二两因素等重复试验的方差分析ppt课件

1、二、两要素等反复实验的方差分析二、两要素等反复实验的方差分析一、两要素非反复实验的方差分析一、两要素非反复实验的方差分析第第5.2节两要素方差分析节两要素方差分析 一、两要素非反复实验的方差分析一、两要素非反复实验的方差分析12,.,rA BArA AA设设有有两两个个因因素素因因素素 有有 个个不不同同的的水水平平12,(,)SijBsB BBA BA B有有 个个不不同同水水平平，在在的的每每一一种种水水平平组组合合,ijijXX下下做做一一次次试试验验，试试验验结结果果为为所所有有相相互互独独立立，要素要素B要素要素A1ArA2A1B2BsB11X21X1rX12X22X2rXsX1sX

2、2rsX1 1、两要素实验、两要素实验所所有有试试验验结结果果为为对两个要素的每一组合只做一次实验对两个要素的每一组合只做一次实验, 称其称其为为双要素无反复实验双要素无反复实验.2 2、两要素非反复实验、两要素非反复实验1111111111,.rsjijiijijrsrsijijijijXXXXrsXXXrsn 为为了了方方便便计计算算，记记2, 1,2, ,1,2, ,(0,), ijijijijijXir jsN 各各独独立立假设假设211 (,), , .,ijijijXNir jsX 各各独独立立2,.ij 均均为为未未知知参参数数3 3、数学模型、数学模型为了运用方差分析模型，需求

3、做如下变换为了运用方差分析模型，需求做如下变换设设 risjijrs111 总平均总平均rissjiji, 1 ,11 sjrriijj, 1 ,11 riii, 1, iiAA水水平平 的的效效应应，表表示示 在在总总体体平平均均数数上上引引起起的的偏偏差差jiBB水水平平的的效效应应，表表示示在在总总体体平平均均数数上上引引起起的的偏偏差差. 0 , 011 sjjrii sjjj, 1, ()ijijijij ,ijij ,ijA B因因素素A A, ,B B在在组组合合水水平平( () )交交互互效效应应101,rijijijijijs 其其中中101, .sijjir 又又由由于于只

4、只做做一一次次试试验验，没没有有0.ij 交交互互效效应应，因因而而因因而而原原模模型型可可以以转转化化为为要推断要素要推断要素A的影响能否显著，就等价于假设检验的影响能否显著，就等价于假设检验0111110:,:,.rrHH 不不全全为为零零0211210:,:,.ssHH 不不全全为为零零21101 21 200, ( ,), , , , , ,. ijijijijijrsijijXNir js 相相互互独独立立称其为两要素非反复实验方差分析的数学模型称其为两要素非反复实验方差分析的数学模型要推断要素要推断要素A的影响能否显著，就等价于假设检验的影响能否显著，就等价于假设检验3. 离差平方

5、和分解离差平方和分解1111111rsrsijijijijXXXXrsrs 111 2, (, , )siijjXXirs 111 2, (, , )rjijiXXjsr 211()rsTijijQXX 总离差平方和总离差平方和(总变差总变差)211()()()rsijijijijXXXXXXXX 221111()()rsrsijijiijijXXXXXX 211()rsjijXX 112() ()rsijijiijXXXXXX112() ()rsijijjijXXXXXX112() ()rsijijXXXX 11111111.1111000rsijijiijrssssijijiijjjjri

6、iiisrijijjjisjjjjsjjjjTXXXXXXXXXXXXsXsXsXsXXXXXXXXXrXrXrXrXXXrXrXrXrXXXQ 由于由于；故有 故有 211()rsijijXX TQ EQBQ AQ 随机误差随机误差平方和平方和要素要素A的引起的引起的离差平方和的离差平方和要素要素B的引起的引起的离差平方和的离差平方和21()riisXX 21()sjjrXX 211()rsijijijXXXX 211()rsEijijijQXXXX 21()rAiiQsXX 记记21()sBjjQrXX 令1111111rsrsijijijijrsrs3. 离差平方和的统计特性离差平方和的

