五章节平面向量ppt课件

1、第五章第五章 平面向量平面向量第第1 1讲讲 平面向量的概念与运算平面向量的概念与运算【考纲下载】【考纲下载】1. 了解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念了解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念2掌握向量加法、减法的运算掌握向量加法、减法的运算3掌握实数与向量的积掌握实数与向量的积4了解两个向量共线的充要条件了解两个向量共线的充要条件5了解平面向量的根本定理了解平面向量的根本定理6了解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算了解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算. 1向量的有关概念向量的有关概念(1)向量：既有向量：既有 又有又有 的量，向量的大小叫

2、做的量，向量的大小叫做 向量的向量的 (或模或模)(2)零向量：长度为零向量：长度为 的向量，其方向是的向量，其方向是 的的(3)单位向量：长度等于单位向量：长度等于 的向量的向量(4)平行向量：方向平行向量：方向 或或 的的 向量向量(5)相等向量：长度相等向量：长度 且方向且方向 的向量的向量(6)相反向量：长度相反向量：长度 且方向且方向 的向量的向量大小大小方向方向长度长度 0恣意恣意1个单位长度个单位长度一样一样相反相反非零非零相等相等一样一样相等相等相反相反提示：平行向量也叫共线向量，这里的提示：平行向量也叫共线向量，这里的“平行与两直线平行与两直线(或线段或线段)平行的意义平行的

3、意义不同，两向量平行时，两向量可以在同一条直线上，甚至起点都可以一样不同，两向量平行时，两向量可以在同一条直线上，甚至起点都可以一样2向量的运算向量的运算(1)向量的加法与减法向量的加法与减法加法加法减法：减法与加法互为逆运算，服从三角形法那么减法：减法与加法互为逆运算，服从三角形法那么(2) 实数与向量的积实数与向量的积 |a| .当当 时，时，a与与a的方向一样；当的方向一样；当 时，时，a与与a的方向相反；的方向相反；当当0时，时，a .运算律：设运算律：设，R，那么：，那么：a(a) ；b()a ；c(ab) .00()a|a|aaab0(3)平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算假设假

4、设a(x1，y1)，b(x2，y2)，那么，那么ab ，ab 假设假设A (x1，y1) ，B (x2，y2) 那么那么 ， 假设假设a(x，y)，为实数，那么为实数，那么a ；当；当 时，时， 表示表示a方向的单方向的单位向量位向量(x2x1，y2y1)(x，y)(x1x2，y1y2)(x1x2，y1y2)a提示：向量的坐标与点的坐标的表示方式是不同的，向量的坐标的表示方式是先写提示：向量的坐标与点的坐标的表示方式是不同的，向量的坐标的表示方式是先写上向量的称号，再写上等号，然后写上它的坐标，如上向量的称号，再写上等号，然后写上它的坐标，如a(x，y)；而点的坐标的表示；而点的坐标的表示方式

5、中，点的称号和它的坐标之间不能写等号，如方式中，点的称号和它的坐标之间不能写等号，如A(x，y)3两个向量共线定理两个向量共线定理(1)向量向量b与非零向量与非零向量a共线的充要条件是有且只需一个实数共线的充要条件是有且只需一个实数，使得，使得ba；(2)假设假设a(x1，y1)，b(x2，y2)，那么，那么ab的充要条件是的充要条件是.【思索】【思索】 如何用向量法证明三点如何用向量法证明三点A、B、C共线？共线？x1y2x2y10假设假设e1，e2是同一平面内的两个是同一平面内的两个 的向量，那么对于这一平面内的恣意向量的向量，那么对于这一平面内的恣意向量a， 一对实数一对实数1，2，使，

6、使a . 其中，其中， 叫叫 做表示这一平面内一切向量的一组基底做表示这一平面内一切向量的一组基底提示：提示：(1)该平面内的恣意向量该平面内的恣意向量a都可用都可用e1、e2线性表示，且这种表示是独一的线性表示，且这种表示是独一的(2)对基底的选取不独一，只需是同一平面内的两个不共线向量都可以作为一组基对基底的选取不独一，只需是同一平面内的两个不共线向量都可以作为一组基底底有且只需有且只需不共线不共线1e12e2不共线的向量不共线的向量e1、e24平面向量根本定理平面向量根本定理1(2021重庆卷重庆卷)知向量知向量a(1,1)，b(2，x)，假设，假设ab与与4b2a平行，平行， 那么实数

