ch5 大数定律与中心极限定理

1、第5章大数定律与中心极限定理大数定律、中心极限定理主要讨论随机变量序列的极限稳定性和极限分布，内容很丰富本章介绍几个最简单的结果这些结果在数理统计中常用到5.1切比雪夫不等式切比雪夫(Chebyshev)不等式：设随机变量X的数学期望与方差 都存在， 则 ，有 ，或证：只对连续随机变量简证之 o x设X的概率密度为，则 ；此不等式将被用于大数定律和中心极限定理的论证中例1一家饮料厂生产某种规格的饮料，使用机器包装，额定标准为每瓶净含量550凡净含量在543557 之间被认为包装合格以往的统计结果表明，净含量的标准差为2试估计此种饮料包装的合格率解：用X表示每瓶饮料的净含量X的分布情况未明，利用

2、切比雪夫不等式作估计可以认为 ， 于是，包装的合格率 一般地对于随机变量X，记 ， 由切比雪夫不等式知：， 取 时， 有 ；取 时， 有 5.2 大 数 定 律大数定律研究依概率收敛：设 是一个随机变量序列，简记为，a为实常数若 ， 有 ， 则称 依概率P收敛于a， 记作 ( ) 0 1 Xn a Xn Xn x 依概率收敛的意义是，当 n充分大时，几乎可以肯定 取值于区间 定理一 (切比雪夫大数定律) 设随机变量序列 相互独立，即任意有限多个随机变量 相互独立，存在期望与方差，且方差有界C： 记 ， 则 ， 有 证： ， 利用切比雪夫不等式得 ，从而 俄国数学家切比雪夫于1866年证明了此定

3、理，它是大数定律中相当普遍的结论推论设 相互独立，服从同一分布，简称为独立同分布存在期望与方差：， 则 ， 含义：在进行精密测量时，为了减少随机误差，通常要重复测量多次，测得实测值 ，然后取平均值 来替代真值当 n很大时，的值接近于测量真值的概率愈来愈大它描述了测量时大量测量值的算术平均值的稳定性定理二 (伯努利大数定律) 设在n重伯努利试验中事件 A发生了次，记 为事件 A发生的频率，概率 ， 则 ， 即 ，有 证：令 则 ， 且相互独立，服从同一个分布， 由推论得 ，定理二的意义在于，随着试验次数 n的增加，随机事件A发生的频率必然会稳定于概率，从而以严格的数学形式描述了频率的稳定性在实际

4、应用中，当试验次数很多时，就可用频率来估计概率定理三 (辛钦大数定律) 设随机变量序列独立同分布，存在数学期望 ， 则 , (在独立同分布的条件下，只要期望存在，而方差可以不存在，与定理一有区别)例1.设独立同分布， 试问 依概率收敛于什么值？解：满足定理三的条件， 故 ， 即 ， 有 5.3 中心极限定理中心极限定理讨论相互独立的随机变量序列的极限分布，即依分布收敛下面定理表明，一个随机变量是由大量的相互独立的随机因素的综合影响所形成，其中每一个因素在总的影响中所起的作用都很微小，且相对均匀，则它近似地服从正态分布这种现象就是中心极限定理的客观背景定义设随机变量序列相互独立，存在期望与方差：

5、， 记和 ， 为的标准化随机变量，的分布函数 若 ， 有， 则称 服从中心极限定理定理四 (独立同分布的中心极限定理) 设随机变量序列 独立同分布，存在期望与方差：， 令 ， 分布函数 则 ， 成立 定理四表明，对于标准化随机变量 ，当 n充分大时，渐近地有（近似地服从）， 或 (利用特征函数法即的Fourier变换可证明定理)得到近似计算公式： ， 这里 定理五 (棣莫弗拉普拉斯(De MoivreLaplace)中心极限定理) 设随机变量序列， 常数 记 ， 则成立 ， 0 1P p证：这是定理四的特殊情况， 独立同分布， 由定理四得 ，定理五表明，若 ，则当 n充分大(一般要求)时有近似

6、计算公式：， (*) 这里关于式(*)的说明： 因为二项分布是离散分布，而正态分布是连续分布，经验表明，对于正整数，若采用连续性修正公式 进行近似计算，可提高精度例1. 一家电子管厂生产36W规格的日光灯管， 由于生产过程中随机因素的影响， 每支灯管的功率在区间34W, 38W上均匀分布 在一路电线上并联着此种灯管100支，它们的功率相互独立试问它们的总功率在3575W3625W之间的概率是多少？解：将100支灯管编号以 表示第 i支灯管的功率，则， 独立同分布， 记总功率 ， 由于 很大，据定理四， 所求概率为 例2. 某城市有三万人参加一家保险公司的人寿保险，每人每年付保险费十元若投保人一年内死亡，则保险公司向其家属理赔一千元假设该城市人口的年死亡率为6.4 试