概率统计试卷及答案

1、江汉大学 2011 2012学年第 二 学期试卷评分参考(B卷)课程编号：410801009课程名称： 概率论与数理统计 一、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)1 .若事件 A,B 互不相容，已知 P (A)=0.2 , P(B) 0.4,则 P (ALJ B)= P(A B) 。2 .甲、乙两门炮彼此独立 地向一架飞机射击，设甲击中的概率为0.3,乙击中的概率为 0.4,则飞机被击中的概率为 。D(2X Y 1) 。4 .设随机变量X的阿布用数为F(x)P| X | 6 。5 .设Xi,X2,X3是来自正态总体 XN3 .设 E(X) 3, D(X) 5, D(Y) 4,且 X

2、,Y 独立，则 E(X 2)2 ,0, x 0Asin x, 0 x 2，则 A ,1, x时，？最有效。,1的样本，若？ 2凶a?X2 23X3是总体均值的无偏估计，则a(i 1,2,3)应满足条件1 . , 042. 0583. 30, 24二、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)AB,C表示3个事件，则ABC表示2 .某型号电子器件，其寿命(以h计)为一随机变量，概率密度为，某电子设备内配有 3个这样的电子器件，则电子设备使用150h都不需要更换的概率为2x, 0 x A 3 .连续型随机变量 X的概率密度为f (x),则常数A0, 其他4 .如果随机变量 XN(0,1),

3、则Y ()-N( , 2)5 . X”X2，Xn(n 1)是来自总体的样本，X,S为样本均值和样本标准差，则有B D C A C三、计算题(本大题共7小题，每题10分，共70分)1.解：设事件A(i 1,2,3)分别为 物价指数由第i种商品构成”三个事件；B为事件 物价指EMBED数上涨”.由已知 P(A) 0.4, , P(A3) 0.3, P(B| A1) 0.6, P(B| A2) 0.8 Equation.3 P(B|A3) 0.5.(1)由全概率公式得该物价指数上涨的概率为： 3P(B) P(B|A)P(A) 0.6 0.4 0.8 0.3 0.5 0.3 0.63 i 1(2)由B

4、ayes公式得当物价指数上涨时三种商品价格上涨的可能性分别为：P(A|B)P(A|B)P(B) 0.6 0.4P(B)0.630.38, P(A2 |B)P(A2|B)P(B)P(B)0.80.63” 0.38PA|B)P(A3|B)P(B) 0.5 0.3 0 24P(B)0.63由上可知，如果该物价指数上涨，第三种商品价格上涨的可能性较小10分Ax2.2.随机变量X的密度函数为：fx(x),0,1 x其他试求:(1)系数A； (2) X的分布函数F (x) ； (3)求Y3X 1的概率密度fY(y).解：(1)由密度函数性质:f (x)dx1 Ax2dx(2) Fx (x)PXxxf (t

5、 )dt0,x1, FY(y)PYy)P3X 1fY(y)FyH)fX (9 33 .设随机变量解:1犷出,0, i(x31,1),y) px 18(y 12), 0,其他X和Y相互独立，下表列出了二位随机变量fx (x) dx10分(X,Y)的联合分布律及关于E(XY)。X -._ Y012Pi.01 24112J "413814.3 1P.j1213关于Y的边缘分布律中的部分数值，试将其余数值填入表中空白处，并求X,Y相互独立，故E(X) 0 4 1 梳 4, E(Y) 0 11 £ 2 3E(XY) E(X)E(Y) I 676，78 .4.设X和Y是两个相互独立的随

6、机变量，X -U (0,1)在(0,1(密度为fY20,ye2, y。(1)求X和Y的联合概率密度f010分1)上服从均匀分布，Y的概率x, y ； (2)设关于a的二次方程为 a2 2Xa Y 0,试求方程有实根的概率。(1) 0.8413)解：(1)因为X U(0,1),所以X的概率密度为fX(y)1,00,其他由于X和Y相互独立，故(X,Y)的概率密度为:y1e，0 x 1,y 0f(x,y) fx(x)fY(y)20, 其他(2)要使方程有实根，必须方程P4 X2 4Y 0 P X2a2 2Xa Y 0的判别式ix2 . yiY 00dx。为%y 0(124X2 4Y 0;x2e ?)

