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文档简介
1、 类型一:勾股定理的直接用法1、在RtABC中,C=90°(1已知a=6,c=10,求b,(2已知a=40,b=9,求c;(3已知c=25,b=15,求a.思路点拨:写解的过程中,一定要先写上在哪个直角三角形中,注意勾股定理的变形使用。解析:(1 在ABC中,C=90°,a=6,c=10,b=(2 在ABC中,C=90°,a=40,b=9,c=(3 在ABC中,C=90°,c=25,b=15,a=举一反三【变式】:如图B=ACD=90°, AD=13,CD=12, BC=3,则AB的长是多少? 【答案】ACD=90°AD=13, CD
2、=12AC2 =AD2-CD2=132-122=25AC=5又ABC=90°且BC=3由勾股定理可得AB2=AC2-BC2=52-32=16AB= 4AB的长是4.类型二:勾股定理的构造应用2、如图,已知:在中,. 求:BC的长. 思路点拨:由条件,想到构造含角的直角三角形,为此作于D,则有 ,再由勾股定理计算出AD、DC的长,进而求出BC的长.解析:作于D,则因,(的两个锐角互余(在中,如果一个锐角等于,那么它所对的直角边等于斜边的一半.根据勾股定理,在中, .根据勾股定理,在中, . .举一反三【变式1】如图,已知:,于P. 求证:. 解析:连结BM,根据勾股定理,在中,.而在中
3、,则根据勾股定理有 . 又(已知,.在中,根据勾股定理有 ,.【变式2】已知:如图,B=D=90°,A=60°,AB=4,CD=2。求:四边形ABCD的面积。 分析:如何构造直角三角形是解本题的关键,可以连结AC,或延长AB、DC交于F,或延长AD、BC交于点E,根据本题给定的角应选后两种,进一步根据本题给定的边选第三种较为简单。解析:延长AD、BC交于E。A=60°,B=90°,E=30°。 AE=2AB=8,CE=2CD=4,BE2=AE2-AB2=82-42=48,BE=。DE2= CE2-CD2=42-22=12,DE=。 S四边形AB
4、CD=SABE-SCDE=AB²BE-CD²DE=类型三:勾股定理的实际应用(一 用勾股定理求两点之间的距离问题3、如图所示,在一次夏令营活动中,小明从营地A点出发,沿北偏东60°方向走了 到达B点,然后再沿北偏西30°方向走了500m到达目的地C点。(1求A、C两点之间的距离。(2确定目的地C在营地A的什么方向。解析:(1过B点作BE/ADDAB=ABE=60°30°+CBA+ABE=180°CBA=90°即ABC为直角三角形由已知可得:BC=500m,AB=由勾股定理可得:所以(2在RtABC中,BC=500m
5、,AC=1000mCAB=30°DAB=60°DAC=30°即点C在点A的北偏东30°的方向举一反三【变式】一辆装满货物的卡车,其外形高2.5米,宽1.6米,要开进厂门形状如图的某工厂,问这辆卡车能否通过该工厂的厂门? 【答案】由于厂门宽度是否足够卡车通过,只要看当卡车位于厂门正中间时其高度是否小于CH.如图所示,点D在离厂门中线0.8米处,且CDAB,与地面交于H.解:OC=1米(大门宽度一半, OD=0.8米(卡车宽度一半在RtOCD中,由勾股定理得:CD=0.6米,C H=0.6+2.3=2.9(米>2.5(米.因此高度上有0.4米的余量,所
6、以卡车能通过厂门.(二用勾股定理求最短问题4、国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状,目前正在全国各地农村进行电网改造,某地有四个村庄A、B、C、D,且正好位于一个正方形的四个顶点,现计划在四个村庄联合架设一条线路,他们设计了四种架设方案,如图实线部分.请你帮助计算一下,哪种架设方案最省电线. 思路点拨:解答本题的思路是:最省电线就是线路长最短,通过利用勾股定理计算线路长,然后进行比较,得出结论.解析:设正方形的边长为1,则图(1、图(2中的总线路长分别为AB+BC+CD=3,AB+BC+CD=3图(3中,在RtABC中 同理图(3中的路线长为图(4中,延长EF交BC于H,则FHBC,B
7、H=CH由FBH=及勾股定理得:EA=ED=FB=FC=EF=1-2FH=1-此图中总线路的长为4EA+EF= 3>2.828>2.732图(4的连接线路最短,即图(4的架设方案最省电线. 举一反三【变式】如图,一圆柱体的底面周长为20cm,高AB为4cm,BC是上底面的直径.一只蚂蚁从点A出发,沿着圆柱的侧面爬行到点C,试求出爬行的最短路程.解: 如图,在RtABC中,BC=底面周长的一半=10cm,根据勾股定理得(提问:勾股定理AC=10.77(cm(勾股定理.答:最短路程约为10.77cm. 类型四:利用勾股定理作长为的线段5、作长为、的线段。思路点拨:由勾股定理得,直角边为
