教育资料（2021-2022年收藏的）易错题之二次函数利润专项技巧与易错点分析

1、利用二次函数解决利润的最值问题我对北师大课本一道例题的认识北师大2014年7月第1版数学九年级下册P48例题的解答中有这样一个过程：y=(160+10x)(120-6x)=-60(x-2)2+19440这里并没有把关系式先化为一般形式，而是直接写成二次函数的顶点式，有的同学会问，这里的“2”和“19440”是怎么来的，不是用，吗？不化为一般形式怎么找a、b、c呀！其实我们只需求出抛物线与x轴的交点横坐标，即y=0时x的两个值，再根据抛物线的对称性，或运用“中点坐标公式”，就得到了抛物线的顶点横坐标，再把它代入关系式即可求出对应y的值，也就是顶点纵坐标。如果把这道例题变为一道填空或选择题，我们巧

2、用抛物线的对称性，过程会既节又省，提高做题效率。比如：某旅馆有客房120间，每间房的日租金为160元时，每天都客满。经市场据调查发现，如果每间客房的日租金增加10元，那么客房每天出租数会减少6间。不考虑其它因素，旅馆将每间客房的日租金提高到_元时，客房日租金的总收入最高。设每间客房的日租金提高10x元，客房日租金的总收入为y元，则y=(160+10x)(120-6x) ，令y=0，得两根为-16和20，根据抛物线的对称性，得顶点横坐标为x=2。由x0且120-6x>0得0x<20，x=2在此范围内。当x=2时每间客房的日租金提高到160+10x=180（元）其实本题在解答时根本没有

3、必要求出关系式，当然你对二次函数的有关性质必须是了然于胸的。对于这类带有“最”字的问题，如花费最少、消耗最低、面积最大、产值最高、获利最多等，是我们学习二次函数后常遇到的数学问题，这就是我们要讨论的最值问题。在代数中，求最值的问题的方法归纳起来有以下几点：1建立函数模型求最值：2运用配方法求最值：分式的最小值为 4若，则可取得的最小值为( ) A3 B C D6 提示：设，则可用只含的代数式表示，通过配方求最小值 3构造一元二次方程，在方程有解的条件下，利用判别式求最值：设a、b为实数，那么的最小值是 1 4利用基本不等式求最值：正实数、满足，那么的最小值为( C ) A B C1 D E (

4、1)； (2)；（3）若，则；下面我们主要研究利用二次函数模型解决最值问题。它解题的一般步骤是：（1）设定实际问题中的自变量和因变量（即函数）；如在“当AA为何值时，BB最大” 的设问中，AA要设为自变量，BB要设为函数。（2）列出函数与自变量之间的函数关系式；这里的函数关系式要写成二次函数的顶点式（注意技巧）。（3）找出自变量的取值范围，保证自变量具有实际意义； （4）在自变量的取值范围内解答函数最值，并相应地写出答案。二次函数中的利润型应用题（一）熟悉基本公式和解题思路：此类问题常用的公式是：总利润=单件商品利润×销售数量设未知数时，总利润必然是函数y，自变量可能是涨价多少（或降

5、价多少），也可能是最终的售价。看下面的问题：例（2015营口，第16题3分）某服装店购进单价为15元童装若干件，销售一段时间后发现：当销售价为25元时平均每天能售出8件，而当销售价每降低2元，平均每天能多售出4件，当每件的定价为元时，该服装店平均每天的销售利润最大。【解法一】：设利润为y元，定价为x元。根据题意得：y=（x15）8+2（25-x）=（x15）(58-2x）=2x2+88x870 =2（x22）2+98由x-150且58-2x>0得15x<29，x=22在此范围内。a=20，抛物线开口向下，当x=22时，y最大值=98故答案为：22由于这个问题中存在诸多变量，许多同学

