高三数学第一轮复习测试及详细解答(9)—立体几何(共18页)_第1页
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1、精选优质文档-倾情为你奉上 高三数学第一轮复习单元测试(8) 立体几何一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1给出下列四个命题 垂直于同一直线的两条直线互相平行.垂直于同一平面的两个平面互相平行.若直线与同一平面所成的角相等,则互相平行.若直线是异面直线,则与都相交的两条直线是异面直线.其中假命题的个数是( )A1 B2 C3 D42将正方形ABCD沿对角线BD折成一个120°的二面角,点C到达点C1,这时异面直线AD与BC1所成角的余弦值是( )A B C D3一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是、,这个长方体对角

2、线的长为( )A2 B3 C6 D4已知二面角l的大小为600,m、n为异面直线,且m,n,则m、n所成的角为( )A300B600C900D12005如图,在正三角形ABC中,D、E、F分别为各边的中点,G、H、I、J分别为AF、AD、BE、DE的中点.将ABC沿DE、EF、DF折成三棱锥以后,GH与IJ所成角的度数为 ( )A90° B60° C45° D0°6两相同的正四棱锥组成如图所示的几何体,可放棱长 为1的正方体内,使正四棱锥的底面ABCD与正方体的某一个平面平行,且各顶点均在正方体的面上,则这样的几何体体积的可能值有( )A1个 B2个 C

3、3个 D无穷多个7正方体ABCDABCD的棱长为a,EF在AB上滑动,且|EF|=b(ba,Q点在DC上滑动,则四面体AEFQ的体积为( )A与E、F位置有关 B与Q位置有关C与E、F、Q位置都有关 D与E、F、Q位置均无关,是定值8(理)高为5,底面边长为4的正三棱柱形容器(下有底),可放置最大球的半径是( )A B2 C D(文)三个两两垂直的平面,它们的三条交线交于一点O,点P到三个平面的距离比为123,PO=2,则P到这三个平面的距离分别是( )A1,2,3 B2,4,6 C1,4,6 D3,6,9 9如图,在四面体ABCD中,截面AEF经过四面体的内切球(与四个面都相切的球)球心O,

4、且与BC,DC分别截于E、F,如果截面将四面体分成体积相等的两部分,设四棱锥ABEFD与三棱锥AEFC的表面积分别是S1,S2,则必有 ( )AS1<S2 BS1>S2CS1=S2DS1,S2的大小关系不能确定10已知球o的半径是1,ABC三点都在球面上,AB两点和AC两点的球面距离都是,BC两点的球面距离是,则二面角BOAC的大小是( )ABCD11条件甲:四棱锥的所有侧面都是全等三角形,条件乙:这个四棱锥是正四棱锥,则条件甲是条件乙的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件12已知棱锥的顶点为P,P在底面上的射影为O,PO=a,现用平行于底面

5、的平面去截这个棱锥,截面交PO于点M,并使截得的两部分侧面积相等,设OM=b,则a与b的关系是( )Ab=(1)a Bb=(+1)a Cb= Db=二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中的横线上)13已知正四棱锥的体积为12,底面对角线的长为,则侧面与底面所成的二面角等于_.14若一条直线与一个正四棱柱各个面所成的角都为,则=_ABCDA1B1C1D1第16题图A115若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为_.16多面体上,位于同一条棱两端的顶点称为相邻的,如图,正方体的一个顶点A在平面内,其余顶点在的同侧,正方体上与顶点A相邻的三个顶点到的距离分别

6、为1,2和4,P是正方体的其余四个顶点中的一个,则P到平面的距离可能是: ( )3; 4; 5; 6; 7以上结论正确的为_(写出所有正确结论的编号)三、解答题(本大题共6小题, 共74分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17(本小题满分12分)在长方体中,已知,求异面直线与所成角的大小(结果用反三角函数值表示).18(本小题满分12分)如图,、是互相垂直的异面直线,MN是它们的公垂线段。点A、B在上,C在上,.(1)证明;(2)若,求与平面ABC所成角的余弦值.19(本小题满分12分)如图,在棱长为1的正方体中,是侧棱 上的一点,.(1)试确定,使得直线与平面所成角的正切值为;(2)

