二次函数与一元二次方程(沪科版九年级)

1、22.422.4二次函数与二次函数与一元二次方程一元二次方程w 我们知道我们知道: :代数式代数式b b2 2-4ac-4ac对于方程的根起着关键的作用对于方程的根起着关键的作用. .复习.2422, 1aacbbx有两个不相等的实数根方程时当00,0422acbxaxacb:00,0422有两个相等的实数根方程时当acbxaxacb.22, 1abx没有实数根方程时当00,0422acbxaxacb.4.004222acbacbxaxacb即来表示用根的判别式的叫做方程我们把代数式一元二次方程根的情况与一元二次方程根的情况与b-4ac的关系的关系观察观察:下列二次函数的图下列二次函数的图象与

2、象与x轴有公共点吗轴有公共点吗?如如果有果有,公共点横坐标是多公共点横坐标是多少少?当当x取公共点的横坐取公共点的横坐标时标时,函数的值是多少函数的值是多少?由此由此,你得出相应的一你得出相应的一元二次方程的解吗元二次方程的解吗?(1)y=x2+x-2(2)y=x2-6x+9(3)y=x2-x+1w二次函数二次函数y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c的图象和的图象和x x轴交点的轴交点的横坐横坐标标与一元二次方程与一元二次方程axax2 2+bx+c=0+bx+c=0的的根根有什么关系有什么关系? ?y=x-6x+9Y=x+x-2Y=x-x+1xy ?（1）设）设y=0得得x2+x-2=

3、0 x1=1，x2=-2抛物线抛物线y=x2+x-2与与x轴有两个公轴有两个公共点，公共点的横坐标分别是共点，公共点的横坐标分别是1和和-2，当，当x取公共的的横坐标的值时，取公共的的横坐标的值时，函数的值为函数的值为0.（2）设）设y=0得得x2-6x+9=0 x1=x2=3抛物线抛物线y=x2-6x+9与与x轴有一个公共点，轴有一个公共点，公共点的横坐标是公共点的横坐标是3当当x取公共点的横坐取公共点的横坐标的值时，函数的值为标的值时，函数的值为0.（3）设）设y=0得得x2-x+1=0b2-4ac=（-1）2- 411=-30方程方程x2-x+1=0没有实数根没有实数根抛物线抛物线y=x

4、2-x+1与与x轴没有公共点轴没有公共点Y=x+x-2Y=x-x+1y=x-6x+9xy（-2, 0）（1,0）（3,0）二次函数二次函数y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c的图的图象和象和x x轴交点轴交点一元二次方程一元二次方程axax2 2+bx+c=0+bx+c=0的根的根一元二次方程一元二次方程axax2 2+bx+c=0+bx+c=0根的判根的判别式别式=b=b2 2-4ac-4ac有两个交点有两个交点有两个不相有两个不相等的实数根等的实数根b b2 2-4ac 0-4ac 0只有一个交点只有一个交点有两个相等有两个相等的实数根的实数根b b2 2-4ac = 0-4ac =

5、 0没有交点没有交点没有实数根没有实数根b b2 2-4ac 0-4ac 0b2 4ac= 0b2 4ac 0若抛物线若抛物线y=ax2+bx+c与与x轴有交点轴有交点,则则b2 4ac00=00OXY二次函数二次函数y=ax2+bx+c的图象和的图象和x轴交点轴交点判别式：判别式：b2-4ac二次函数二次函数y=ax2+bx+c（a0）图象图象一元二次方程一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根）的根xyO与与x轴有两个不轴有两个不同的交点同的交点（x1，0）（x2，0）有两个不同的有两个不同的解解x=x1，x=x2b2-4ac0 xyO与与x轴有唯一个轴有唯一个交点交点)0 ,2(ab

6、有两个相等的有两个相等的解解x1=x2=ab2b2-4ac=0 xyO与与x轴没有轴没有交点交点没有实数根没有实数根b2-4ac0例如例如, ,已知二次函数已知二次函数y=-Xy=-X2 2+4x+4x的值为的值为3,3,求自变求自变量量x x的值的值. .就是求方程就是求方程3=-X3=-X2 2+4x+4x的解的解, ,例如例如, ,解方程解方程X X2 2-4x+3=0-4x+3=0就是已知二次函数就是已知二次函数y=Xy=X2 2-4x+3-4x+3的值为的值为0,0,求自变求自变量量x x的值的值. .结论：一元二次方程结论：一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根为的两个根为x1,