8、1的等腰直角三角形,斜边长就等于,直角边为和1的直角三角形斜边长就是,类似地可作。作法:如图所示 (1作直角边为1(单位长的等腰直角ACB,使AB为斜边;(2以AB为一条直角边,作另一直角边为1的直角。斜边为;(3顺次这样做下去,最后做到直角三角形,这样斜边、的长度就是 、。 举一反三【变式】在数轴上表示的点。解析:可以把看作是直角三角形的斜边,为了有利于画图让其他两边的长为整数,而10又是9和1这两个完全平方数的和,得另外两边分别是3和1。作法:如图所示在数轴上找到A点,使OA=3,作ACOA且截取AC=1,以OC为半径,以O为圆心做弧,弧与数轴的交点B即为。类型五:逆命题与勾股定理逆定理6
9、、写出下列原命题的逆命题并判断是否正确1.原命题:猫有四只脚.(正确2.原命题:对顶角相等(正确3.原命题:线段垂直平分线上的点,到这条线段两端距离相等.(正确4.原命题:角平分线上的点,到这个角的两边距离相等.(正确思路点拨:掌握原命题与逆命题的关系。解析:1. 逆命题:有四只脚的是猫(不正确2. 逆命题:相等的角是对顶角(不正确3. 逆命题:到线段两端距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.(正确4. 逆命题:到角两边距离相等的点,在这个角的平分线上.(正确总结升华:本题是为了学习勾股定理的逆命题做准备。7、如果ABC的三边分别为a、b、c,且满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c
10、,判断ABC的形状。思路点拨:要判断ABC的形状,需要找到a、b、c的关系,而题目中只有条件a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,故只有从该条件入手,解决问题。解析:由a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,得:a2-6a+9+b2-8b+16+c2-10c+25=0,(a-32+(b-42+(c-52=0。(a-320, (b-420, (c-520。a=3,b=4,c=5。32+42=52,a2+b2=c2。由勾股定理的逆定理,得ABC是直角三角形。总结升华:勾股定理的逆定理是通过数量关系来研究图形的位置关系的,在证明中也常要用到。举一反三【变式1】四边形ABCD中,B=90
11、176;,AB=3,BC=4,CD=12,AD=13,求四边形ABCD的面积。【答案】:连结AC B=90°,AB=3,BC=4AC2=AB2+BC2=25(勾股定理AC=5AC2+CD2=169,AD2=169AC2+CD2=AD2ACD=90°(勾股定理逆定理 【变式2】已知:ABC的三边分别为m2-n2,2mn,m2+n2(m,n为正整数,且m>n,判断ABC是否为直角三角形.分析:本题是利用勾股定理的的逆定理,只要证明:a2+b2=c2即可 证明: 所以ABC是直角三角形. 【变式3】如图正方形ABCD,E为BC中点,F为AB上一点,且BF=AB。请问FE与D
12、E是否垂直?请说明。【答案】答:DEEF。证明:设BF=a,则BE=EC=2a, AF=3a,AB=4a, EF2=BF2+BE2=a2+4a2=5a2;DE2=CE2+CD2=4a2+16a2=20a2。连接DF(如图DF2=AF2+AD2=9a2+16a2=25a2。DF2=EF2+DE2,FEDE。经典例题精析类型一:勾股定理及其逆定理的基本用法1、若直角三角形两直角边的比是3:4,斜边长是20,求此直角三角形的面积。思路点拨:在直角三角形中知道两边的比值和第三边的长度,求面积,可以先通过比值设未知数,再根据勾股定理列出方程,求出未知数的值进而求面积。解析:设此直角三角形两直角边分别是3
13、x,4x,根据题意得:(3x2+(4x2=202化简得x2=16;直角三角形的面积=³3x³4x=6x2=96总结升华:直角三角形边的有关计算中,常常要设未知数,然后用勾股定理列方程(组求解。 举一反三【变式1】等边三角形的边长为2,求它的面积。【答案】如图,等边ABC,作ADBC于D则:BD=BC(等腰三角形底边上的高与底边上的中线互相重合AB=AC=BC=2(等边三角形各边都相等BD=1在直角三角形ABD中,AB2=AD2+BD2,即:AD2=AB2-BD2=4-1=3AD=SABC=BC²AD=注:等边三角形面积公式:若等边三角形边长为a,则其面积为a。【变