7、在线段上是否存在一个定点,使得对任意的,在平面上的射影垂直于.并证明你的结论.20(本小题满分12分)(理)如图,已知矩形ABCD,PA平面ABCD,M、N分别是AB、PC的中点,设AB=a,BC=b,PA=c.(1)建立适当的空间直角坐标系,写出A、B、M、N点的坐标,并证明MNAB;(2)平面PDC和平面ABCD所成的二面角为,当为何值时(与a、b、c无关),MN是直线AB和PC的公垂线段.(文)正方体ABCDA1B1C1D1中,M、N、P分别为棱AB、BC、DD1的中点.(1)求证:PB平面MNB1;(2)设二面角MB1NB为,求cos的值.21(本小题满分12分)已知正方形.、分别是、

8、的中点,将ADE沿折起,如图所示,记二面角的大小为.(1)证明平面;(2)若为正三角形,试判断点在平面内的射影是否在直线上,证明你的结论,并求角的余弦值. AACBDEFBCDEF22(本小题满分14分)如图,在长方体ABCDA1B1C1D1中,E、P分别是BC、A1D1的中点,M、N分别是AE、CD1的中点,AD=AA1=a,AB=2a.(1)求证:MN面ADD1A1;(2)求二面角PAED的大小;(3)求三棱锥PDEN的体积.参考答案(8)1. D利用特殊图形正方体我们不难发现、均不正确,故选择答案D.2. D由题意易知ABC1是AD与BC1所成的角,解ABC1,得余弦为.答案:D3. D

9、设长宽高为a、b、c,则l=,答案:D4. B.作图可知满足条件的m、n所成的角1200为故应选B.5. B平面图形折叠后为正三棱锥.如图,取EF的中点M,连结IM、MJ,则MJFD,GHFD,MJGH,IJM为异面直线GH与JI所成的角.由已知条件易证MJI为正三角形.IJM=60°.答案:B6. D 法一:本题可以转化为一个正方形可以有多少个内接正方形,显然有无穷多个法二:通过计算,显然两个正四棱锥的高均为,考查放入正方体后,面ABCD所在的截面,显然其面积是不固定的,取值范围是,所以该几何体的体积取值范围是7. DVAEFQ=VQAEF.8.(理)B过球心作平行于底的截面,R=

10、2tan30°=2.(文)B9. C 连OA、OB、OC、OD则VABEFDVOABDVOABEVOBEFDVAEFCVOADCVOAECVOEFC又VABEFDVAEFC而每个三棱锥的高都是原四面体的内切球的半径,故SABDSABESBEFDSADCSAECSEFC又面AEF公共,故选C10. 如图,由题可知AOB=AOC=,而BOC=,因为OA=OB=OC=1,所以BC=1,且分别过B C作OA的垂线,垂足为同一点M,于是BMC为二面角BOAC的平面角,所以BM=CM=,从而BMC=,应选C.11. B乙甲,但甲乙,例如四棱锥SABCD的底面ABCD为菱形,但它不是正四棱锥.12

11、. C由平行锥体底面的截面性质,知=,=.= .b=a.答案:C13. 底面正方形面积,底面边长,高,二面角的余切值.代入数据,得:.又必为锐角,所以 .14.不妨认为一个正四棱柱为正方体,与正方体的所有面成角相等时,为与相交于同一顶点的三个相互垂直的平面所成角相等,即为体对角线与该正方体所成角.故.15. ABCDA1B1C1D1第16题图A116. 如图,B、D、A1到平面的距离分别为 1、2、4,则D、A1的中点到平面的距离为3,所以D1到平面的距离为6;B、A1的中点到平面的距离为,所以B1到平面的距离为5;则D、B的中点到平面的距离为,所以C到平面的距离 为3;C、A1的中点到平面的

12、距离为,所以C1到平面的距离为7;而P为C、C1、B1、D1中的一点,所以填17.法一:连接, 为异面直线与所成的角. 连接,在中, 则 . 异面直线与所成角的大小为. 法二:以为坐标原点,分别以、所在直线为轴、轴、轴,建立空间直角坐标系. 则 , 得 . 设与的夹角为, 则, 与的夹角大小为, 即异面直线与所成角的大小为. 18.()AM = MB = MN,说明NM是ANB的中线且为边AB的一半,所以ANB是直角三角形,其中ANB为直角。所以BNNA。且MN面ABNBN。由、可推出BN面NAC。所以ACBN。()MNAB且M为AB中点AN = MN 由()知,AN、BN、CN两两垂直 由、

