第四章曲线积分与曲面积分第七节斯托克斯公式与旋度ppt课件

1、第七节第七节 斯托克斯公式与旋度斯托克斯公式与旋度斯托克斯公式斯托克斯公式二二 环量与旋度环量与旋度一一 斯托克斯公式斯托克斯公式定理定理 设光滑曲面设光滑曲面 的边界的边界 是分段光滑曲是分段光滑曲线线, yxyPxQxzxRzPzyzQyRdddddd zRyQxPddd (斯托克斯公式斯托克斯公式)个空间域内具有连续一阶偏导数个空间域内具有连续一阶偏导数, 的的侧与侧与 的正向符合右手法则的正向符合右手法则, RQP,在包含在包含 在内的一在内的一则有则有 RQPzyxdxdydzdxdydz那么那么 xPd CxyxzyxPd),(,(利用格林公式利用格林公式) yxyxzyxPyxy

2、Ddd),(,( yxyzzPyPxyDdd xyzo Cn 证证:情形情形1 与平行与平行 z 轴的直线只轴的直线只交于一点交于一点, 设其方程为设其方程为yxDyxyxfz ),(, ),(:为确定起见为确定起见, 不妨设不妨设 取上侧取上侧 (如图如图).xyD SfzPyPydcos ,11cos22yxff ,1cos22yxyfff coscos yf因而因而 SzPyPxPdcoscoscosd SyPzPdcoscos yxyPxzzPdddd 同理可证同理可证 yQdzyzQyxxQdddd xRdxzxRzyyRdddd 三式相加三式相加, 即得斯托克斯公式即得斯托克斯公式

3、 ;情形情形2 曲面曲面 与平行与平行 z 轴的直线交点多于一个轴的直线交点多于一个, 则可则可通过作辅助线面把通过作辅助线面把 分成与分成与z 轴只交于一点的几部分轴只交于一点的几部分,在每一部分上应用斯托克斯公式在每一部分上应用斯托克斯公式, 然后相加然后相加, 由于沿辅助由于沿辅助曲线方向相反的两个曲线积分相加刚好抵消曲线方向相反的两个曲线积分相加刚好抵消,所以对这所以对这类曲面斯托克斯公式仍成立类曲面斯托克斯公式仍成立. 注意注意: 假如假如 是是 xoy 面上的一块平面区域面上的一块平面区域, 则斯托克斯则斯托克斯公式就是格林公式公式就是格林公式,故格林公式是斯托克斯公式的特例故格林

4、公式是斯托克斯公式的特例.证毕证毕为便于记忆为便于记忆, 斯托克斯公式还可写作斯托克斯公式还可写作: RQPzyxyxxzzydddddd zRyQxPddd 或用第一类曲面积分表示或用第一类曲面积分表示:SRQPzyxdcoscoscos zRyQxPddd xyz Ldzxydyzxdxzy)()()2(L222 zyxz,222:yxz dxdydzdxdydz22例例1 1 计算曲线积分计算曲线积分其中其中是平面是平面被三坐标面截下的三角形被三坐标面截下的三角形解解 原式原式 的边界，它的方向为从的边界，它的方向为从轴正向看去是逆时针的。轴正向看去是逆时针的。,上侧上侧,32cos 0

5、, 0, 1: yxyxDxy Ddxdy33727 dS37,32cos 31cos xyzxzyzyxdxdydzdxdydz2o Ldzyxdyxzdxzyy)()()2(222222 01:222zyxzyxLz例例2 2 计算曲线积分计算曲线积分其中其中它的方向为从它的方向为从轴正向看去轴正向看去解解是逆时针的。是逆时针的。0: zyx1222 zyx上侧上侧原式原式 2222222yxxzzyyzyxdxdydzdxdydz2()()(1)yz dydzzx dzdxxydxdy 332 2 3(2221)3xyzdS 在在 上，上，0 zyx dS332 为为0 zyx落在球落在

6、球1222 zyx内部分，因此为半径是内部分，因此为半径是1的园。的园。 Ldzzxdyxzdxzy)()()(333333 22222:yxzyxzLz例例3 3 计算曲线积分计算曲线积分其中其中它的方向为从它的方向为从轴正向看去是轴正向看去是逆时针的。逆时针的。解解 22222:yxzyxzL 1122zyx)1(1:22 yxz上侧上侧 dxdyyxdzdxxzdydzzy)()()(3222222 23 12222)(3yxdxdyyx 333333yxxzzyzyxdxdydzdxdydz Ldzzxdyxzdxzy)()()(333333 201033dd二二 环量与旋度环量与旋度

7、1 环流量的定义环流量的定义:设有向量场设有向量场kzyxRjzyxQizyxPA),(),(),( L是场内一条有向分段光滑闭曲线，是场内一条有向分段光滑闭曲线，称曲线积分称曲线积分 LRdzQdyPdx为向量场为向量场A沿有向闭曲线沿有向闭曲线L的环量。的环量。例例4求向量场求向量场kzj yi xA 沿曲线沿曲线L 2122zyx的环量，的环量，其中其中L的方向从的方向从z正向看去是逆时针的。正向看去是逆时针的。解解L的参数方程为的参数方程为, 2,sin,cos ztytx 20:t Lzdzydyxdx 2002cossin)sin(cosdttttt0 2 旋度旋度设向量场设向量场

8、kzyxRjzyxQizyxPA),(),(),( 称向量称向量kyPxQjxRzPizQyR)()()( RQPzyxkji A =为向量场为向量场A在点在点),(zyxM处的旋度。处的旋度。记为记为ArotArot例例5求向量场求向量场kxyjyxixyzA )(22在点在点)2 , 2, 1( 处的旋度。处的旋度。解解xyyxxyzzyxkjiA 22roti x jyxy)( kxzx)2( )2, 2, 1(rotAi j4 斯托克斯公式的向量形式斯托克斯公式的向量形式rotLA dsA dS A dS ,321 zyx, M例例6 6 设一刚体绕过原点设一刚体绕过原点O O的某个轴转动的某个轴转动, ,其角速度其角速度刚体上每一点处的线速度构成一个线刚体上每一点处的线速度构成一个线在点在点处的线速度为处的线速度为速场速场,则向量则向量rOM rv zyxkji321 ,211332 xyzxyz vrot .22,2,2321 由此可