江苏省盐城市2009届高三第二次调研考试(数学)

1、盐城市 2008/2009学年度高三年级第二次调研考试数 学 试 题(总分 160分 , 考试时间 120分钟 参考公式:球的体积公式 343V R =(R 为球的半径 .柱体的体积公式 V Sh =(其中 S 为底面积 , h 为高 .线性回归方程的系数公式为 1122211(, (nniiii i i nniii i x yn x yxx y y b a y b x xn xxx =-=-.一、填空题:本大题共 14小题 , 每小题 5分 , 计 70分 . 不需写出解答过程 , 请把答案写在答题纸的指定位置上 .1.设复数 3z i =-, 则 |z = . 2.已知函数 y =A ,

2、N 为自然数集 , 则 A N = . 3.直线 1:210l x m y +=与直线 2:31l y x =-平行的充要条件是 m =4.执行如图所示的伪代码 , 输出的结果是 . 5. 某几何体的三视图如图所示 , 主视图与左视图中两矩形的长和宽分别为 4与 2, 俯视图中两同心圆的直径分别为 4与 2,则该几何体的体积等于 . 6.双曲线221169xy-=的顶点到它的渐近线的距离为 7.已知 5cos( , (0,6132+=,则 cos = .8.已知 , x y 之间的一组数据如下表:(第 4题俯视图 左视图主视图 (第 5题 对于表中数据 , 现给出如下拟合直线: 1y x =+

3、、 21y x =-、 8255y x =-、 32y x =,则根据最小二乘思想得拟合程度最好的直线是 (填序号 . 9.数列 n a 满足 11(*2n n a a n N +=, 11a =, n S 是 n a 的前 n 项和 , 则 21S =10.国际上钻石的重量计量单位为克拉 . 已知某种钻石的价值 V (美元与其重量 (克拉 的平方成正比,若把一颗钻石切割成重量 分别为 , ( m n m n 的两颗钻石 , 且价值损失的 百分率 =100%原 有 价 值 -现 有 价 值原 有 价 值(切割中重量损耗不计 , 则价值损失的百分率的最大值为 .11.如图所示的三角形数阵中,满足

4、:(1第 1行的数为 1; (2第 n (n 2 行首尾两数均为 n ,其余的数都等于它肩上的两个数相加,则第 1n +行中第 2个数是 (用 n表示 .12.已知函数 ( ln x f x e x -=+(e 是自然对数的底数 , 若实数 0x 是方程 ( 0f x =的解 , 且1020x x x <<<, 则 1( f x 2( f x (填“>” , “” , “<” , “” .13. 已知 , , O A B 是平面上不共线三点, 设 P 为线段 A B 垂直平分线上任意一点, 若 |7O A = ,|5O B = ,则 ( O P O A O B -

5、的值为 14. 已知关于 x 的方程3|3x kx x =+有三个不同的实数解, 则实数 k 的取值范围是 .二、解答题:本大题共 6小题,计 90分 . 解答应写出必要的文字说明 , 证明过程或演算步骤 , 请把答案写在答题纸的指定区域内 . 15. (本小题满分 14分 等可能地取点 , (y x P ,其中 3, 3,0,3x y -. (当 , x Z y Z 时,求点 P 满足 |y x 的概率; (当 , x R y R 时,求点 P 满足 y x >的概率.16. (本小题满分 14分 如图 , 在直三棱柱 111ABC A B C -中 , 090ACB =, , , E

6、 F G 分别是 11, , AA AC BB 的中点,1223434774511141156162525166(第 11题 且 1C G C G . (求证:/CG BEF 平 面 ; (求证:C G 平面 11A C G .17. (本小题满分 14分 已 知 A B C 的 三 个 内 角, , A B C所 对 的 边 分 别 为 , , a b c ,且tan tan tan 1B C B C -+=.(求角 A 的大小; (现给出三个条件: 1a =; 2sin b B =; 21 0c b -=. 试从中选择两个条件求 A B C 的面积 (注:只需选择一个方案答题 , 如果用多

