 0zyxfzyxf12( , , ),( , ,)( , , )Lf x y z ds f x yzf x y z平面曲线平面曲线L关于关于x轴轴,空间曲线空间曲线L关于关于x

5、oz坐标面或坐标面或yoz坐标面对称有类似的结论。坐标面对称有类似的结论。3平面曲线平面曲线L关于关于y=x对称，对称，则上连续在曲线,),(LyxfLLdsxyfdsyxf),(),(LLdsyfdsxf)()(4假设空间曲线假设空间曲线L关于直线关于直线x=y=z对称对称,即方程关于即方程关于x,y,z具有轮换对称性，具有轮换对称性，则上连续在曲线,),(LzyxfLLLdszfdsyfdsxf)()()(tttttfsdyxfLd)()()(, )(),(22二、对弧长的曲线积分的计算法二、对弧长的曲线积分的计算法根本思绪根本思绪:计算定积分转转 化化定理定理:),(yxf设且)()(t

6、ty上的延续函数,证证: :是定义在光滑曲线弧那么曲线积分),(:txL,d),(存在Lsyxf求曲线积分根据定义 kknkksf),(lim10Lsyxfd),(, ,1kkktt点),(kktttskkttkd)()(122,)()(22kkktnk 10limLsyxfd),(kkkt)()(22 )(, )(kkf连续注意)()(22tt设各分点对应参数为), 1 ,0(nktk对应参数为 那么,1kkkttnk 10limkkkt)()(22 )(, )(kkfxdydsdxyoLsyxfd),(tttttfd)()()(),(22阐明阐明:, 0, 0) 1 (kkts因此积分限必

7、需满足!(2) 留意到 22)(d)(ddyxstttd)()(22x因此上述计算公式相当于“换元法. 因此假设曲线 L 的方程为),()(bxaxy那么有Lsyxfd),(假设方程为极坐标方式:),()(: rrL那么syxfLd),()sin)(,cos)(rrf推行推行: 设空间曲线弧的参数方程为设空间曲线弧的参数方程为)()(, )(),(:ttztytx那么szyxfd),(ttttd)()()(222xx d)(12d)()(22rrbaxxf) )(,()(),(, )(tttf假设假设 L是空间柱面坐标系是空间柱面坐标系(r,z)上的曲线上的曲线),(zz),( rrszyxf

8、d),(则)(z,sin)( r ,cos)( r (fd)( z)( r)(r222例例1. 计算计算,dLsx其中 L 是抛物线2xy 与点 B (1,1) 之间的一段弧 . 解解:)10(:2xxyLLsxd10 xxxd)2(12xxxd4110210232)41 (121x)155(121上点 O (0,0)1Lxy2xy o) 1 , 1 (B例例2. 计算计算,dsxIL其中L为双纽线)0()()(222222ayxayx解解: 在极坐标系下在极坐标系下它在第一象限部分为)40(2cos:1 arL利用对称性 , 得sxILd414022d)()(cos4rrr402dcos4a

9、222a,2cos:22arLyox例例3. 计算曲线积分计算曲线积分 ,d)(222szyx其中为螺旋的一段弧.解解: szyxd)(22220222)()sin()cos(t ktatattkakad202222202322223tktaka)43(3222222kakatktatad)cos()sin(222)20(,sin,costtkztaytax线例例4. 计算计算,d2sx其中为球面 2222azyx被平面 所截的圆周. 0zyx解解: 由对称性可知由对称性可知sx d2szyxsxd)(31d2222sa d312aa2312332asy d2sz d2思索思索: 例例4中中

10、改为改为0)1()1(2222zyxazyx计算?d2sx解解: 令令 11zZyYxX0 :2222ZYXaZYX, 那么sx d2sXd) 1(2sXd2332a)131(22aasX d2sda2圆的形心在原点, 故0XaX22, 如何d d s例例5. 计算计算,d)(222szyxI其中为球面22yx 解解: , 11)(:24122121zxyx:202)sin2(2)cos2(2)sin2(18d22920Id2cos221z. 1的交线与平面 zx292 z化为参数方程 21cos2x sin2y那么交线是圆，此处也可交线是圆，此处也可直接求出圆的半径直接求出圆的半径例例6.