7、那么实数x的值是的值是() A2 B0 C1 D2 解析：解析：ab(3，x1),4b2a(6,4x2)， 3(4x2)6(x1)0，解得，解得x2. 答案：答案：D2. 如图，在平行四边形如图，在平行四边形ABCD中，以下结论中错误的选项是中，以下结论中错误的选项是()答案：答案：C3解析：解析：答案：答案：A4给出以下命题：给出以下命题：向量向量 的长度与向量的长度与向量 的长度相等；向量的长度相等；向量a与向量与向量b平行，那么平行，那么a与与b的的方向一样或相反；两个有共同起点的相等向量，其终点必一样；方向一样或相反；两个有共同起点的相等向量，其终点必一样；两个有共同终点的向量，一定是

8、共线向量；向量两个有共同终点的向量，一定是共线向量；向量 与向量与向量 是共线向量，是共线向量，那么点那么点A、B、C、D必在同一条直线上；必在同一条直线上； 其中错误的命题序号是其中错误的命题序号是_解析：解析： 中，中， 向量向量 与与 为相反向量为相反向量它们的长度相等，它们的长度相等， 此命题正确此命题正确中假设中假设a a或或b b为零向量，那么满足为零向量，那么满足a a与与b b平行，但平行，但a a与与b b的方向不一定一样或相反，的方向不一定一样或相反，此命题错误此命题错误由相等向量的定义知，假设两向量为相等向量，且起点一样，那么其终点也必定由相等向量的定义知，假设两向量为相

9、等向量，且起点一样，那么其终点也必定相相同，同，该命题正确该命题正确由共线向量知，假设两个向量仅有一样的终点，那么不一定共线，由共线向量知，假设两个向量仅有一样的终点，那么不一定共线，该命题错该命题错误误假设假设 与与 是共线向量是方向一样或相反的向量，是共线向量，那么是共线向量是方向一样或相反的向量，是共线向量，那么A A、B B、 C C、D D四点不一定在一条直线上，四点不一定在一条直线上，该命题错误该命题错误答案：答案：在求向量时，要尽能够地将其转化到平行四边形或三角形中去，选用从在求向量时，要尽能够地将其转化到平行四边形或三角形中去，选用从同一顶点出发的根本向量或首尾相接的向量，运用

10、向量的加减法及数乘同一顶点出发的根本向量或首尾相接的向量，运用向量的加减法及数乘运算来求解运算来求解.思想点拨：结合图形性质，准确灵敏运用三角形法那么和平行四边形法那么是思想点拨：结合图形性质，准确灵敏运用三角形法那么和平行四边形法那么是向向量加减运算的关键量加减运算的关键【例【例1】如下图】如下图,假设四边形假设四边形ABCD是一个等腰梯形是一个等腰梯形,MN分别是分别是DC、AB的中点的中点,知知解析解析:利用向量的坐标运算解题，主要就是根据相等的向量坐标一样这一原那么，利用向量的坐标运算解题，主要就是根据相等的向量坐标一样这一原那么，经过列方程经过列方程(组组)进展求解在将向量用坐标表示

11、时，要分清向量的起点和终进展求解在将向量用坐标表示时，要分清向量的起点和终点坐标，也就是要留意向量的方向，不要写错坐标点坐标，也就是要留意向量的方向，不要写错坐标 思想点拨：先设思想点拨：先设C、D点的坐标，利用向量相等列方程组求解点的坐标，利用向量相等列方程组求解【例【例2】知点】知点A(1,2),B(2,8)以及以及求点求点C、D的坐标和的坐标的坐标和的坐标.解解:设点设点C、D的坐标分别为的坐标分别为x1,y2)(x2,y2),由题意得由题意得所以点所以点C、D的坐标分别是的坐标分别是0，4、2，0 ，从而从而 变式变式2：知点：知点A(1,0)、B(0,2)、C(1，2)，求以，求以A

12、、B、C为顶点的平行四边为顶点的平行四边形的第四个顶点形的第四个顶点D的坐标的坐标解析：解析：即即(1,2)(x1，y2)解得解得x2，y0.D点的坐标为点的坐标为(2,0)(如图中的如图中的D3)综上所述，以综上所述，以A、B、C为顶点的平行四边形的第四个顶点为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标为的坐标为(0， 4) 或或(2,4)或或(2,0)(1)证明三点证明三点A、B、C共线，借助向量，只需求证明由这三点共线，借助向量，只需求证明由这三点A、B、C所组成的向所组成的向量中有两个向量共线，即这两个向量之间存在一个实数量中有两个向量共线，即这两个向量之间存在一个实数，使，使ab(b0)即

