哈工大天线原理-马汉炎习题答案

1、1第一章1-1 试用对偶原理，由电基本振子场强式（1-5）和式（1-7） ，写出磁基本振子的场表示式。对偶原理的对应关系为：EeHmHe-EmJJmm另外，由于，所以有kkk式（1-5）为 jkrrejkrrIdljHHH11sin200式（1-7）为0111sin211cos22200002EerkjkrrIdljEejkrrIdlEjkrjkrr因此，式（1-5）的对偶式为 jkrmrejkrrdlIjEEE11sin2002式（1-7）的对偶式为0111sin211cos22200002HerkjkrrdlIjHejkrrdlIHjkrmjkrmr结合Imdl=j0IS有磁基本振子的场表

2、示式为： jkrrejkrrISEEE11sin20000111sin211cos2220000020HerkjkrrISHejkrrISjHjkrjkrr可以就此结束，也可以继续整理为 jkrrejkrrISEEE11sin000020111sin11cos2222HerkjkrrISHejkrrISjHjkrjkrr31-3 若已知电基本振子辐射电场强度大小，天线辐射功率可按穿过sin20rIlE 以源为球心处于远区的封闭球面的功率密度的总和计算，即，sSdrPS),(为面积元。试计算该电基本振子的辐射功率和辐射电阻。ddrdssin2【解】首先求辐射功率22222000240sin2si

3、n24012401 IlddrrIldsEPS辐射电阻为222802lIPR注意：此题应用到了34sin03d1-5 若已知电基本振子辐射场公式，试利用方向性系数的定义求其sin20rIlE 方向性系数。【解】方向性系数的定义为：在相同辐射功率、相同距离条件下，天线在某辐射方向上的功率密度 Smax（或场强 Emax的平方） ，与无方向性天线在该方向上的功率密度S0（或场强 E0的平方）之比。首先求辐射功率22222000240sin2sin24012401 IlddrrIldsEPS4令该辐射功率为,其中 E0是无方向性天线的辐射场强。604240220220rErEP因此，可以求得,所以方

4、向性系数22202400rIlE5 . 1202maxEED1-6 设小电流环电流为I，环面积S。求小电流环天线的辐射功率和辐射电阻表示式。若1m 长导线绕成小圆环，波源频率为 1MHz，求其辐射电阻值。电小环的辐射场幅度为：sin2rISE 首先求辐射功率2242220022160sinsin24012401 ISddrrISdsEPS辐射电阻为42423202SIPR当圆环周长为 1m 时，其面积为，波源频率为 1MHz 时，波长为 =300m。2m41S所以，辐射电阻为 R=2.410-8 。1-7 试证明电基本振子远区辐射场幅值E与辐射功率P之间的关系为rPEsin49. 9【证明】电

5、基本振子远区辐射场幅值sin60sin20rIlrIlE根据题目 1-3 可知电基本振子辐射功率为，2240IlP5所以40PIl代入到E表达式中可以得到：rPrIlEsin4060sin60所以有：rPEsin49. 91-9 试求证方向性系数的另一种定义：在最大辐射方向上远区同一点具有相同电场强度的条件下，无方向天线的辐射功率比有方向性天线辐射功率增大的倍数，记为0max0EEPPD【证明】方向性系数的定义为：相同辐射功率、相同距离条件下，天线在某辐射方向上的功率密度Smax（或场强Emax的平方） ，与无方向性天线在该方向上的功率密度S0（或场强E0的平方）之比。假设有方向性天线的辐射功

6、率为P，最大辐射方向的辐射场为Emax，无方向性天线的辐射功率为P0，辐射场大小为E0，则有如下关系：=22004240rEP202060rPE如果有方向性天线的方向性系数为D，则根据定义，当其辐射功率为P时，有22max60rDPE所以，当有Emax=E0时，则有0max0EEPPD1-11 一个电基本振子和一个小电流环同时放置在坐标原点，如图示，若，SIlI212试证明远区任意点的辐射场均是圆极化的。【证明】如图示的电基本振子和小电流环的辐射场分别为：jkrerlIjEsin2016jkrerSIEsin022令ASIlI212则远区任一点辐射场为：这是一个右旋圆极jkrerAarAjaE