6、想不明白，我看这样想行不行：单件利润=售价-进价，进价是不变的，而售价现在变为x了，则单件利润就是（x-15）。而这时数量变化依然是因为降价而造成的，始终有降价2元多卖4件这一关系，所以如果知道了降多少元，就必然知道多卖多少件。那么降了多少元呢？最初的售价是25元，降价后的售价是x元，那么之间的差值就是所降的价格，即降价为(25-x)。我们知道降2元多卖4件，降1元多卖2件，现在降了（25-x）负全部元，那么就应该多卖2×（25-x）件，注意这只是多卖的，总共卖的应该是原来卖的8件加上多卖的，即8+2（25-x）。所以数量就是8+2（25-x）。单利润知道了是x-15，销售数量也知道

7、了是 8+2（25-x），则总利润y=（x15）8+2（25-x）。【解法二】：设利润为y元，定价为x元。根据题意得：y=（x15）8+2（25-x）=（x15）(58-2x）由于本题是一道填空题，所以只要明了二次函数的意义，就可以快速解题：x15=0得x=15；58-2x=0得x=29。其实在这里就已经能求出自变量x的取值范围了（15x<29）。下面根据抛物线的对称性，得顶点横坐标为x=22。由x-150且58-2x>0得15x<29，x=22在此范围内。故答案为：22【解法三】：设利润为y元，降价2x元，则定价为（25-2x）元。根据题意得：y=（2515-2x）（8+4

8、x）=（10-2x）（8+4x）10-2x=0 得x=5；8+4x=0得x=-2；下面根据抛物线的对称性，得顶点横坐标为x=1.5。由10-2x0且8+4x>0及2x>0得0<x5，x=1.5在此范围内。故答案为：25-2x=22解法三有的同学总是想不好，因为变化的量太多，是吧，这么想：这里设的是降低的价格，因为降价，所以单利润会有变动，又因为进价不变，那降多少元，利润就减少多少元，降价2x元，利润就减少2x元，所以单利润就减少2x元，即单利润变为：（25-15-2x）元。再想销售量：因为降价卖的就多，那么数量怎么变？原来一天8件，每降2元多卖4件，降2x元就应该多卖4x件，

9、所以数量就变为：（8+4x）件最后得便得到了总利润：y=（2515-2x）（8+4x）=（10-2x）（8+4x）综上三种解法，可以看出第二种解法较迅速并且不易出错。练习1：（2015滨州,第22题10分）一种进价为每件40克的T恤，若销售单价为60元，则每周可卖出300件，为提高利益，就对该T恤进行涨价销售，经过调查发现，每涨价1元，每周要少卖出10件，请确定该T恤涨价后每周销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式，并求出销售单价定为多少元时，每周的销售利润最大？参考答案：y=（x40）30010（x60）=10x2+1300x36000练习2：利达经销店为某工厂代销一种建筑材料（

10、这里的代销是指厂家先免费提供货源，待货物售出后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）。当每吨售价为260元时，月销售量为45吨。该经销店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销。经市场调查发现：当每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7.5吨。综合考虑各种因素，每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用100元。（1）当每吨售价是240元时，月销售量为_；（2）在遵循“薄利多销”的原则下，问每吨材料售价为多少时，该经销店的月利润为9000元？（3）该经销店要获得最大月利润，售价应定为每吨多少元？（4）小静说：“当月利润最大时，月销售额也最大”你认为对吗？请说明理由。参考答案：（1）60吨（2）

11、200元（3）售价定为每吨210元时月利润最大（4）售价定为每吨160元时月销售额最大（用二次函数或举反例均可）练习3：某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于65元）。设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元（1）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为2200元？根据以上结论，请你直接写出售价在什么范围时，每个月的利润不低于2200元？参考答案注意事项：（1）y=(50+x-40)(210-10x