13、可即可(2)在求与一个知向量在求与一个知向量a共线的向量时，可设所求向量为共线的向量时，可设所求向量为a(R)，然后结合其他条，然后结合其他条件列出关于件列出关于的方程，求出的方程，求出的值后代入的值后代入a即可得到欲求向量而假设知两向量共即可得到欲求向量而假设知两向量共线，求某些参数的取值，那么利用线，求某些参数的取值，那么利用“假设假设a(x1，y1)，b(x2，y2)，那么，那么ab的的充要条件是：充要条件是：x1y2x2y10比较简捷比较简捷拓展拓展3 3：假设将本例：假设将本例(1)(1)中的条件改为中的条件改为“假设假设且且A、C、D三点共线，如何求三点共线，如何求k的值？的值？解

14、解: :【方法规律】【方法规律】1将向量用其他向量将向量用其他向量(特别是基向量特别是基向量)线性表示，是非常重要的技艺，也是向量线性表示，是非常重要的技艺，也是向量 坐标方式的根底坐标方式的根底2首尾相连的假设干向量之和等于以最初的起点为起点，最后的终点为终点的首尾相连的假设干向量之和等于以最初的起点为起点，最后的终点为终点的 向量；假设这两点重合，那么和为零向量向量；假设这两点重合，那么和为零向量3经过向量的共线可以证明三点共线及多点共线，但要留意到向量的平行与经过向量的共线可以证明三点共线及多点共线，但要留意到向量的平行与 直线的平行的区别直线的平行的区别4. 向量的坐标表示主要根据平面

15、向量的根本定理向量的坐标表示主要根据平面向量的根本定理.平面向量平面向量 实数对实数对(x，y) . 任何一个平面向量都有独一的坐标系表示任何一个平面向量都有独一的坐标系表示,但是每一个坐标所表示的向量却不一定但是每一个坐标所表示的向量却不一定 独一独一,也就是说也就是说,向量的坐标表示和向量不是一一对应的关系向量的坐标表示和向量不是一一对应的关系,但和始点为原点但和始点为原点O的向的向 量是一一对应的关系量是一一对应的关系.即向量即向量(x，y) 点点A(x，y)向量的坐向量的坐 标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点坐标标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点坐标 正确了解向量平

16、行与线段平行，向量相等与线段相等的关系是解题的关键正确了解向量平行与线段平行，向量相等与线段相等的关系是解题的关键 5知向量的始点和终点坐标求向量的坐标时一定要搞清方向，用对应的知向量的始点和终点坐标求向量的坐标时一定要搞清方向，用对应的 终点坐标减去始点坐标，本节易忽略点有二：一是易将向量的终点坐标误终点坐标减去始点坐标，本节易忽略点有二：一是易将向量的终点坐标误 以为是向量坐标；二是向量共线的坐标表示易与后面向量垂直的坐标表示以为是向量坐标；二是向量共线的坐标表示易与后面向量垂直的坐标表示 混淆混淆. 【高考真题】【高考真题】(2021安徽安徽)在平行四边形在平行四边形ABCD中，中，E、

17、F分别是边分别是边CD和和BC的中点，的中点，假设假设 ，其中，其中，R，那么，那么_.所以所以 .答案：答案：【规范解答】【规范解答】【探求与研讨】【探求与研讨】此题主要调查了向量的线性运算和平面向量的根本定理向量加法的运算及此题主要调查了向量的线性运算和平面向量的根本定理向量加法的运算及其几何意义、向量数乘的运算及其几何意义是此题运算的主要根据作为平其几何意义、向量数乘的运算及其几何意义是此题运算的主要根据作为平面向量重点内容的向量的线性运算和平面向量的根本定理是往年高考调查的面向量重点内容的向量的线性运算和平面向量的根本定理是往年高考调查的重点，值得关注重点，值得关注在处理向量问题时，经

18、常有一种有效方法，即首先选择好平面向量的一组基在处理向量问题时，经常有一种有效方法，即首先选择好平面向量的一组基底，然后把问题中涉及的一切向量都用这组基底来表示，也就是说经过减少底，然后把问题中涉及的一切向量都用这组基底来表示，也就是说经过减少向量的个数，把问题转化为仅关于基底中的两个向量的问题来处理向量的个数，把问题转化为仅关于基底中的两个向量的问题来处理 找准此题的突破口是处理此题的关键，诸多考生不知如何下手，难以发现三找准此题的突破口是处理此题的关键，诸多考生不知如何下手，难以发现三个向量个向量 间的联络，也就很难得到正确的答案还有处理此题间的联络，也就很难得到正确的答案还有处理此题要有一定的运算才干，考生运算不准确也是导致此题错误的一个缘由要有一定的运算才干，考生运算不准确也是导致此题错误的一个缘由【发散类比】【发散类比】此题解答过程的最后也可以不分别求出此题解答过程的最后也可以不分别求出，的值，可以将方程组两边分别的值，可以将方程组两边分别相加，直接可得相加，直接可得 .另外，此题用数形结合的方法去