7、sin2sin200化的电磁波。1-13 设收发两天线相距r，处于极化匹配和阻抗匹配的最佳状态，且最大方向对准。若工作波长为，发射天线输入功率 Ptin，发射和接收天线增益系数分别为 Gt、Gr，试证明接收功率为rttinrGGPrP2max4【证明】满足题设三条件的情况下，根据天线增益的定义，可以得到发射天线在接收天线处产生的辐射场的最大功率密度为ttinGrPS2max4接收天线的有效面积为reGS42因此接收天线得到的最大接收功率为rttinerGGPrSSP2maxmax41-15 若干扰均匀分布于空间并从所有方向传到接收点，利用定向接收天线可以增大有用信号功率和外部干扰功率之比，试证

8、明这一比值和天线的方向性系数成正比。【证明】设定向接收天线的方向性函数为 F(,)，方向性系数为 D，则有如下关系： 2002sin),(4ddFD7设干扰的平均功率流密度大小Sn为常数，一个以接收点为中心的，半径为r的球面 包围了接收点，则接收点处天线接收到的功率 Pn为不同方向面积微元通过的被接收的干扰的积分：DrSddFrSddrFSdsFSPnnnnn2200222200224sin),(sin),(),( 设天线接收到的有用功率为Ps，则有用功率与干扰功率之比为s=Ps/PnD。8第二章2-1 设对称振子臂长l分别为/2，/4，/8，若电流为正弦分布，试简绘对称振子上的电流分布。/2

9、/2/4/4/8/82-2 用尝试法确定半波振子、全波振子 E 面主瓣宽度。半波振子的方向性函数为sincos2cos)(F可以看出，该函数关于 =0 和 =/2 对称，并且当 =/2 时，F（）有最大值 1，因此计算 =/4/2 之间的值即可。经过计算，当 =51时，F（）=0.708，因此，可以得到主瓣宽度为 HPBW=2（90-51）=789全波振子的方向性函数为sincos2cos)(2F可以看出，该函数关于 =0 和 =/2 对称，并且当 =/2 时，F（）有最大值 1，因此计算 =/4/2 之间的值即可。经过计算，当 =66.1时，F（）=0.707，因此，可以得到主瓣宽度为 HP

10、BW=2（90-66.1）=47.82-3 试利用公式（1-51） ，求半波振子、全波振子的方向性系数。【解】公式（1-51）为RfD2max120对于对称振子，fmax=1-coskl所以本题可以列表回答：2-4 试利用公式（1-85） ，分别求解半波振子和全波振子的有效面积。【解】有效面积的公式为GSe42利用 2-3 题的结论可以列出下表：天线种类klfmaxRDSe半波振子/2173.11.640.132全波振子22002.40.1922-5 试利用公式（2-24）或（2-25） ，求半波振子、全波振子的有效长度。【解】公式（2-24）是采取以归算电流为输入电流计算的有效长度2tank

11、lle天线种类klfmaxRD半波振子/2173.11.64全波振子22002.410公式（2-25）是采用了归算电流为波腹电流计算的有效长度302DRle所以本题可以列表回答。天线种类klfmaxRDle（2-24）le（2-25）半波振子/2173.11.640.318 (/)0.318 (/)全波振子22002.40.637 (2/)2-6 已知对称振子臂长l=35cm，振子臂导线半径a=8.625mm，若工作波长=1.5m，试计算该对称振子的输入阻抗的近似值。已知对称振子臂长l=35cm，a=8.625mm，=1.5m，则有：利用公式（2-29）求得 Z0A=120（ln2l/a-1）

12、=120ln（2350/8.625）-1=408，刚好介于图 2-9 的 340 和 460 之间。l/=0.233，根据图 2-9 的（a）和（b）可以分别查得：Zin=70+j0，需要注意：这里的数字读取得很粗略。还有一种方法：利用公式（2-32）进行计算。首先计算l/（2a）=20.3，l/=0.233，并利用公式（2-29）求得 Z0A=120（ln2l/a-1）=120（ln2350/8.625-1）=408；查图 2-8，得 n=1.05查图 2-5，Rm=70=n2/=2.1/11利用公式（2-31）求得 A=0.753/,然后代入公式（2-32） ，最终求得 Zin=69.4-

13、21.4。2-7 试计算电流呈三角形分布短天线的方向性系数和有效高度。【解】电流呈三角形分布的电流表达式为：，|z|l，IA为输入点电流。这是对lzIzIA|1)(称振子当l时的情况。天线的辐射场为jkrAjkzlljkrAjkzjkrllerlIjdzelzerIjdzeerzIjEsin60|1sin60sin)(60coscos这里20cos)cos()coscos(12)coscos(12)coscos(|1)cossin()coscos(|1|1klklldzkzlzdzkzlzdzkzjkzlzdzelzllllljkzll当kl0 区域的部分。E 面（xoz 平面）的上述因子表达

