旋转几何证明

1、巧用旋转解题温州市实验中学 周利明传统几何中，有许多旋转的例子，尤其是正方形和等腰三角形中。因此旋转的方法是几何学习中必备的技巧，本文将介绍旋转方法的几种典型用法，与广大读者共同学习、交流。1 .利用旋转求角度的大小例1 :在等腰直角中，/ 90° , P是内一点，满足,6、2、1 求/的度数.分析：本题借助常规方法的入手是比较困难的，虽然三条线段的实长度是已知的，但是这三条线段不是三角形的三条边长，因Ab 要得到角度的大小是不太容易的，因此我们可以借助旋转来分析问题，因为，这就给我们利用旋转创造了条件，因此可以考虑将APC绕点C逆时针旋转900 ,得BPC,连接PP，通过三角形的边

2、与角的关系分别求得CPP和PPB，就可得到 BPC的大小。解：由已知，将 APC绕点C逆时针旋转900，得BPC,连接PP ；由旋转可知： PCB ACP , CP CP , AP BP ；0P CB PCB ACB 90 ,二 P CP是等腰 直 角三角 形，二 CPP CP P 45°且PP 、2 ,在 PPB 中，T PB2 PP 2222）26 （、一6）2 AP2 BP 2 ,二 PPB是直角三角形，且 P PB 90° ,二 BPC CPP P PB 45°90°135° .例2:如图所示，正方形的边长为1, P、Q分别为边、上的点

3、，APQ 的周长为2，求PCQ的大小.分析：本题在已知三角形的周长和正方形的边长的条件下求角度的大小是比较困难的，因为正方形的边长,所以可以考虑将PBC绕点C顺时针旋转90°,易证E、D、Q三点共线，通过证明ECQ和PCQ全等即可求得 PCQ的大小. 将PBC绕点C顺时针旋转90。得EDC CBP900 ,ECDCE CP ；ECD DCQPCQ PCBPCB ,DCQ且 EDC CDA0180 , E、D Q三点共线，APQ的周长为2，即AQ APPQ 2 ,又/ AQ AP PB QD AB AD 2 , PQ PBDQ EDDQEQ ,CECP在ECQ和PCQ 中：EQPQ ,

4、 ECQPCQ ；CQCQ练习1：P为正方形内一点，且123,求/的大小.2. 利用旋转求线段的长度 例3：如图，P是等边内一点，2，PB 2 3，4，求的长。分析：本题虽然和、同处一个三角形，但是要求其长还缺角边三1A度，因此直接从已知条件入手是比较困难的，运用旋转的方法，就可以是问题简单化；因为本题的是等 角形，所以其三边是相等的，因此联想到将内部的 某个三角形进行旋转也是比较容易的；解： 是等边三角形，将绕点B逆时针旋转60°,则与重合，二 ABP EBC且，连接；0ABP CBP EBC CBP 60 ,二EBP是等边三角形，二 EP PB 2、3在 ECP 中：EP2 EC

5、2（2、3）22216 CP2 ;0 CEP 90 ,-EC PC， EPC 300 ,20 BPC 90 ,二 BCPC2 PB2 . 42 (2.3)228 2 7 .例4:如图，在梯形中，(>),/ 90°, 12,/ 45°,若10。求的长度。分析：仔细分析就会发现本题所给的条件不易D穴戸一尸直接求得的长度，还需要做一些变化，经观察!容易发现把把绕点 B顺时针旋转9C°；.”，可构成一个正方形，然后通过三角形全等C就找出B边之间的关系。解：把绕点B顺时针旋转90°得BGF，连接AG，易证AG F三点一线，且易知四边形为正方形.练习2:如图四

6、边形中，/ / 90,其面积为16,求A到的距离.由旋转可得：CBE GBF , BE BF ,ABE 45° ,ABFABGBE BFGBFABGCBE 450在ABE 禾口 ABF 中:ABEABF ,AB AB在ABEABF, AE AF10,设CEx，贝U AG 10x, AD DGAG 12(10x) 2 x ,DEDC CE 12 x ;在Rt ADE , AE2 AD2DE2 ,即 102(x 2)2(12x)2 ；x210x 240 ,解之得：花4,X26；的长为4或6.3. 利用旋转探求线段之间的关系 例5 :如图，在凸四边形中，/ 30 ° , / 60