14、式2】直角三角形周长为12cm,斜边长为5cm,求直角三角形的面积。【答案】设此直角三角形两直角边长分别是x,y,根据题意得: 由(1得:x+y=7,(x+y2=49,x2+2xy+y2=49 (3(3-(2,得:xy=12直角三角形的面积是xy=³12=6(cm2【变式3】若直角三角形的三边长分别是n+1,n+2,n+3,求n。思路点拨:首先要确定斜边(最长的边长n+3,然后利用勾股定理列方程求解。解:此直角三角形的斜边长为n+3,由勾股定理可得:(n+12+(n+22=(n+32化简得:n2=4n=±2,但当n=-2时,n+1=-1<0,n=2总结升华:注意直角三
15、角形中两“直角边”的平方和等于“斜边”的平方,在题目没有给出哪条是直角边哪条是斜边的情况下,首先要先确定斜边,直角边。【变式4】以下列各组数为边长,能组成直角三角形的是(A、8,15,17B、4,5,6C、5,8,10D、8,39,40解析:此题可直接用勾股定理的逆定理来进行判断,对数据较大的可以用c2=a2+b2的变形:b2=c2-a2=(c-a(c+a来判断。例如:对于选择D,82(40+39³(40-39,以8,39,40为边长不能组成直角三角形。同理可以判断其它选项。【答案】:A【变式5】四边形ABCD中,B=90°,AB=3,BC=4,CD=12,AD=13,求四
16、边形ABCD的面积。解:连结ACB=90°,AB=3,BC=4 AC2=AB2+BC2=25(勾股定理AC=5AC2+CD2=169,AD2=169AC2+CD2=AD2ACD=90°(勾股定理逆定理 S四边形ABCD=SABC+SACD=AB²BC+AC²CD=36类型二:勾股定理的应用2、如图,公路MN和公路PQ在点P处交汇,且QPN=30°,点A处有一所中学,AP=160m。假设拖拉机行驶时,周围100m以内会受到噪音的影响,那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时,学校是否会受到噪声影响?请说明理由,如果受影响,已知拖拉机的速度为18km
17、/h,那么学校受影响的时间为多少秒? 思路点拨:(1要判断拖拉机的噪音是否影响学校A,实质上是看A到公路的距离是否小于100m, 小于100m则受影响,大于100m则不受影响,故作垂线段AB并计算其长度。(2要求出学校受影响的时间,实质是要求拖拉机对学校A的影响所行驶的路程。因此必须找到拖拉机行至哪一点开始影响学校,行至哪一点后结束影响学校。解析:作ABMN,垂足为B。在RtABP中,ABP=90°,APB=30°,AP=160,AB=AP=80。(在直角三角形中,30°所对的直角边等于斜边的一半点A到直线MN的距离小于100m,这所中学会受到噪声的影响。如图,假
18、设拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶到点C处学校开始受到影响,那么AC=100(m,由勾股定理得:BC=100-80=3600,BC=60。 同理,拖拉机行驶到点D处学校开始脱离影响,那么,AD=100(m,BD=60(m,CD=120(m。拖拉机行驶的速度为: 18km/h=5m/st=120m÷5m/s=24s。答:拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时,学校会受到噪声影响,学校受影响的时间为24秒。总结升华:勾股定理是求线段的长度的很重要的方法,若图形缺少直角条件,则可以通过作辅助垂线的方法,构造直角三角形以便利用勾股定理。举一反三【变式1】如图学校有一块长方形花园,有极少数人为了避
19、开拐角而走“捷径”,在花园内走出了一条“路”。他们仅仅少走了_步路(假设2步为1m,却踩伤了花草。 解析:他们原来走的路为3+4=7(m设走“捷径”的路长为xm,则故少走的路长为7-5=2(m又因为2步为1m,所以他们仅仅少走了4步路。【答案】4【变式2】如图中的虚线网格我们称之为正三角形网格,它的每一个小三角形都是边长为1的正三角形,这样的三角形称为单位正三角形。(1直接写出单位正三角形的高与面积。(2图中的平行四边形ABCD含有多少个单位正三角形?平行四边形ABCD的面积是多少?(3求出图中线段AC的长(可作辅助线。 【答案】(1单位正三角形的高为,面积是。(2如图可直接得出平行四边形ABCD含有24个单位正三角形,因此其面积。(3过A作AKBC于点K(如图所示,则在RtACK中, ,故类型三:数学思想方法(一转化的思想方法我们在求三角形的边或角,或进行推理论证时,常常作垂线,构造直角三角形,将问题转化为直角三角形问题来解决.3、如图所示,ABC是等腰直角三角形,AB=AC,D是斜边BC的中点,E、F分别是AB、AC边上的点,且DEDF,若BE=12,CF=5.求线段EF的长。 思路点拨:现已知BE、CF,要求EF,但这三条线段不在同一三角形中,所以关键是线段的转化,
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