12、)=-10(x-5.5)2+2402.550+x65且x>00<x15且x为整数【这里尤其要注意x必须是整数）当x=5或6时（不是5.5），y=2400（元）；50+x=55或56（元）当售价定为每件55或56元，月利润最大，最大的月利润是2400元。（2）当售价定为每件51或60元，每个月的利润为2200元。当售价不低于51元且不高于60元且为整数时，每个月的利润不低于2200元（或当售价分别为51，52，53，54，55，56，57，58，59，60元时，每个月的利润不低于2200元）。练习4：某旅社有100张床位，每床每晚收费10元时，客床可全部租出若每床每晚收费再提高2元，

13、则再减少10张床位租出以每次这种提高2元的方法变化下去，为了投资少而获利大，每床每晚应提高_元注意：“为了投资少而获利大”每次提高2元总结： 利用二次函数解决最大利润，最大销量等问题，关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围。（二）会处理自变量的取值范围在对称轴一侧的问题 例 某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元，市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱。求该批发商平均每天的销售利润y（元

14、）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？解答：y=(x-40)90-3(x-50)=-3x2+360x-9600=-3(x-60)2+120040x55，90-3(x-50)>040x55抛物线开口向下，在对称轴直线x=60的左侧，y随x的增大而增大当x=55时，y最大=1125答：关系式为y=-3x2+360x-9600，每箱苹果的销售价为55元时，可以获得最大利润，最大利润是1125元。练习：某农户生产经销一种农副产品，已知这种产品的成本价为20元/千克，物价部门规定这种产品的销售价不得高于28元/千克，市场调查发现，该产

15、品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：y=-2x+80设这种产品每天的销售利润为w（元）（1）当销售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？（2）该农户想要每天获得不低于150元的销售利润，销售价应定为多少？参考答案：28 192 2528（25、26、27、28）总结：根据函数解析式求出的最值是理论值，与实际问题中的最值不一定相同，需考虑自变量的取值范围。所以确定出二次函数的解析式后，要根据题意列不等式组求出自变量x的取值范围。如果取值范围在对称轴的一侧，要根据抛物线的增减性找出二次函数的最值。（三）二次函数与一次函数的综合例2（2015鄂州, 第23题10分

16、）鄂州市化工材料经销公司购进一种化工原料若干千克，价格为每千克30元。物价部门规定其销售单价不高于每千克60元，不低于每千克30元。经市场调查发现：日销售量y（千克）是销售单价x（元）的一次函数，且当x=60时，y=80；x=50时，y=100。在销售过程中，每天还要支付其他费用450元（1）y与x的关系式为_，自变量x的取值范围是_。（2）求该公司销售该原料日获利w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式。（3）当销售单价为多少元时，该公司日获利最大？最大获利是多少元？解答：（1）y=2x+200（30x60）（2）W=（x30）（2x+200）450=2x2+260x6450（3）W=2x

17、2+260x6450=2（x65）2+2000，30x60，x=60时，w有最大值为1950元，当销售单价为60元时，该公司日获利最大，最大获利是1950元。练习1：某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售单价x(元)与产品的日销售量y(件)之间的关系如下表： 若把销售单价x与日销售量y作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点，猜想y与x是_函数。（1）直接写出日销售量y(件)与销售价x(元)的函数关系式为_；（2）要使每日的销售利润最大，每件产品的销售单价应定为多少元？此时每日销售利润是多少元？（3）若销售单价不得超过20元，每日的销售利润最大是多少？（4）若销售利润不低于125元，

18、销售单价应如何确定？练习2：某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元；市场调查发现，若每箱以45元的价格销售，平均每天销售105箱；每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱假定每天销售量y（箱）与销售价x（元/箱）之间满足一次函数关系式（1）求平均每天销售量y（箱）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式；（2）求该批发商平均每天的销售利润w（元）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式；（3）当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？练习3：“健益”超市购进一批20元千克的绿色食品，如果以30元千克销售，那么每天可售出400千克由销售经验知，