7、种方案答 题 , 则按第一种方案给分 .18. (本小题满分 16分 已知椭圆2221xym mm+=+的右焦点为 F , 右准线为 l ,且直线 y x =与 l 相交于 A 点 .(若 C 经过 O 、 F 、 A 三点 , 求 C 的方程;(当 m 变化时 , 求证: C 经过除原点 O 外的另一个定点 B ;(若 5AF AB < 时 , 求椭圆离心率 e 的范围 .19. (本小题满分 16分 设 首 项 为 1a 的 正项 数 列 n a 的 前 n 项 和 为 n S , q 为 非零 常 数 , 已 知对 任意 正 整 数, n m , mn m m n S S q S

8、+=+总成立 .(求证:数列 n a 是等比数列;(若不等的正整数 , , m k h 成等差数列,试比较 m h m h a a 与 2kk a 的大小;(若不等的正整数 , , m k h 成等比数列,试比较 11mh mha a 与 2k ka 的大小 .20. (本小题满分 16分 已知 12( |31|,( |39|(0, x x f x f x a a x R =-=->, 且 112212(, ( ( (, ( (f x f x f x f x f x f x f x =>.(当 1a =时 , 求 ( f x 在 1x =处的切线方程;(当 29a <时 ,

9、设 2( ( f x f x =所对应的自变量取值区间的长度为 l (闭区间 , m n 的长度定义为 n m -, 试求 l 的最大值;(是否存在这样的 a ,使得当 2, x +时 , 2( ( f x f x =? 若存在 , 求出 a 的取值范围;若不存在,请说明理由 .盐城市 2008/2009学年度高三年级第二次调研考试数学附加题部分(本部分满分 40分,考试时间 30分钟21. 选做题 在 A 、 B 、 C 、 D 四小题中只能选做 2题 , 每小题 10分 , 计 20分 . 请把答案写在答题纸的指定区域内 .A. (选修 4 1:几何证明选讲 自圆 O 外一点 P 引圆的切

10、线 , 切点为 A , M 为 P A 的中点 , 过 M 引 圆 的 割 线 交 圆 于 , B C 两 点 , 且 0100, 40BM P BPC =, 试求 M P B 的大小 .CB. (选修 4 2:矩阵与变换已知矩阵101, 21012M N=, 试求曲线 cosy x=在矩阵 1M N-变换下的函数解析式 .C . (选修 4 4:坐标系与参数方程已知圆 C 的参数方程为24cos4sinxy=+=, 若 P 是圆 C 与 y 轴正半轴的交点 , 以坐标原点O 为极点 , x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 , 试求过点 P 的圆 C 的切线的极坐标方程 . D. (选修 4 5

11、:不等式选讲已知实数 , 0m n >, 求证 :222 ( a b a b m n m n + + .必做题 第 22、 23题 , 每小题 10分 , 计 20分 . 请把答案写在答题纸的指定区域内 . 22. (本小题满分 10分如图 , 在三棱锥 P ABC 中 , PA 平面 ABC , PA =1, AB AC , AB =2, AC =2, E 为 AC 中点 . (求异面直线 BE 与 PC 所成角的余弦值;(求二面角 P BE C 的平面角的余弦值 .23. (本小题满分 10分 C设 , , m n N m 3n 3, ( (1 (1 m n f x x x =+.

12、(当 m n =时 , ( f x 展开式中 2x 的系数是 20, 求 n 的值; (利用二项式定理证明 : 1111(1(10nmk k k knm k k kC kC +=-+-=; 1111113131221111n m nmk k k k nmk k C Ck k n m +=-+=+. 盐城市 2008/2009学年度高三年级第二次调研数学试题参考答案一、填空题:本大题共 14小题,每小题 5分,计 70分 . 1. 2. 0,1, 23.23-4.25 5. 28 36.125 7.268. 9.6 10.50%(填 0.51 2都算对 11.222n n+12.< 13.