7、统计特性111, , ,siijjirs 111, , ,rjijijsr 那么那么2211111111111()()rsrsrsrAijijijijijijijiQsXXsXXsrssr 211111()()rsrijijijijijissr 21()riiis 211rsEijijijQ 21()sBjjjQr 同理同理又由于又由于22222000100( ,), ( ,), ( ,)( ,)-( ,)ijijiNNNsrrNNsrrs ，21()()rAiiiE QsE 因此因此221112()()rrriiiiiiissEsE 22110()() rriiiiissDE 2211rii

8、rssrrs 2211()riisr 同理同理2211()()rBiiE Qrs 211()()()EE Qrs1111111, , ,()()AABBEEQQQQQQrsrs 令令那么那么22221111, , rrAiBiiisrEQEQrs 2()EE Q 01(),();AEAEHE QEQE QEQ 由由于于成成立立时时，否否则则02(),(),BEBEHE QEQE QEQ 由由于于成成立立时时，否否则则因此因此 构造统计量构造统计量, , ABABEEQQFFQQ 4. 统计量的分布统计量的分布0102011(, , , )ijHHirjs 由由于于, ,成成立立时时，,ijij

9、X 因因而而则则离离差差平平方方和和可可以以改改写写为为21()rAiiQs 211rsEijijijQ 21()sBjjQr 211()rsTijABEijQQQQ 222111() ().rsijTijQrs 0 112( , ),.ijN又又由由于于由由定定理理1 1可可知知，22211() ()./riAiQrs 22211() ()./SjBiQsr 21101(, )rEijijiQis 而而具具有有约约束束1011111(, ),- -( - )( - ).rijijjirsrrs s rrs 以以及及约约束束而而最最后后一一个个约约束束可可以以由由前前得得到到，因因而而其其独独

10、立立约约束束条条件件共共显然，离差平方和公式的左右两边自在度满足：显然，离差平方和公式的左右两边自在度满足：1111()()()rsrsrsrs 由柯赫伦因子分解定理由柯赫伦因子分解定理(p16定理定理1.7)可知可知:2211()EQrsrs 22111111- )(,()() - )()AAAEEQQrFF rrsQQrs （因此原假设成立时因此原假设成立时22111111- )(,()() - )()BBBEEQQsFF srsQQrs （5. 回绝域回绝域111|(,()()AAAWFFFrrs A 在在给给定定显显著著性性水水平平 下下，因因素素 对对试试验验结结果果有有显显著著影影

11、响响的的拒拒绝绝域域为为111B|(,()()BBWFFFsrs B 在在给给定定显显著著性性水水平平 下下，因因素素 对对试试验验结结果果有有显显著著影影响响的的拒拒绝绝域域为为表表5.9两要素非反复实验的方差分析表两要素非反复实验的方差分析表方差来源方差来源平方和平方和自在度自在度均方均方F值值要素要素A要素要素B总总 和和TQAQBQ1rs 1 r1 s1AAQQr 1BBQQs AAEQFQ BBEQFQ EQ11()()rs 11()()EEQQrs 误误 差差为了计算方便，通常可以采用如下公式：令为了计算方便，通常可以采用如下公式：令2211111, , ,rsrsijijijij

12、TXPTRXrs 22111111() , () ,rssrIijIIijijjiQXQXsr 那么那么, ,AIBIIEIIITQQPQQPQRQQPQRP 例例1(p1651(p165例例5.5)5.5) 为了提高某种合金钢的强度，需求为了提高某种合金钢的强度，需求同时调查炭同时调查炭C以及以及Ti的含量对强度的影响，以便选取的含量对强度的影响，以便选取合理的成份组合使得强度到达最大，在实验中分别取合理的成份组合使得强度到达最大，在实验中分别取要素要素A(C的含量的含量)3个程度，要素个程度，要素B(Ti的含量的含量)4个程度，个程度，1 2 31 2 3 4(,)(, , , , , )

