22　函数的简单性质（3）

1、姓名：范金泉姓名：范金泉单位：宿迁市马陵中学单位：宿迁市马陵中学复习回顾与情境创设：复习回顾与情境创设：说出下列函数的单调性：说出下列函数的单调性：xyO在在(0， )上是增函数上是增函数在在( ，0)上是减函数；上是减函数；yf(x)我们从这两个函数的图象上除看到了单调性，还能看到什么性质吗？我们从这两个函数的图象上除看到了单调性，还能看到什么性质吗？如何用数学语言来刻画这一几何性质呢？如何用数学语言来刻画这一几何性质呢？xyOyf(x)(1)f(x) x22(2)f(x) 1x在在(0， )上也是减函数上也是减函数在在( ，0)上是减函数；上是减函数；数学建构：数学建构：二次函数二次函数f

2、(x)x22的图象关于的图象关于y轴对称轴对称xyOf(x)上任一点上任一点(x，y)关于关于y轴的对称点轴的对称点(x，y)也在函数图象上也在函数图象上用数学语言刻画就是有用数学语言刻画就是有 f(x)= f(x)(x，y)(x，y)yf(x)反过来，若函数反过来，若函数yf(x)对于定义域内任一实数对于定义域内任一实数x，都有，都有f(x)= f(x)，函数的图象具有什么性质呢？函数的图象具有什么性质呢？f(x)f(x)恒成立恒成立函数函数yf(x)的图象关于的图象关于y轴对称轴对称反比例函数反比例函数f(x) 的图象关于原点对称的图象关于原点对称xyOf(x)上任一点上任一点(x，y)关

3、于原点关于原点的对称点的对称点(x，y)也在函数图象上也在函数图象上用数学语言刻画就是有用数学语言刻画就是有 f(x)=f(x)(x，y)(x，y)yf(x)反过来，若函数反过来，若函数yf(x)对于定义域内任一实数对于定义域内任一实数x，都有，都有f(x)=f(x)，函数的图象具有什么性质呢？函数的图象具有什么性质呢？f(x)f(x)恒成立恒成立函数函数yf(x)的图象关于原点对称的图象关于原点对称数学建构：数学建构：1x已知函数已知函数f(x)的定义域为的定义域为A，若对任意的若对任意的x A ，都有，都有f(x)= f(x)，则称函数，则称函数f(x)为奇函数为奇函数奇函数的图象关于原点

4、对称奇函数的图象关于原点对称偶函数的图象关于偶函数的图象关于y轴对称轴对称如果对任意的如果对任意的x A ，都有，都有f(x)= f(x)，则称函数，则称函数f(x)为偶函数为偶函数数学建构：数学建构：如果函数如果函数f(x)是奇函数或偶函数，我们就说函数是奇函数或偶函数，我们就说函数f(x)具有具有奇偶性奇偶性反之则说函数不具有奇偶性反之则说函数不具有奇偶性例例1判断函数判断函数f(x)x35x的奇偶性的奇偶性 数学应用：数学应用：对于定义在对于定义在R上的函数上的函数f(x)，下列判断是否正确：，下列判断是否正确：(1)若若f(2)f(2)，则，则f(x)是偶函数是偶函数(2)若若f(2)

5、f(2)，则，则f(x)不是偶函数不是偶函数(3)若若f(2)f(2)，则，则f(x)不是奇函数不是奇函数对于对于f(x)=x22x1 ，f(1)= 2 ， f(1)=2，显然有显然有f(1)=f(1)，函数是奇函数吗？，函数是奇函数吗？数学应用：数学应用：例例2判定下列函数是否为偶函数或奇函数：判定下列函数是否为偶函数或奇函数：(1)f(x)x3x；(2)f(x)2x； (3)f(x)2|x|； (4)f(x)x1 x1，3 练习：判断下列函数的奇偶性：练习：判断下列函数的奇偶性： 1f(x)x 1x2f(x)x2 x3f(x) 2x3f(x) |xx小结：判断函数具有奇偶性用定义，而判定函

6、数不具有奇偶性小结：判断函数具有奇偶性用定义，而判定函数不具有奇偶性只需看定义域或举反例只需看定义域或举反例数学应用：数学应用：xyO已知奇函数已知奇函数f(x)在在y轴右边的图象如图所示，请你画出左边的图象轴右边的图象如图所示，请你画出左边的图象如果如果f(x)是偶函数呢？是偶函数呢？数学应用：数学应用：xyO设奇函数设奇函数f(x)的定义域为的定义域为5，5，当，当x 0，5时，时， f(x)的图象如图的图象如图所示，试写出不等式所示，试写出不等式f(x)0的解集的解集如果如果f(x)是偶函数呢？是偶函数呢？52数学应用：数学应用：xyOx0 xyO22上面两个图象也具有对称性，所对应的函

7、数具有奇偶性吗？上面两个图象也具有对称性，所对应的函数具有奇偶性吗？xyO下面两幅呢？下面两幅呢？xyO数学应用：数学应用：二次函数二次函数yax2bxc(a0)是偶函数的条件是是偶函数的条件是一次函数一次函数ykxb(k0)是奇函数的条件是是奇函数的条件是b0b0 函数函数yf(x)的奇偶性，是函数的本质属性，可看作是将对称性特殊化的奇偶性，是函数的本质属性，可看作是将对称性特殊化奇函数是中心对称的特殊形式，偶函数则是轴对称的特殊形式奇函数是中心对称的特殊形式，偶函数则是轴对称的特殊形式数学应用：数学应用：例例3判断函数判断函数f(x)x22x，x0，x22x，x0的奇偶性的奇偶性变式：判断

8、函数变式：判断函数f(x)x2x1，x0 x2x1，x0的奇偶性的奇偶性小结：分段函数奇偶性的判断：小结：分段函数奇偶性的判断：先画出图象，结合图象给出奇偶性的结论，再利用定义分段证明先画出图象，结合图象给出奇偶性的结论，再利用定义分段证明注：若数字注：若数字0在定义域内，不能忽略讨论，在定义域内，不能忽略讨论，且对于奇函数且对于奇函数f(x)，若，若0在定义域内，则必有结论在定义域内，则必有结论f(0) 0数学应用：数学应用：例例4已知函数已知函数f(x)x52ax33bx 2，若，若f(2)3，求，求f(2)的值的值小结：小结：1利用规律利用规律f(x)f(x)等于常数项的等于常数项的2倍解题倍解题2一个定义域关于数一个定义域关于数0对称的函数，总可以表示成一个奇函数与对称的函数，总可以表示成一个奇函数与一个偶函数的和一个偶函数的和变式：若函数变式：若函数f(x)是是R上的奇函数，上的奇函数，g(x)是是R上的偶函数，且上的偶函数，且f(x) g(x)1x2x1，求求f(x)与与 g(x)的解析式的解析式数学应用：数学应用：1定义域内定义域内2任意一个任意一个x3都有都有f(x)=f(x)f(x)= f(x)偶函数偶函数奇函数奇函数有理函数有理函数不含有奇次幂项不含有奇次幂项不含有偶次幂项不含有偶次幂项4判定具有奇偶性判定具有奇偶性判定不具有奇偶性判定不具有奇偶性用定义用定义