13、12 14.0k >或1 4 k <-二、解答题:本大题共 6小题,计 90分 .15. 解 :(当 ,x Z y Z时,点 P 共有 28个,而满足 |y x的点 P 有 19个,从 而 所 求 的 概 率 为 11928P =(7分 (当 ,x R y R时 , 由 3, 3,0,3x y-构成的矩形的面积为 18S =, 而满足 y x>的 区 域 的 面 积 为1272S =, 故 所 求 的 概 率 为1234SPS=(14分 16. 证:(连接 A G 交 B E 于 D , 连接 ,DF EG . , E G 分别是11,AA BB 的中点, A E B G 且

14、 A E =B G ,四边形 A E G B 是矩形 . D 是 A G 的 中 点(3分 又 F 是 A C 的 中 点, D F C G (5分 则 由 D F面 , CG BEF面 , 得 C G BEF面 (7分 (注 :利用面面平行来证明的 , 类似给分 ( 在直三棱柱111ABC A B C-中,1C C 底面111A B C ,1C C 11A C .又 011190A C B AC B=, 即11C B 11A C ,11A C 面11B C CB (9分 而 C G 面11B C CB ,11A C C G (12分 又1C G C G, C G 平面11A C G (14分

15、 17. 解 : (由 tan tan tan 1B C B C-+=, 得 tan tan 1tan tan 3B C B C +=-, 所以ta n ( 3B C +=-(4分 则 tan tan( 3A B C =-+=, 所 以6A =(7分 (方案一:选择.A=30°,a=1,2c-(3+1b=0,所以 12c b =,则根据余弦定理, 得 222 111 2222b b b b =+-, 解 得 b=2, 则c=226+(11分 41321226221sin 21+=+=A bc S ABC (14分方案二:选择. 可转化为选择解决 , 类似给分 . (注:选择不能确定三

16、角形 18. 解 :( 22222, , a m m b m c m =+= , 即 c m =, (, 0 F m ,准线1x m =+, (1,1 A m m +(2分 设 C 的方程为 220x y Dx Ey F +=, 将 O 、 F 、 A 三点坐标代入得:2220F m D m m D E =+=+=, 解 得02F D mE m =-=-(4分 C 的 方 程为22(2 0x y m x m y +-+= (5分 (设点 B 坐标为 (, p q , 则 22(2 0p q m p m q +-+=, 整理得:222( 0p q q m p q +-+=对 任 意 实 数 m

17、都 成 立(7分 22020p q p q q +=+-=, 解得 00p q =或 11p q =-=, 故当 m 变化时, C 经过除原点 O 外的另外一个定点 B (1,1 -(10分 (由 B (1,1 -、 (, 0 F m 、 (1,1 A m m +得 (1, 1 AF m =- , (2, A B m m =- 2225AF AB m m =+< , 解 得31m -<<(12分 又20m m m +>> , 01m << (14分 又 椭 圆 的 离 心率 e = (01m << (15分 椭 圆 的 离心 率 的 范 围

18、是 02e <<分 19. (证 :因为对任意正整数 , n m , m n m m n S S q S +=+总成立 ,令 1n m =, 得 211S S qS =+, 则 21a qa =(1分 令 1m =, 得 11n n S S qS +=+ (1 , 从而 211n n S S qS +=+ (2, (2-(1 得 21n n a qa +=, (1 n (3分 综上得1n na qa +=(1n , 所 以 数 列n a 是 等 比 数列(4分 (正整数 , , m k h 成等差数列,则 2m h k +=, 所以 22221( 22m h m h k +>

19、+=,则22222111mhmm mh h hk m h m hm h a a a qa qa q-+-=(7分 当 1q =时, 221m h k km h k a a a a =(8分 当 1q >时,222222111( mhkm h m hkk kk kkm h k a a a qa qa qa +-=>=(9分 当01q <<时,222222111(mhkm h m hkk kk kkm h k a a a qa q a qa +-=<=(10分 (正整数 , , m k h 成等比数列,则 2m h k =,则 112mhk+>=, 所以1111

20、1121121111( (m h m h mhm hm hm hm h a a a a qa qaq q q+-+-=, 2221(k k k a a q q= (13分当1a q=,即11a q=时,112m h k m hk a a a =22k k q a =(14分 当1a q>, 即11a q>时 ,111122211(m h mhk m h a a a a q q qq+=>2k k a = (15分 当1a q<,即11a q<时 ,111122211(m hmhkmha a aa q q qq+=<2kka = (16分 20. 解: (当