7、dx1x2i F±e =dx0x21 e=dx i 2 (i)2(0) 0.i445i0分5.设供电网中有i0000盏灯，夜晚每一盏灯开着的概率都是0.7。假设各灯开、关时间彼此无关，利用中心极限定理计算同时开着的灯数在6900到7100之间的概率。解：设X为同时开着的灯数，依题意X npnp(1P)X 10000 0.7 100000.70.3(V21 4.582,X B(n,p), n 10000, p 0.7,X，000N(0,1)(近似地服从),2100(2.18) 0.9854)由中心极限定理有,所求概率为P69007100 P6900217000X 70002100710

8、0 70002100(2.18) 1 0.9708.10分6.设总体X的概率密度为f (x;)i)0,其他1 未知，Xi,X2，一 Xn为来自该总体的一个样本。解：(1)总体一阶矩：求未知参数的矩估计和极大似然估计。解得ai E(X)xf (x)dx2 x dx2 a1 ai用样本一阶矩X代替ai得的矩估计量为(2)基于样本为？2,(0 xi1)的似然函数为nL(f(xi)n 2nxi1)两边取对数，得:In L(nlnIn 2 (1)Inxi ；求导令d ln L()dInnln Xin ln 2i 1即为参数的极大似然估计量.10分7.已知某厂生产的维尼龙纤度(表示细度程度的量)服从正态分

9、布N(0 0.048 ,某日抽取5根纤维, 问这天生产的维尼龙纤度的均方差由测得数据计算得样本均值为解：已知是否有显著变化？取显著性水平0.00778,0 0.048 ;2,),标准差为1.414, S2 0.00778 ,0.01。依题意需对单正态总体方差进行假设检验:假设：H0:0 0.048, H1 :o (1)1检验统计量：2 (n 1)s2， 一(n 1),拒绝域为:2 j(n 1)2.005(4) 14.86 或2222212(n 1)2.995 (4)-2代入数据计算得2(5 1) 0,00778,()2 13.51 ,不在拒名域内.故接受H。0.048差没有显著变化.0.207

10、,即认为均方10分13-14-1概率统计试卷A标准答案及评分标准一、选择题(每小题3分, 1、甲、乙、丙三人各射击一次。共15分)A、B、C分别表示甲、乙、丙击中。则事件“三人中恰有一人A ABC ；击中”可表示为(C )、A B C;C ABC ABC ABC ;2、设随机变量X的概率密度为f (x),则f(x) 一定满足(A. 0 f(x) 1B.PXxf(t)dtC. f (x)dx 1D.f(3、设随机变量X的分布函数为A. Fig)，B. F(?F(x),贝UY3X1的分布函数G(y) =B1),C. F(3(y31),D.F(y1)4、在假设检验问题中，显著水平a的意义是( A )

11、A .在H 0成立的条件下， 经检验H0被拒绝的概率;B.在H0成立的条件下，经检验H0被接受的概率;C.在Ho不成立的条件下，经检验Ho被拒绝的概率;D.在Ho不成立的条件下，经检验H0被接受的概率。Xi5、设(Xi，X2， Xn)为来自总体X N( , 2)的样本,与S2(Xi1X)2分别为样本均值和样本方差，则下面正确的是Xi2 2(n);B、X N(0,1);C、2 1)S2 22(n)；XD、 - t (n 1)。/ , n二、选择题(每小题3分，共15分)6、设10个考题中有4个难题。甲、乙、丙先后抽一个题目(不放回)。则甲、乙、丙均抽到难题的概率是 1/30。7、设A、B为两随机

12、事件，且 A与B互不相容，P (A) , P (B),则P( AB )= _。8、设随机变量X的分布函数为F(x),分布律为X-1012p0.2+贝U =0.2。 F (0) =049、随机变量 XN(2, 2), P(0 X 4) 0.3, P(X 0)0.3510、设总体XU(0, ), Xi,X2,X3,X4是来自总体X的样本,为未知参数，要使统计量C (Xi X2 X3 X4)是 的无偏估计量，则 C=1三、计算题(共50分)11、(10分)设8个乒乓球中有3个旧的和5个新的。第一次比赛时从中任取2个，用后放回。第二次比赛时又从中任取 2个。求第二次取到一个新球和一个旧球的概率。解：设