13、 AC = BC,又ACB = ,所以ABC是等边三角形。设BN长度为1,则AB = ,三棱锥的体积为:;三棱锥的体积为:由可得 点N到面ABC的距离记NB与平面ABC所成角为,则。从而实际上,这个题的命题背景是是正方体的一个“角”。如图3.19. 法一:()连AC,设AC与BD相交于点O,AP与平面 相交于点,,连结OG,因为PC平面,平面平面APCOG,故OGPC,所以,OGPC.又AOBD,AOBB1,所以AO平面,故AGO是AP与平面所成的角. 在RtAOG中,tanAGO,即m.所以,当m时,直线AP与平面所成的角的正切值为.()可以推测,点Q应当是AICI的中点O1,因为D1O1A

14、1C1, 且 D1O1A1A ,所以 D1O1平面ACC1A1,又AP平面ACC1A1,故 D1O1AP.那么根据三垂线定理知,D1O1在平面APD1的射影与AP垂直。法二:()建立如图所示的空间直角坐标系,则A(1,0,0),B(1,1,0),P(0,1,m),C(0,1,0),D(0,0,0),B1(1,1,1),D1(0,0,1)所以又由知,为 平面的一个法向量.设AP与平面所成的角为,则依题意有解得故当时,直线AP与平面所成的角的正切值为()若在A1C1上存在这样的点Q,设此点的横坐标为,则Q(x,1,1),。依题意,对任意的m要使D1Q在平面APD1上的射影垂直于AP,等价于D1QA

15、P即Q为A1C1的中点时,满足题设要求.20. (理)(1)证明:以A为原点,分别以AB、AD、AP为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系.则A(0,0,0),B(a,0,0),M(,0,0),N(,).=(a,0,0),=(0,).·=0ABMN.(2)P(0,0,c),C(a,b,0),=(a,b,c),若MN是PC、AB的公垂线段,则·=0,即+=0b=c.CDPD,又AP面ABCDCDDAPDA是二面角PCDA的平面角.PDA=45°,即二面角PCDA是45°.(文)(1)如图,以D为原点,DA、DC、DD1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标

16、系,取正方体棱长为2,则P(0,0,1)、M(2,1,0)、B(2,2,0)、B1(2,2,2).· =(2,2,1)·(0,1,2)=0,MB1PB,同理,知NB1PB.MB1NB1=B1,PB平面MNB1.(2)PB平面MNB1,BA平面B1BN,=(2,2,1)与=(0,2,0)所夹的角即为,cos=.21. ()EF分别为正方形ABCD得边AB、CD的中点,EB/FD,且EB=FD, 四边形EBFD为平行四边形.BF/ED平面.(2)法一:如右图,点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上,过点A作AG垂直于平面BCDE,垂足为G,连结GC,GD.ACD为正三角形,

17、AC=ADCG=GD G在CD的垂直平分线上, 点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上,过G作GH垂直于ED于H,连结AH,则,所以为二面角A-DE-C的平面角.即设原正方体的边长为2a,连结AF在折后图的AEF中,AF=,EF=2AE=2a,即AEF为直角三角形, 在RtADE中, .法二:点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上连结AF,在平面AEF内过点作,垂足为.ACD为正三角形,F为CD的中点, 又因, 所以 又且 为A在平面BCDE内的射影G.即点A在平面BCDE内的射影在直线EF上过G作GH垂直于ED于H,连结AH,则,所以为二面角A-DE-C的平面角.即 设原正方体的边长为2

18、a,连结AF在折后图的AEF中, AF=,EF=2AE=2a,即AEF为直角三角形, 在RtADE中, .法三: 点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上连结AF,在平面AEF内过点作,垂足为.ACD为正三角形, F为CD的中点, 又因, 所以 又 为A在平面BCDE内的射影G.即点A在平面BCDE内的射影在直线EF上过G作GH垂直于ED于H,连结AH,则,所以为二面角A-DE-C的平面角.即 设原正方体的边长为2a,连结AF在折后图的AEF中,AF=,EF=2AE=2a,即AEF为直角三角形, 在RtADE中, , .22. 法一:以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别 为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系Dxyz,则A(a,0,0)、B(a,2a,0)、C(0,2a,0)、A1(a,0,a)、D1(0,0,a) E、P分别是BC、A1D1的中点,M、N分别是AE、CD1的中点,E(),P(),M() ,N()(1) ,

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