21、1a =时 , 2( |39|x f x =-.因为当 3(0,log 5 x 时 , 1( 31x f x =-, 2( 93x f x =-, 且 3log 512( ( 2310231025100x f x f x -=-<-=-=,所以当3(0, l o g 5 x 时 , ( 31xf x =-, 且31(0,log 5 (3分 由于 ( 3ln 3x f x '=, 所以 (13ln 3k f '=, 又 (12f =,故所求切线方程为 2(3ln 3(1 y x -=-,即(3ln 3 23ln 30x y -+-= (5分 ( 因为 29a <, 所

22、以 33990log log 2a <, 则 当 39log x a时 , 因为 390x a -, 310x ->,所以由 21( ( (39 (31 (1380x x xf x f x a a -=-=-, 解得 38log 1x a -,从 而 当3398log log 1x aa -时 , 2( ( f x f x = (6分 当 390log x a<时 , 因为 390x a -<, 310x-,所以由 21( ( (93 (31 10(130x x xf x f x a a -=-=-+, 解得 310log 1x a +,从而当 33109log log

23、 1x a a<+时 , 2( ( f x f x = (7分当 0x <时 , 因为 21( ( (93 (13 8(130xxxf x f x a a -=-=->, 从而2( f x f x = 一 定 不 成立 (8分 综上得 , 当且仅当 33108log, log 11x a a +-时 , 2( ( f x f x =,故33381042log log log (11151l a a a =-=+-+- (9分 从而当 2a =时 , l 取得最大值为 312log 5(10分 (“ 当 2, x +时 , 2( ( f x f x =” 等 价 于 “ 21(

24、 ( f x f x 对 2, x +恒 成 立”,即“|39|31|31xxxa -=-(*对2, x +恒 成立” (11分 当 1a 时 , 39log 2a, 则当 2x 时 , 39log 39390xaa a -=, 则 (*可化为3931xxa -, 即 813xa +, 而当 2x 时 , 8113x+>,所 以 1a , 从 而1a =适 合 题意(12分 当 01a <<时 , 39log 2a>. 当 39log x a>时 ,(*可化为 3931x x a -, 即 813xa +, 而 8113x+>,所以 1a , 此 时 要求0

25、1a <<(13分 当 39log x a=时 ,(*可化为 90311xa-=-,所以 a R , 此 时 只要求01a <<(14分 (3当 392log x a<时 ,(*可化为 9331x x a -, 即 1013xa -, 而 101139x-, 所以 19a , 此 时 要求119a <(15分 由,得119a <符合题意要求 .综 合 知 , 满 足 题 意 的a 存 在 , 且 a 的 取 值 范 围 是119a (16分 数学附加题部分21. A . 解:因为 PA 与圆相切于点 A, 所以 2MA MB MC =. 而 M 为 P

26、A 的中点 ,所以 PM=MA,则 2, PMM BPMM B M C M C PM=.又 B M P P M C =, 所以 B M P P M C , 所以 M PB M C P =(5分 在 P M C 中 , 由 0180CMP MPC MCP +=,即 02180CMP BPC MPB +=, 所以 0100402180MPB +=, 从而20MPB =(10分 B . 解 :11002M -=, 所 以1M N -=11100022020102=(5分 即在矩阵 1M N -的变换下有如下过程 , 122x x x y y y '=',则 1cos 22y x &#

27、39;'=, 即 曲 线 cos y x =在 矩 阵 1M N -的 变 换 下 的 解 析 式 为2c o s 2y x =(10分 C .解 :由题设知 ,圆心 (2,0, (0,C P , 故所求切线的直角坐标方程为 60x -+=(6分 从而 所 求 切线 的 极 坐 标 方 程 为 cos sin 60-+=(10分 D. 证 :因为, 0m n >,利用柯西不等式,得 222( abm n a b m n+(8分 即222(aba b m n m n+(10分 22.解 : (以 A 为原点 ,AB 、 AC 、 AP 分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系 A -xyz ,则 A(0, 0, 0,B(2, 0, 0,C(0, 2, 0,E(0, 1, 0,P(0, 0, 1, 所 以(BE =- , 2cos(, 5|BE PC BE PC BE PC =(4分 故 异 面 直 线 BE 与 PC 所 成 角 的 余 弦 值 为2|cos(, |5BE PC =(5分 (作 PMBE 交 BE(或延长线 于