13、Bj表示第一次取到j个新球(j=0,1,2) , A表示第二次取到一个新球和一个旧球。(2分)则 P(A) P(Bo)P(A|Bo) P(Bi)P(A|Bi) P(B2)P(A|B2)(6 分)02111c11 12011C5C3 C5C3C5C3 C4C4C5C3 C3C5222222C8C8C8C8C8C83 151516101543528 28282828287840.5548469(10 分)12、(8分)设自动生产线在调整后出现不合格品的概率为0.01,当生产过程中出现不合格品时,立即停机重新调整。求两次调整之间生产的合格品件数X的概率分布解：X的可能值是0, 1, 2, 3, 4,

14、，（3分），概率分布律为kPX k 0.99 0.01, k 0, 1, 2,。(8 分)13、（ 10分）设X的概率密度函数为f（x）求X的分布函数和数学期望。23x2, 0 x 10, 其它解：由F（x）xf(t)dt得，当 x 0时，F(x)0。当乂 1 时，F （x） 1。（3 分）当0 x 1时，一x 一 23一F (x)0 3t dt x(6 分)所以，X的分布函数是 1, x 1 3F(x)x3, 0 x 1(8 分)0, x 0133EX 3x3dx (10 分)0414、（ 12分）设（X ,Y）的联合概率密度函数为f (x, y)6xy2,0,0x1, 0 y 1其他r试求

15、：（1） X,Y的边缘密度函数，（2）X,Y是否相互互独立？ （ 3）求 P（X Y）.12解：(1)当 0 x 1 时，fX(x)f (x, y)dy 0 6xy dy 2x。当 x 0或 x 1 时，fX(x) 0.2x, 0 x 1、所以 fx(X)'(3分)0, 其他199当 0 y 1 时，fY (y)f (x, y)dx 06xy dx 3y。当 y 0或 y 1 时，fY(y) 0.所以fY（y）-23y , 0 y 10, 其他(6分)(2)f(x, y)fx(x)fY(y),所以X,Y独立。（9分）P(X Y)(3)03y4dyf (x, y)dxdyx y3512

16、y0 6ydy ° xdx(12 分)15、（10分）已知随机变量 X的分布律为X101p0.20.40.41,其中 是未知参数（| 0.4）。设来自总体 X的一个简单随机样本的观测值是：1,-1,-1 , 0, 1,0, 0, 1, 1。求参数的矩估计值和最大似然估计值。解：=EX=-（0.2）+（0.4- ）=0.2- ,=0.2-（劫）靠 0.2 X,又X 0.3,*0.1（4分）（2）样本值中分别有两个1, 3个0和5个1。所以，似然函数为L(23)0.2 (0.4) (0.4)5(6分）ln L( ) 21n0.2+3ln(0.4) 5ln(0.4)d ln L( )35(

17、8分)d0.40.4令导数等于350 得到 一3 一50.40.4-=0 °解得：=0.1。所以，参数的最大似然估计值是2= -0.1。（10 分）四、应用题（共20分）16件，测得各零件的长度如下 （单位：cm）：16、（8分）从自动车床加工的一批零件中随机地抽取22其样本均值和样本万差分别为：x 2.13,s0.026 。设零件长度服从正态分布，试求零件平均长度的置信水平为 95%勺置信区间。X解：选择统计量t 产，则tt（n 1）, （3分），195%, - 0.025,n 16S/.n2查 t分布表得 1025(15) 2.1315,而 x 2.13, s2 0.0262, (4 分)则零件平均长度是-SS(X.-t0.025(15), X:16 t0.025(15)(8分)0.0260.026(2.132.1315, 2.13 一 2.1315)由6、16(2.116,2.144)17、（ 12分）设某品种的作物的高度（单位厘米） X服从正态分布N（ , 2）,在品种纯正的情况一 、2卜万差不大于。现从一农户的一块田中随机抽取16株，测得高度的样本均值和样本、1方差为：x 一 xi16 i i1 1633.6 , s2 一(xi x)15i i4。请问该农户所种植的品种是否纯正?（取显著性水平0.05）；解：要检验的假设是：H0: 2 3.6, H1 :