13、ijA Bij 在在组组合合条条件件下下各各炼炼一一炉炉测得的强度为测得的强度为:73.571.971.067.269.067.866.465.166.865.663.963.1 B程度程度A程度程度1B2B3B2B1A2A3A试问：炭与钛的含量对合金钢的强度能否有显著影响试问：炭与钛的含量对合金钢的强度能否有显著影响(=0.01).解解3412,rsrs经经计计算算113 2974 9135 73 21., ., . , .TABEQQQQ 0 0170 022 610 9.( , ).AAEQFFQ 0 0121 913 69 78.( , ).BBBQFFQ因此炭与钛的含量对合金钢的强度

14、是有显著影响因此炭与钛的含量对合金钢的强度是有显著影响.1212:,:,(,),rsijijkA A AAB B BBA BtX因因素素, ,因因素素每每一一个个组组合合水水平平下下重重复复试试验验 次次，测测得得的的数数据据为为如如表表表表.5.12要素要素A要素要素B1A2ArA1B2BsBtXXX11112111, ,tXXX21212211, ,tXXX12122121, ,tXXX22222221, ,stssXXX12111, ,stssXXX22212, ,trrrXXX11211, ,trrrXXX22221, ,rstrsrsXXX, ,21二、双要素等反复实验的方差分析二、

15、双要素等反复实验的方差分析假设假设., 1, 1, 1),(2tksjriNXijijk .,2均为未知参数均为未知参数独立独立各各 ijijkX ., 2 , 1, 2 , 1, 2 , 1,), 0( ,2tksjriNXijkijkijkijijk独独立立各各 1. 数学模型数学模型设设 risjijrs111 总平均总平均rissjiji, 1 ,11 sjrriijj, 1 ,11 riii, 1, iiAA水水平平 的的效效应应，表表示示 在在总总体体平平均均数数上上引引起起的的偏偏差差jiBB水水平平的的效效应应，表表示示在在总总体体平平均均数数上上引引起起的的偏偏差差sjjj,

16、 1, 1100 , .rsijij 则则 ,ijijij,ijA B组组合合水水平平( () )的的交交互互作作用用效效应应110101, , , .rsijijijjsir2111101 21 21 20000, ( ,), , , , , , , ,.ijkijijijkijkijkrsrsijijijijijXNir js kt 各各相相互互独独立立称其为双要素等反复实验方差分析的数学模型称其为双要素等反复实验方差分析的数学模型 判别要素以及要素的交互作用对实验结果能否有判别要素以及要素的交互作用对实验结果能否有显著影响等价于检验假设：显著影响等价于检验假设： .,:, 0:21112

17、101不不全全为为零零rrHH .,:, 0:21122102不全为零不全为零ssHH 0311121311120:, :,.rsrsHH 不不全全为为零零2.分解离差平方和分解离差平方和 risjtkijkXrstX1111 tkijkijXtX11 sjtkijkiXstX111 ritkijkjXrtX111 risjtkijkTXXS1112)(总离差平方和总离差平方和(总变差总变差) risjtkjiijijkXXXXXX111)()()(2)(XXXXjiij risjtkjiijijkXXXXXX111)()()(2)(XXXXjiij risjtkijijkXX1112)( r

18、iiXXst12)( sjjXXrt12)( risjjiijXXXXt112)(TQ EQBQ AQ A BQ 误差误差平方和平方和要素要素 A 的的效应平方和效应平方和要素要素 B 的的效应平方和效应平方和要素要素A,B的交的交互效应平方和互效应平方和令1111,rstijkijkrst 3. 离差平方和的统计特性离差平方和的统计特性111, , ,siijjirs 111, , ,rjijijsr 那么那么211111111()rstrstAijkijkijkijkQstXXstrst 1112111() ()rstijijijkijkrijijijkiststr 21()riiist

