变上限定积分在元微积分中的应用

1、变上限定积分在一元微积分中的应用薛自学(甘肃农业大学理学院，甘肃兰州730070)摘要变上限定积分是高等数学重要的教学内容之一，本文专题讨论它的的一些应用，有助于学生加深对基本概念的掌握，也有助于提高学生的综合解题能力和数学思维能力关键词 变上限定积分，极限，导数，不等式1变上限定积分若函数f(x)在a，b上连续，对任意a，b，定义变上限定积分xG(x) f (t)dt X a，bax定理：若函数f (x)在a，b上连续则变上限定积分 G(x) = i f (t)dt(a，b)在a，bL a上可导，且G (x)二f (X) 推论：若函数f (x)在a，b上连续，u(x)，v(x)在a，b上可微

2、则变上限定积分u (x)(X)二 f (t) dt( x a，b )在a，b上可导，且门(x) = f u(x)u (x) - fv(x)v (x).v( x)熟练掌握变上限定积分的求导方法，对于解决与变上限定积分有关的各种综合问题具有重要的作用例如，含有变上限积分的综合极限问题，变上限定积分与参数方程和隐函数的综合求导问题，以及与变上限定积分有关的单调性，极值，不等式的证明等等2变上限定积分的应用2.1利用变上限定积分求极限例1.求极限：lim xT疑Xex2dt 20Xe2dt分析若被积函数为它们的原函数不是初等函数，所以无法用初等函数表示其原函数.若用洛比达法则求该极限，不必计算定积分的

3、值，则可求出极限.2x2e2 x2迥.X x2解lim 厂丁-xC J 2x2e dt0x2 X x2 2e e dt lim -0X J ：例2.确定常数a，b，c，使得limoax -sin x 呼dtb tc(c = 0)2.22.3力.解因为当xaxsin x冯T3)dtb t0 时，ax -sin x ； 0 且 c = 0.所以 lim0b故 lim (a -cosx) =0x 0变上限定积分的导数运算Udt=0,故 b=0.t1.求J宀dxx 2e丄dtax-s in xxln(1 t3)0 t=limdt x卩a - cosx3= limIndtjx3)x 卫xa - cos

4、x2= Cx解得:a = 1 ；从而Lf(t) dt'Jxf(t) dt1J02f (x) -ex 2e丄dtc= lim -cosx0A2、 Xsin x=e 0(-e)f (t) dt e_dt f(x)0Xf(t)dtd x2.设 f (x)连续.求t f (x2 -t2)dt.dxX221 x0t f(x -t )dt = 2 0 f(u)dux0t1f(x Y )d2dxd = : f (u)du 二 xf(x2)dx利用变上限定积分研究函数利用变上限定积分研究函数的形态在理论上更具备充分性，因而反映的函数性质也更有说服在利用变上限定积分研究函数时 ，一定要先考察函数的可积性

5、 ，并严格按照求积或求导法则 .例1.研究函数f(X)=1 -cosxx0x2° cost2dtx解因为 lim f (x) = lim 1 cosxx Q-x )0lim f (x) = lim -x)0 x x:0=0在x = 0处的连续性与可导性.xx220 cost dt2xcosx4 c二 lim0-T 十1所以 lim f(x) = 0 二 f(0),函数f (x)在x二0处连续.又 f _(0) =lim f(x) _ f(0) =limx-0_x_0xt-cosx2xx2f (0)Pm>2cost dt2xcosx41二 lim1x)o 2x所以f_(0) =

6、f (0),函数f (x)在X =0处不可导例2.设函数f (x)在1, ：)上连续,且f(x) . 0.求函数XF(x) = 1 (X In x) -(2 Int)lf (t)dt的极值.解 F(x)= |(I + I nx) f(t)dt J； G+I nt)f (t)dtdx 11令 F (x) = 0 ,得驻点 x = 2 .当 1 ： x : 2 时，F (x) ： 0 ；当 x . 2 时，F (x) . 0X1 f(t)dt.所以当x =2时，F(x)有极小值F(2).另外，还可用来判断的单调性，凹凸性和拐点，求函数的最值.2.4 利用变上限定积分证明不等式例1.设函数f (X)

7、在a，b 上连续且严格单调增加.证明：bb(a b) a f (x) dx ： 2 ax f (x) dxXX证作辅助函数 F(x)=(a x) f(t)dt-2 t f (t) dt'aL axF (x)f(t) - f(x) dt ：0,所以 F(x)单调递减.故 F(b) ： F(a) =0-abb即(a b) f (x) dx ： 2 x f (x) dxLa* a例2.设函数f (x)，g (x)在a，b 上连续.证明Cauchy-Schwarz不等式：f (x)g(x)dxb 2b 2af2(x) dx g2(x)dxX cX o证作辅助函数 F(x) f2(t)dt. g2(t)dtaa-|faf (t)g(t)dtjX2F (x) f (t)g(x) - f (x)g(t) dt 0,所以 F (x)单调增加.故 F(b)_F(a)a-b-j2b