14、式为：阵元方向性函数：|cossin2cos地面上阵轴为 x 轴方向的等幅同相二元阵（m=1，=0，d=/2）阵因子：|sin2cos地面上的阵列和地面下的负镜像阵列组成的阵轴为 z 方向的等幅反相二元阵（m=1，=，d=）的阵因子：|)cossin(最终 E 面（xoz 平面）总的阵方向图为 FE()=|cossin2cossin2cos|)cossin(可以化简结果为，注意不要忘记书写绝对值符号，这)cossin(cossin2cos)(2EF里 为观察方向与+z 轴夹角，而 则为观察方向与+x 轴（阵轴）夹角，在 xoz 平面上有+=/2。注意最终函数自变量的统一，我们一般使用 或者 （

15、xoy 平面上观察方向与+x 轴夹角） ，这样便于规范化。类似地，可以求得 H 面（yoz 平面）的上述因子表达式为：阵元方向性函数：1（令 E 面的 =0 即可）24地面上阵轴为 x 轴方向的等幅同相二元阵（m=1，=0，d=/2）阵因子：1（令 E 面的 =0 即可）地面上的阵列和地面下的负镜像阵列组成的阵轴为 z 方向的等幅反相二元阵（m=1，=，d=）的阵因子：|（因为 H 平面平行于阵轴，所以方向性函)cossin(数不变）最终 H 面（yoz 平面）总的阵方向图为 FH()=|)cossin(方向图如下：E 面F1F2F3FExzOxzOxzOxzO=yzOyzOyzOyzOF1F

16、2F3FH=H 面3-14 2 元垂直接地振子如图排列，试求：天线系统方向性函数，画出含两振子轴平面的方向图。设大地所在平面为 xoy 平面，振子轴向平行于 z 轴，地面上的阵列阵轴则平行于 x 轴。E 面为 xoz 平面，H 面为 xoy 平面天线阵系统最终的方向图由两个因子乘积所得：阵元及其地面镜像组成的半波振子天线的方向性函数25地面上阵轴为 x 轴方向的等幅二元阵（m=1，=-/2，d=/4）阵因子需要注意的是：最终只取 z0 区域的部分。E 面（xoz 平面，含振子轴平面）的上述因子表达式为：阵元及其地面镜像组成的半波振子天线的方向性函数：|sincos2cos地面上阵轴为 x 轴方

17、向的等幅二元阵（m=1，=-/2，d=/4）阵因子：|sin14cos最终 E 面（xoz 平面）总的阵方向图为 FE()=|sincos2cossin14cos注意不要忘记书写绝对值符号，这里 为观察方向与+z 轴夹角，而 则为观察方向与+x轴（阵轴）夹角，在 xoz 平面上有 +=/2。注意最终函数自变量的统一，我们一般使用 或者 （xoy 平面上观察方向与+x 轴夹角） ，这样便于规范化。类似地，可以求得 H 面（xoy 平面）的上述因子表达式为：阵元及其地面镜像组成的半波振子天线的方向性函数：1（令 E 面的 =/2 即可）地面上阵轴为 x 轴方向的等幅二元阵（m=1，=-/2，d=/

18、4）阵因子：|（因为 H 平面平行于阵轴，所以方向性函数不变，但是自变量变为cos14cos）最终 H 面（xoy 平面）总的阵方向图为 FH()=cos14cos方向图如下：E 面26F1F2FExzOxzOxzO=xyOxyOxyOF1F2FH=H 面3-15 两半波振子并列且垂直于无穷大理想导电地平面，相距 /2，中心高度为 /4，两振子电流等幅反相。画出 E 面和 H 面方向图。设大地所在平面为 xoy 平面，振子轴向平行于 z 轴，地面上的阵列阵轴则平行于 x 轴。E 面为 xoz 平面，H 面为 xoy 平面天线阵系统最终的方向图由三个因子乘积所得：阵元方向性函数地面上方阵轴为 x

