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文档简介

1、C1191  如图，已知两个半径不相等的O1和O2相交于M、N两点，且O1、O2与O内切于S、T两点，求证：OMMN的充分必要条件是S、N、T三点共线【题说】  1997年全国联赛二试题1【证】  如图，由题设，知O、O1、S共线，O、O2、T共线连结OS、OT、SN、NT、O1M、O1N、O2M、O2N，则有OSOT（1）充分性设S、N、T三点共线，则ST因O1SN、O2NT都是等腰三角形，故SO1NSTO2NT从而O2NOS，O1NOTOO1NO2为平行四边形，故OO1O2NO2M，OO2O1NO1M所以O1MOO2OM，则又由于O1O2MN，故OMMN（2）

2、必要性 设OMMN，由图知OO2OO1（OTO2T）（OSO1S）O1SO2T（定值）MO1MO2所以，O1M分别在以O1、O2为焦点的双曲线的（左、右）两支上由OMMN，O1O2MN，知OMO1O2又由双曲线对称性，知O1O2MO是等腰梯形所以OO2=O1M=O1N，OO1=MO2=O2N，从而OO1NO2是平行四边形所以2O1NS2O2NT2O1NO2=（O1NSSSO1N）（O2NTTNO2T）=360°，O1NSO2NTO1NO2=180°，S、N、T三点共线 C1192  四边形ABCD内接于圆，其边AB与DC延长交于P点，AD、BC延长交于Q

3、点由Q作该圆二切线QE、QF，切点分别为E、F求证：P、E、F三点共线【题说】  1997年中国数学奥林匹克题4【证】  如图，设ABCD内接圆圆心为O，半径为r连PQ，过D、Q、C作圆交PQ于M，则CMQ=CDA=PBC故C、B、P、M共圆从而PO2-r2=(PO+r)(PO-R)=PD·PC=PQ·PM                     

4、                       （1）同理                      QO2-r2=PQ·QM   

5、                                                  （2）（1

6、）-（2）得PO2-QO2=PQ（PM-QM）=（PMQM）（PMQM）=PM2-QM2从而OMPQ从而O、E、Q、M、F共圆，该圆以OQ为直径，OQ中点O1为圆心EF是O与O1公共弦连PE，设交O1于F1，交O1于F2则PE·PF1=PO2-r2PQ·PM=PE·PF2即PF1-PF2，推得F1=F2=F故P、E、F共线 C1193  分别以ABC的边BC、CA、AB为底向外作等腰三角形BCD，CAE，ABF证明分别过A、B、C作EF、FD、DE的垂线，这三条垂线共点【题说】  第26届（1997年）美国数学奥林匹克题2【解】  分别以D、E、F为圆心，DB、EC、FA为半径作圆E

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