7、 ° ,求证:BD2 AB2 BC2 .分析：由本题的结论不难想到在直角三角形中应用勾股定理可以证得含有平方关系的线段之间的关系，因此 我们就需要将结论中的这三条线段放到同一个直角三角形中,-B由于，所以可以考虑将 ADB绕点D顺时针方向旋转、°,一 一使和重合，这样就可以得到 Rt BCE，然后通过证明EDBE是等边三角形就可以得到结论中线段之间的关系.解：将ADB绕点D顺时针方向旋转60°,使和重合，得DCE并连接EB ,由旋转可得：ADBCDE , DCE DAB , DB DE ；0BDEBDCCDEBDCADE ADC 60 , DBE是等边三角形，二

8、DB BE,DCBDCEDCBDAB270°BCE0 90 ,Rt BCE 中:BE2 CE2 BC2 ,22 亠2 _亠2 BDBECEBC .例6:如图，在中，/90°,D、E在上，/ 45°,求证:2 2CD BEDE2分析：由本题的结论我们可以联想到直角三角形中勾股定理的结论，因此我们就需要将结论中的三条线段放在同一个直角三我们不难想到将 ADC绕点A延顺时针方向旋转.角形中，再由，这样我们就将DC、BE放到了同一个三角形中，EDC同时我们也不难证明FBE 90° ,然后我们只要设法证明AFEAED，则结论可得.解：，将ADC绕点A延顺时针方向旋

9、转90 °得AFB ,连接EF ,由旋转可得：FABCAD , FBA ACD45° ,FB DC , AFAD ；T EAD45°,二 BAECADBAE FAB FAE45° ,AF AD在 AFE 禾口 AED 中： EAD FAE，二 AFE AED ；AE AEEF ED ,FBE FBA ABC ACD ABC 90°FBE 是 Rt ,BF2 BE2 EF2 ED2 .练习3:如图、，是正三角形，是顶角/=12°o的等腰三角形，以D为顶点作一个6°o角，角的两边分别交、边于 M N两点，连接.探究：线段、之间的

10、关系，并加以证明.4. 利用旋转求面积的大小例7:如图正方形中，AB .3，点E、F分别在、上，且/ 30 / 15°，求的面积.分析：本题由已知条件直接去求结论是比较困难的，IEF由于该题中含15°, 30°等特殊角度，因此通过 可构作出45°角，构造三角形全等，通过等积变形来解决 问题是比较容易的。解：将绕A点延顺时针方向旋转 90°得厶，由旋转性质可知：AG AF , BAG FAD 150, ABG FDA 90° ,ABGABC 1800 ,点G B、E三点共线，又GAEGABBAE45(50 000 EAF90(1530

11、)45 ,AGAF在AFE和AGE 中:GAEFAE，二AFEAGEAEAEEF EG，又TAEFAEG600 ,RtABE 中:AB .3 ,/ 30°, BE1 ,在中，FEC 180°(60060'0)600 , EC BCBE , 31 , EF2EC2(、一 3 1),EF EG 2( ,3 1),11S AEG EG AB 2( 3 1)333 ,22S AEFS AEG例8：如图A、B、C、D是圆周上的四个点，Ab Cd Ac Bd .且弦8,弦6,贝U图中两个弓形（阴影）的面积和是多少?分析：从已知条件直接求两个弓形面积难度较大，抓住已知 条件Ab

12、Cd Ac Bd，容易发现Ab Cd正好是整个圆弧的一半， 因此通过将弓形绕圆心旋转使点D与点B重合，就可以得到直角三角形，然后求阴影部分的面积就会很容易.解：由于Ab Cd Ac ?d，知Ab Cd的长正好是整个圆弧的 一半，将弓形绕圆心旋转，使点 D与点B重合（如图2）：则Abc 恰好为半圆弧，二为eO的直径，/ 90°,二由勾股定理可求得AC 10,s阴影S半圆SRt ABC52 1 6 8 12.5224 .练习4:如图是等腰直角三角形，D为的中点，2,扇形和分别 是以、为半径的圆的丄，求阴影部分面积.4DE练习练习12:距离为4,练习2练习如图通过旋转变换得正方形.练习练习

13、3： MNNC BM ,把绕点D顺时针旋转120°得至U CDM ，易证DMNCDM .练习1)，将扇形和绕D点顺时针旋转180°.参考答案:练习1:1350，提示：如图将 BPC逆时针旋转900得AEB，连接PE，分别求得 APE和BPE .观察巧旋转妙解题沈岳夫旋转是几何图形运动中的重要变换，随着课程改革的进一步深入，利用旋转知识进行有关计算或证明的题目很多，尤其是题目中没有涉及到旋转等文字， 使不少学生在解答时无从着手， 找不到解题的途径，但如果能根据题目特征加以观察，通过旋转， 找到解题的突破口，那么问题就简单化了，现采撷部分试题加以 归纳，供参考。一.通过旋转，解