19、 轴方向的等幅反相二元阵（m=1，=，d=/2）阵因子地面上的阵列和地面下的负镜像阵列组成的阵轴为 z 方向的等幅同相二元阵（m=1，=0，d=/2）的阵因子需要注意的是：最终只取 z0 区域的部分。E 面（xoz 平面）的上述因子表达式为：27阵元方向性函数：|sincos2cos地面上方阵轴为 x 轴方向的等幅反相二元阵（m=1，=，d=/2）阵因子：|sin2sin地面上的阵列和地面下的负镜像阵列组成的阵轴为 z 方向的等幅同相二元阵（m=1，=0，d=/2）的阵因子：|cos2cos最终 E 面（xoz 平面）总的阵方向图为FE()=| |sincos2cossin2sincos2co

20、s可以化简结果为，注意不要忘记书写绝对值符号，| )sin2sin(sincos2cos|)(2EF这里 为观察方向与+z 轴夹角，而 则为观察方向与+x 轴（阵轴）夹角，在 xoz 平面上有 +=/2。注意最终函数自变量的统一，我们一般使用 或者 （xoy 平面上观察方向与+x 轴夹角） ，这样便于规范化。类似地，可以求得 H 面（xoy 平面）的上述因子表达式为：阵元方向性函数：1（令 E 面的 =/2 即可）地面上方阵轴为 x 轴方向的等幅反相二元阵（m=1，=，d=/2）阵因子：|（因为 H 平面平行于阵轴，所以方向性函数不变，但是自变量变为 ）cos2sin地面上的阵列和地面下的负镜

21、像阵列组成的阵轴为 z 方向的等幅同相二元阵（m=1，=0，d=/2）的阵因子：1（令 E 面的 =/2 即可）28最终 H 面（yoz 平面）总的阵方向图为 FH()=|cos2sin方向图如下：E 面F1F2F3FExzOxzOxzOxzO=xyOxyOxyOxyOF1F2F3FH=H 面3-16 两半波振子平行于地面并列置于无穷大理想导电地平面上空，馈电与排列尺寸如图所示。画出垂直振子轴平面的方向图。设大地所在平面为 xoy 平面，振子轴向平行于 x 轴，地面上方的阵列阵轴则平行于 z 轴。E 面为 xoz 平面，H 面为 yoz 平面，需要注意的是，因为水平放置的振子最终会产生负镜像，

22、所以虽然 xoy 平面平行于振子轴，为疑似 E 面，但是最终沿 xoy 平面上的辐射为零，所以，xoy 平面不是 E 面。天线阵系统最终的方向图由三个因子乘积所得：阵元方向性函数地面上阵轴为 z 轴方向的等幅同相二元阵（m=1，=0，d=/2）阵因子29地面上的阵列和地面下的负镜像阵列组成的阵轴为 z 方向的等幅反相二元阵（m=1，=，d=）的阵因子需要注意的是：最终只取 z0 区域的部分。E 面（xoz 平面）的上述因子表达式为：阵元方向性函数：|cossin2cos地面上阵轴为 z 轴方向的等幅同相二元阵（m=1，=0，d=/2）阵因子：|cos2cos地面上的阵列和地面下的负镜像阵列组成

23、的阵轴为 z 方向的等幅反相二元阵（m=1，=，d=）的阵因子：|)cossin(最终 E 面（xoz 平面）总的阵方向图为 FE()=|cossin2coscos2cos|)cossin(注意不要忘记书写绝对值符号，这里 为观察方向与+z 轴夹角，而 则为观察方向与+z轴（阵轴）夹角，本题中在 xoz 平面上有 =。注意最终函数自变量的统一，我们一般使用 或者 （xoy 平面上观察方向与+x 轴夹角） ，这样便于规范化。类似地，可以求得 H 面（yoz 平面）的上述因子表达式为：阵元方向性函数：1（令 E 面的 =0 即可）地面上阵轴为 z 轴方向的等幅同相二元阵（m=1，=0，d=/2）阵

24、因子：|（因为 H 平面平行于阵轴 z 轴，所以方向性函数不变）cos2cos30地面上的阵列和地面下的负镜像阵列组成的阵轴为 z 方向的等幅反相二元阵（m=1，=，d=）的阵因子：|（因为 H 平面平行于阵轴，所以方向性函)cossin(数不变）最终 H 面（yoz 平面）总的阵方向图为 FH()=| |cos2cos)cossin(方向图如下：E 面F1F2F3FExzOxzOxzOxzO=yzOyzOyzOyzOF1F2F3FH=H 面31第四章4-4 设一直立天线高h=15m，工作波长 =300m，天线地面已铺设地网，天线输入电流有效值I0=3A，求距天线r=5km 处（=0）的场强值