19、11,tijijkkt 2111111()rstrijkijkijkistXXstr2111rstEijkijijkQ21()sBjjjQr 同理同理又由于又由于2222200000( ,), ( ,), ( ,)( ,), ( ,),ijkijijNNNstrtNNtsrt211rsA BijijijijQt 21()()rAiiiE QstE 因此因此221112()()rrriiiiiiiststEstE 22221111()()/rriiiirstErrrst 2211riirstrr 2211()riistr 同理同理2211()()rBiiE Qrs 21()()EE Qrs t1

20、1111, , ,()()()ABA BABA BEEQQQQQQrsrsQQrs t 令令那么那么22221111, , rrAiBiiistrtEQEQrs 2221111(), ()()()rsEA BijijtE QE Qrs 221111()()()rsA BijijE Qrst 01(),();AEAEHE QEQE QEQ 由由于于成成立立时时，否否则则02(),(),BEBEHE QEQE QEQ 由由于于成成立立时时，否否则则因此因此 构造统计量构造统计量, , ABA BABA BEEEQQQFFFQQQ 4. 统计量的分布统计量的分布01020301(, , ijijHH

21、Hir 由由于于, , ,成成立立时时，1 , ),ijkijkjsX 因因而而则则离离差差平平方方和和可可以以改改写写为为03(),(),A BEA BEHE QEQE QEQ 由由于于成成立立时时，否否则则21()rAiiQst 211rsA BijijijQt 21()sBjjQrt 211()rsEijkijijQ222211111() ().rstTijkijkQrst 0 12 7( , ),.ijkN又又由由于于由由定定理理可可知知，222211111,)(),(),ABA BEQQQrsQsrrs t 的的自自由由度度为为的的自自由由度度为为的的自自由由度度为为( (的的自自由

22、由度度为为显然，离差平方和公式的左右两边自在度满足：显然，离差平方和公式的左右两边自在度满足：11111()()()()rstrsrsrsrs t 由柯赫伦因子分解定理由柯赫伦因子分解定理(p27定理定理1.6)可知可知:221()EQrst rs 2211()A BQrs r s 2211()BQs 2211()AQr 221111- )(,() ()AAAEEQQrFF rrs tQQrs t （因此因此221111- )(,() ()BBBEEQQsFF srs tQQrs t （22111111- )()(- )(),() ()A BA BA BEEQQsrFFsrrs tQQrs t

23、 （5. 方差分析对应的回绝域方差分析对应的回绝域11|(,()AAAWFFFrrs tA 在在给给定定显显著著性性水水平平 下下，因因素素 对对试试验验结结果果有有显显著著影影响响的的拒拒绝绝域域为为11B|(,()BBWFFFsrs tB 在在给给定定显显著著性性水水平平 下下，因因素素 对对试试验验结结果果有有显显著著影影响响的的拒拒绝绝域域为为111A B|()(),()A BA BWFFFrsrs t ,BA 在在给给定定显显著著性性水水平平 下下，因因素素的的交交互互作作用用对对试试验验结结果果有有显显著著影影响响的的拒拒绝绝域域为为将上述结果总结，可以得到如下表内容将上述结果总结

24、，可以得到如下表内容:表表5.13双要素等反复实验的方差分析表双要素等反复实验的方差分析表方差来源方差来源平方和平方和自在度自在度均方均方F比比要素要素A要素要素B交互作用交互作用误差误差总和总和TQEQAQBQA BQ 1 rst)1( trs1 r1 s)1)(1( sr1AAQQr 1BBQQs 11()()A BA BQQrs 1()EEQQrs t AAEQFQ BBEQFQ A BA BEQFQ 为了计算方便，通常可以采用如下公式：令为了计算方便，通常可以采用如下公式：令221111111, , ,rstrstijkijkijkijkTXPTWXrst 221111112111111() , () ,()rstsrtijkijkijkjikrstijkijkUXVXstrtRXt 那么那么, , , , ABA