14、答角度问题例1.如图1, P是正三角形内的一点，且 6, 8, 10。求/的 度数。图1解析：先将部分已知条件集中到一个三角形中，再研究这个 三角形与所求的关系。将绕点A逆时针旋转60°后，得到，连接（如图 2）, 则 10, 6,/ 60°。二是等边三角形，6。在中，/ 90°60° +90° =150°图2通过旋转，计算线段长度问题例2.如图3, P是正内一点，2,PE=2朽,4，求的长。A解析：此题乍一看似乎无从着手，但只要运用旋转的方法来 解题，就显得十分容易。将绕点B逆时针旋转60° 则与重合（如图4）,连 接。则

15、是正三角形，即.-,由 if- ': : ,|? -1 -故/ 90°,因为MC= - PC所以/ 30° 又因为/ 60°, 故/ 90°, 得H - J 丨'CBA图4例3.如图5,10。求的长度。/ 90°, 12,/ 45° ，若解析：经观察，把绕点 B顺时针旋转90°,可构成一个正 方形，然后通过三角形全等，找出边之间的关系。延长，把绕点B顺时针旋转90°,与的延长线分别交于点 G,点M （如图6）,易知四边形为正方形。设，贝y 二t l-11 -:+ . I -在中，丄一一山r _ J

16、, 即一_! -一 + > -:厂：i所以的长为4或6。图6三. 通过旋转，巧算面积问题例4.如图7,正方形中，点E、F分别在、上，且 / 30°,/ 15°,求的面积。图7解析：由于该题中含15°, 30°等特殊角度，通过旋转, 可构作出45°角，构造三角形全等，通过等积变形而获解。将绕A点顺时针旋转90°到的位置（如图8）,由旋转性质可知：，/15°,故/ 15° +30° =45 °。./ 90°1- -:-r，卩又T.,/ 60°在中，一L -,/ 30

17、6;,贝V 1,在中 /2L.I T -.:即"八 :J' I图8例5.如图9, A B C D是圆周上的四个点，二LL亠+ _：L 且弦8，弦4，则图中两个弓形（阴影）的面积和是多少？（结 果保留三个有效数字）图9解析：要直接求两个弓形面积难度较大，抓住已知条件，运 用整体思维可简易求得。由于，知长等于圆的周长的一半，将弓形绕圆心旋转，使点D与点B重合（如图10）,贝2恰好为半圆弧，此时为圆 o的直径，从而/ 90°, 由勾股定理可求得，吕罔章=:半国-三淇""丫' x X 4 RS 15一4 故其面积和为15.4。S（D）图10四.

18、通过分割、旋转、拼接平行四边形例6.如图11,已知四边形纸片，现需将该纸片剪成一个与它面积相等的平行四边形纸片，如果限定裁剪线最多有两条， 能否做到：（用“能”或“不能”填空），若填“能”，请确定裁 剪线的位置，并说明拼接方法；若填“不能”，请简要说明理由。解析：解此题的关键是把大四边形分割成四个小四边形，然 后通过分割旋转达到目的，简答如下：能，如图12,取四边形各边的中点 E、G F、H,连接、，贝V、 为裁剪线，、将四边形分成 1、2、3、4四个部分，拼接时，图 中的1不动，将2、4分别绕点H F各旋转180°, 3平移，拼 成的四边形满足条件（如图13）。图12图13五. 通

19、过旋转巧证三点一直线例7.已知，点P是正方形内的一点，连接、。（1）将绕B点顺时针旋转90°到厶 的位置（如图14） 设的长为a,的长为b （b<a）。求旋转到厶的过程中边所扫过区域（图14中阴影部分）的面积。 若2, 4,2 135°,求的长。图14（2）如图15,若，请说明点P必在对角线上。解析：要说明点P必在对角线上（即点 A、点P、点C三点成 一直线）关键是弄懂第（1）小题的问题，实质第（1 ）小题的解 答过程为第（2）问埋下伏笔，让学生从中受到启发，运用类比 方法就易解答该题，简答如下：£阳需=_ ti 2）（1） i 4图15如图16,连接F二，将绕B点顺时针旋转90°到-三的 位置，则。工，/厂:,为等腰直角三角形，二 6图16(2)将绕点B顺时针旋转90°到厶 的位置(如图17) 贝y，/，连接匚二，贝y。0PA3 + PC2 =2PB:PC1 + PC3 =2PBaPC3 + =时ZPCP- SO0ZBPC + ZBP'C-180°.ZAPB +ZBPC =1SO"即点P必在对角线上。图17六. 通过旋转探求线段之间的关系例8.如图18, E是正方形的边上