25、。【解】天线输入电流有效值I0=3A，则天线输入电流峰值为Im=1.4143A=4.242A。根据公式（4-5）coscos)sincos(sin60|khkhkhrIEAm将h=15m，k=2/=2/300m，r=5000m，=0 代入，得|E|=8.06mV/m。4-7 对天线的馈线有哪些要求？现有特性阻抗 75 的同轴馈线与特性阻抗 300 的扁馈线，试绘出以上两种馈线分别连接半波振子和折合振子的馈电结构图。对天线馈线的要求，对对称振子而言，要求有平衡馈电与阻抗匹配。天线/馈线75 的同轴馈线300 的扁馈线半波振子/4Z0=300Z01=150Zin/ /4 432半波折合振子e/2Z

26、0=300Zin33第五章5-2 简述等效原理的内容及作用？等效原理：某一区域内产生电磁场的实际场源，可以用一个能在同一区域内产生相同电磁场的等效场源代替。作用：在研究面天线问题时，待求解的场是天线外部辐射场，只要找到合适的等效源，就可以直接从等效源求解，而不必知道实际场源，从而使求解大大简化。一般只需要计算出面天线的口面场分布，就可以直接求出面天线的辐射场。5-4 试推导矩形口径均匀场的方向性系数公式（5-28） 。公式（5-28）为：yxLLD24矩形口径均匀场的方向性系数为：PErDm60|22辐射功率P等于口径的功率通量yxoxLLLLoxLLEdxdyEPxxyy2222222401

27、240 而对于口径辐射而言，当=0 时为最大辐射方向，因此yxoxLLLLoxmLLrEdxdyrEExxyy 2222|将P和|Em|的值代入，得PErDm60|22。yxLLD24345-6 矩形口径尺寸 Ly=8，Lx=6，口径场振幅相等，相位同相，即 Es=Eox=常数，求H 面内主瓣宽度 20.5H，零点夹角 20H以及第一副瓣位置和副瓣电平 1（dB） 。 （提示：利用图 5-10 曲线）xyOLxLy如图示，因为Es为 x 方向，所以天线的 E 面为 x-z 面，天线的 H 面为 y-z 面。根据图 5-10，在 H 面上当时，39. 1sinyLF（）=0.707，将Ly=8

28、代入上式，得：sin=0.0553，因此 =3.17，20.5H=23.17=6.34。同理，在 H 面上当时，sinyLF（）=0，将Ly=8 代入上式，得：sin=0.125，因此 =7.18，20H=27.18=14.36。在 H 面上当时，23sinyLF（）=，为极大值，32将Ly=8 代入上式，得：sin=0.1875，因此 =10.8，为第一副瓣位置。35副瓣电平 1（dB）=-13.5dB。)32lg(205-8 矩形波导口尺寸为ab，其口径场振幅分布为，相位同相，试计axEEoySsin算口面利用系数。SsSsSsSsdxdyESdxdyEdsESdsE2222axEEoyS

29、sin81. 08sin|sin|sinsin20220202200 02020 00 ayaybaybaydxaxbSEdxaxbEdxdyaxESdxdyaxE附：公式推导过程。SsSsSsSsdxdyESdxdyEdsESdsE2222SvD24矩形口径场的方向性系数为：PErDm60|22辐射功率P等于口径的功率通量SsSsdxdyEdsEP240|240|22而对于口径辐射而言，当=0 时为最大辐射方向，因此|dxdyrEdsrEESsSsm将P和|Em|的值代入，得，PErDm60|22SsSsdxdyEdxdyED222|436结合，所以。SvD24SsSsSsSsdxdyESd

30、xdyEdsESdsE22225-10 设矩形口径尺寸为ab，口径场沿a边呈余弦分布，相位同相，欲使两主平面内主瓣宽度相等，求口径尺寸之间关系。【解】查表 5-1，口径场沿a边呈余弦分布，则其 H 面主瓣宽度为 68/a；口径场沿b边呈均匀分布，则其 E 面主瓣宽度为 51/b；若两者相等，则有：68/a=51/b，因此可得a/b=1.33。5-12 口径场相位偏差主要有哪几种？它们对方向图的影响如何？【答】偏差种类对方向图的影响直线率相位偏差最大辐射方向偏移。平方率相位偏差零点模糊、主瓣展宽、主瓣分裂、方向性系数下降。立方率相位偏差最大辐射方向的偏转、方向图不对称、主瓣一侧产生较大副瓣。37第六章6-6 工作于 X 波段（8.212.4GHz）的矩形喇叭，口径尺