弹性力学试卷2009(答案)

1、 六、已知图 4 所示的悬臂梁，其跨度为 l，抗弯刚度为 EJ，在自由端受集中载荷 P 作用，试从下列函数中选择一个作为解题的位移函数，并由最小势能原理求最 大挠度值。 （15 分） x （1） w1 = a2 x 2 + a3 x 3 （2） w 2 = a 1 1 cos 2l x （3） w 3 = a 1 1 sin 2l P x O l z 图4 解：解法一： dw （1） 选择函数 w1 = a2 x 2 + a3 x 3 ， 此函数满足固定端边界条件 ( w x = 0 = 0 , =0 dx x = 0 由最小势能原理确定系数 a2 、a3 。 d 2w 1 l EJ （2）

2、应变能： U = EJ 2 dx = 0 2 2 dx = EJ 2 2 ( 2a l 0 2 + 6a3 x dx 2 ( 4a l 0 2 2 2 2 2 2 3 x dx = EJ 2a 2 l + 6a 2 a 3 l 2 + 6a 3 l + 24a 2 a 3 x + 36a 3 ( 外力功： W = P ( w x = l = P ( a 2 l 2 + a 3 l 3 2 2 3 总势能： 1 = U W = EJ ( 2a2 l + 6a 2 a3 l 2 + 6a 3 l P ( a2 l 2 + a 3 l 3 Pl 2 （3） 最小势能原理： 1 = EJ 4a2 l

3、+ 6a 3 l 2 Pl 2 = 0 2a 2 l + 3a3 l 2 = a 2 2EJ ( 1 Pl 2 2 3 3 2 = EJ 6a2 l + 12a3 l Pl = 0 a2 l + 2a 3 l = a 3 6 EJ ( 6 a2 = Pl P ,a 3 = 2 EJ 6 EJ w = Pl 2 P Pl 2 x x x3 = x 3 2EJ 6 EJ 6 EJ l Pl 3 。 = 3EJ 最大挠度发生在自由端，其值为： w max 解法二： x （1）选择函数 w 2 = a 1 1 cos 2l ，此函数满足固定端边界条件 ( w x=0 = 0 , dw =0 dx x

4、= 0 由最小势能原理确定系数 a1 。 d 2w 1 l EJ （2）应变能： U = EJ 2 dx = 2 0 2 dx EJl 2 = a1 4 2l 外力功： W = P ( w x = l = Pa1 总势能： 1 = U W = 4 4 2 2 x a1 cos 2 dx 0 2l 2l l 4 EJl 2 a1 Pa1 4 2l 1 EJl （3）最小势能原理： = a1 P = 0 a1 2 2l 32 Pl 3 a1 = 4 EJ 4 w = 32Pl 3 x 1 cos 4 EJ 2l 最大挠度发生在自由端，其值为： w max = a1 = 32 Pl 3 。 4 EJ

5、 7 七 、 图 5 所 示 矩 形 板 ， 长 度 远 大 于 高 度 ， 体 力 不计 。 试 证 函 数 qy 2 2 y 3 y qx 2 4 y 3 3 y U= + 1 + 3 （ q 为已知常数）是应力函数，并指出能解决 4 h3 h h 10 h 什么问题（在图上表示） 。 （15 分） 解：(1将函数 U 代入双调和方程： 2 2U = 0 满足 ql q 所以，可作为应力函数。 (2应力分量为： 6qx 2 y 4qy 3 3qy + 3 h3 h 5h 3 q 4y 3y y = 3 + 1 2 h h x = xy = qx 12 y 2 3 2 h3 h ql h q

6、l2/2 O x l y 图5 l ql2/2 22 = (3边界条件：上边界： y 下边界： y ( ( y= h 2 = q, xy ( y= y = y= h 2 = 0, xy ( h 2 =0 h 2 =0 h 6ql 2 y 4qy 3 3qy 2 = + 3 dy dy = 0 ( x x = l h h3 h 5h 2 h h ql 12 y 2 3 左边界： 2h xy dy = 2h 3 dy = ql x=l 2 h h 2 2 h 2 h 2 ( x ( h 2 h 2 h 2 h 2 x = l ydy = h 2 h 2 6ql 2 y 4qy 3 3qy ql 2

7、 + 3 ydy = h3 h 5h 2 h 6ql 2 y 4qy 3 3qy 2 dy = + 3 dy = 0 3 ( x x = l h h h 5h 2 h h 2 ql 12 y 3 右边界： 2h xy dy = 2h 3 dy = ql x=l 2 h h 2 2 ( x ( h 2 h 2 x=l ydy = h 2 h 2 6ql 2 y 4qy 3 3qy ql 2 + 3 ydy = h3 h 5h 2 能解决的问题：悬臂梁上边受均布载荷，一端受集中力和力矩作用； 或简支梁上边受均布载荷，两端受力矩作用。 8 八、设 ，式中 A、B、D 是 不全为零的常数。问在什么条件

8、下该应变状态能成立？若不计体力，该应变状 态能成立吗？（15 分） 解： （1）将应变分量带入协调方程： 2 2 2 x y xy + = y 2 x 2 x y 2 y z 2 + 2 2 z yz = y 2 yz 2 x = 2 y z 2 y zx xy yz + + = 2 y y z x z x xy yz zx + + z z x y 2 z = 2 x y yz zx xy + + x x y z 2 z 2 x 2 zx + 2 = x 2 z z x 经验证满足。 （2）将应变分量带入本构方程： x = + 2G x y = + 2G y z = + 2G z 求得应力分量

9、： = ( 1 x + y E x ( 1 2 ( 1 + y = z = xy = G xy yz = G yz zx = G zx xy = xy E 2( 1 + (x + y E ( 1 2 ( 1 + ( 1 y + x E ( 1 2 ( 1 + yz = 0 zx = 0 （3）将应力分量带入平衡方程，求得体力分量： x yx zx + + +X =0 x y z xy y zy + + +Y = 0 x y z xz yz z + + +Z =0 x y z X= D ( 1 2 A ( 1 Ey ( 1 2 ( 1 + 3By 2 ( 1 + A x E ( 1 2 ( 1 + Y = Z =0 当体力如此分布时，题设应变分量所对应的应力分量能满足平