11、计算计算,sdzyx|y|I222其中为0a, 0z,0ax2yxa4zyx222222oxyza2解：在柱坐标系下，L的方程为：222 cos ,42 sin ,22razara222( )( )( )rrzd由公式有ds=221 cosad 利用对称性得22202 sincos221 cos4aIada 22201 cos(1 cos)d 322202(1 cos) |3 2(221)3另解：L化为参数方程为：cossin, 022sin2xaayaza222()()()dxdydzdddd由公式有ds=222( sin )( cos )( cos)2aaad=3cos2ad =利用对称性

12、得20sin123cos42aIada 301( 3cos ) |3 2 2(2 21)3到点) 1 ,y,x00（在第一卦限内 从原点例例7. 设设L是曲线是曲线22/tanzxyyxz的 一段，求L的 弧长解：在柱坐标系下，L的方程为：,01rz12220( )( )( )Lsdsrrzd所求弧长101()2d31122025()|33三、第一型曲线积分的物理运用三、第一型曲线积分的物理运用1、质量 设空间L的 线密度为M( , )Lx y ds则1y ( , )Lyx y dsM1z ( , , )Lzx y z dsM1x ( , )Lxx y dsM2、重心或形心),y, x(1x

13、( , , )Lxx y z dsM1y ( , , )Lyx y z dsM3、转动惯量22(zy ) ( , , )xLIx y z ds22(zx ) ( , , )yLIx y z ds22(yx ) ( , , )zLIx y z ds222(yxz ) ( , , )oLIx y z ds例例8. 计算半径为计算半径为 R ,中心角为中心角为2的圆弧 L 对于它的对称轴的转动惯量I (设线密度 = 1). 解解: 建立坐标系如图建立坐标系如图,R xyoLsyILd2d)cos()sin(sin2222RRRdsin23 R0342sin22 R)cossin(3 R那么 )(si

14、ncos:RyRxL例例9. 设均匀螺旋形弹簧设均匀螺旋形弹簧L的方程为的方程为,sin,costaytax),20(tt kz(1) 求它关于 z 轴的转动惯量;zI(2) 求它的质心 .解解: 设其密度为设其密度为 (常数常数).syxILzd)(22202atkad222222kaa(2) L的质量smLd222ka 而sxLd22kaa20dcostt0(1)syLd22kaa20dsintt0szLd22kak20dtt2222kak故质心坐标为),0,0(k222()(0)ybzaabZ例：设 为圆盘绕O 轴旋转一周所生成的环体。计算该环体关于OZ轴的转动惯量22(xy )(1Jd

15、xdydz设密度函数为）解：用截面法22(xy )Jdxdydz22-(xy )zaaDdzdxdy222222-0abazabazdzdrrdr222222:xyzDbazbaz224224-1()() 2aabazbazdz22222308() abbazazdz22222308() abbazazdz令z=asint,233208coscos cosbb atat atdt则J2222(43)2baba用坐标面投影法本人做用坐标面投影法本人做内容小结内容小结1. 定义定义kkknkksf),(lim10szyxfd),(2. 性质性质kknkksf),(lim10Lsyxfd),(szy

16、xgzyxfd),(),() 1 (21d),(d),(d),()2(szyxfszyxfszyxf),(21组成由ls d)3( l 曲线弧 的长度)Lszyxfd),(),(为常数szyxgLd),(3. 计算计算 对光滑曲线弧, )( , )(, )(:ttytxLLsyxfd),( 对光滑曲线弧, )()(:bxaxyLLsyxfd),(baxxf) )(,(),()(: rrLLsyxfd),()sin)(,cos)(rrf 对光滑曲线弧tttd)()(22xx d)(12d)()(22rr)(),(ttf思索与练习思索与练习1. 知椭圆134:22yxL周长为a , 求syxxyLd)432(22提示提示:0d2sxyL原式 =syxLd)34(1222sLd12a12o22yx3利用对称性sxyLd2sxyLd2上sxyLd2下x2xyd1222)(2xxyd1222分析分析:xyo备用题备用题1. 设设 C 是由极坐标系下曲线