7、x2 ,则抛物线则抛物线 y=ax2+bx+c与与x轴的交点坐标轴的交点坐标是是(x1,0),(x2,0)用图象法求一元二次方程的近用图象法求一元二次方程的近似解似解练习：根据下列表格的对应值练习：根据下列表格的对应值: : 判断方程判断方程axax2 2+bx+c=0 (a0,a,b,c+bx+c=0 (a0,a,b,c为常数为常数) )一个解一个解x x的范围是的范围是( )( )A 3 X 3.23 B 3.23 X 3.24A 3 X 3.23 B 3.23 X 3.24C 3.24 X 3.25 D 3.25 X 3.26C 3.24 X 3.25 D 3.25 X0,c0, y0,

8、 y0?（4 4）在）在x x轴下方的抛物线上是否存在点轴下方的抛物线上是否存在点P P，使，使S SABPABP是是S SABCABC的一半，若存在，求出的一半，若存在，求出P P点的坐标，若不点的坐标，若不存在，请说明理由存在，请说明理由. .yx ?5、已知二次函数、已知二次函数y=x2-mx-m2（1）求证：对于任意实数）求证：对于任意实数m，该二次函数的图像与，该二次函数的图像与x轴轴总有公共点总有公共点;（2）该二次函数的图像与）该二次函数的图像与x轴有两个公共点轴有两个公共点A、B，且，且A点坐标为（点坐标为（1、0），求），求B点坐标点坐标。.,02402,0:)1(9)(22

9、222轴总有公共点抛物线与取何值不论得令证明xmmxymmmmx)0,2(1,20)1)(2(,02120)0,1()2(212222212点坐标为即上在抛物线BmmmmmxyAmmmmmx问题问题1:1:如图如图, ,以以 40 40 m /sm /s的速度将小球沿与地面成的速度将小球沿与地面成 3030度度角的方向击出时角的方向击出时, ,球的飞行路线是一条抛物线球的飞行路线是一条抛物线, ,如果不考如果不考虑空气阻力虑空气阻力, ,球的飞行高度球的飞行高度 h (h (单位单位:m):m)与飞行时间与飞行时间 t t ( (单位单位:s):s)之间具有关系之间具有关系: : h= 20

10、t 5 th= 20 t 5 t2 2 考虑下列问题考虑下列问题: :(1)(1)球的飞行高度能否达到球的飞行高度能否达到 15 m? 15 m? 若能若能, ,需要多少时间需要多少时间? ?(2)(2)球的飞行高度能否达到球的飞行高度能否达到 20 m? 20 m? 若能若能, ,需要多少时间需要多少时间? ?(3)(3)球的飞行高度能否达到球的飞行高度能否达到 20.5 m? 20.5 m? 若能若能, ,需要多少时需要多少时间间? ?(4)(4)球从飞出到落地要用多少时间球从飞出到落地要用多少时间? ?解解：（1 1）解方程解方程 15=20t-5t t-4t+3=0 t =1， t =

11、3.当球飞行当球飞行1s和和2s时，时，它的高度为它的高度为15m。 ?12ht （2）解方程解方程 20=20t-5t t-4t+4=0 t = t =2. 当球飞行当球飞行2s时，时，它的高度为它的高度为20m。122（4）解方程）解方程 0=20t-5t t-4t=0 t =0， t =4.当球飞行当球飞行0s和和4s时，时，它的高度为它的高度为0m，即，即0s飞飞出，出，4s时落回地面。时落回地面。（3）解方程）解方程 20.5=20t-5t t-4t+4.1=0 （-4）-4*4.10， 方程无实数根方程无实数根1（2、20）方法方法: (1): (1)先作出图象先作出图象; ; (2) (2)写出交点的坐标写出交点的坐标; ;（-1