19、每天销售量y（千克）与销售单价x（元）（x30）存在如下图所示的一次函数关系（1）试求出y与x的函数关系式；（2）设“健益”超市销售该绿色食品每天获得利润P元，当销售单价为何值时，每天可获得最大利润？（3）根据市场调查，该绿色食品每天可获利润不超过4480元，现该超市经理要求每天利润不得低于4180元，请你帮助该超市确定绿色食品销售单价的范围（直接写出）参考答案：（1）y=-20x+1000（2）x=35即当销售单价为元千克时，每天可获得最大利润.（3）或练习4：（2015湖北）为满足市场需求，某超市在五月初五“端午节”来领前夕，购进一种品牌粽子，每盒进价是40元超市规定每盒售价不得少于45元

20、根据以往销售经验发现；当售价定为每盒45元时，每天可以卖出700盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出20盒（1）试求出每天的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式；（2）当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润P（元）最大？最大利润是多少？（3）为稳定物价，有关管理部门限定：这种粽子的每盒售价不得高于58元如果超市想要每天获得不低于6000元的利润，那么超市每天至少销售粽子多少盒？参考答案：（1）由题意得，y=70020（x45）=20x+1600；（2）P=（x40）（20x+1600）=20x2+2400x64000=20（x60）2+8000，（3）由题意，得20（x60）2+8

21、000=6000，解得x1=50，x2=70 50x58在y=20x+1600中，y随x的增大而减小当x=58时，y最小值=20×58+1600=440，即超市每天至少销售粽子440盒总结：既有一次函数又有二次函数，要分清、认准变量字母，不能混淆。注意哪个函数需要用待定系数法，哪个需要根据题意进行计算得出。要处理好这些字母之间的“亲属”关系，沉得住气，认真仔细地将题目中所提供的信息加工梳理，有条不紊地进行“抽丝剥茧”，最终解决问题。（三）分段函数及其最值的讨论例2（2015黄石第23题8分）大学毕业生小王响应国家“自主创业”的号召，利用银行小额无息贷款开办了一家饰品店该店购进一种今年

22、新上市的饰品进行销售，饰品的进价为每件40元，售价为每件60元，每月可卖出300件市场调查反映：调整价格时，售价每上涨1元每月要少卖10件；售价每下降1元每月要多卖20件。为了获得更大的利润，现将饰品售价调整为60+x（元/件）（x0即售价上涨，x0即售价下降），每月饰品销量为y（件），月利润为w（元）。（1）直接写出y与x之间的函数关系式；（2）如何确定销售价格才能使月利润最大？求最大月利润；（3）为了使每月利润不少于6000元应如何控制销售价格？解答：（1）由题意可得：y=（且x为整数）（2）由题意可得：w=化简得：w=在0x30时，x=5可得W最大=6250；在-20x<0时，因为

23、x为整数所以x=2或3可得W最大，此时W最大一定<6125<6250。故当x=5即销售价格为65元时，利润最大，最大利润为6250元（3）由题意得w6000，如图，令w=6000，即6000=10（x5）2+6250； 6000=20（x+）2+6125，解得：x1=5，x2=0，x3=10，当5x10时，即将销售价格控制在55元到70元之间（含55元和70元）才能使每月利润不少于6000元。 练习：某专卖店经市场调查得知，一种商品的月销售量Q（单位：吨）与销售价格x（单位：万元/吨）的关系可用下图的一条折线表示（1）写出月销售量Q关于销售价格x的函数关系；（2）如果该商品的进价为

24、5万元/吨，除去进货成本外，专卖店销售该商品每月的固定成本为10万元，问该商品每吨定价多少万元时，销售该商品的月利润最大？并求月利润的最大值根据市场调查，某商品在最近40天内的价格P与时间t的关系用图（1）中的一条折线表示，销售量Q与时间t的关系用图（2）中的线段表示（t为正整数）（1）分别写出图1表示的价格P与时间t的函数关系式，图2表示的销售量Q与时间t的函数关系式（2）求这种商品的销售额S（销售额=销售量×价格）的最大值及此时的时间总结：此类问题涉及分段函数，如何分段，怎样表达每个分段函数是个难点；必须对不同的最值进行比较、整理、归纳才能得出最终的结论；注意考虑各段内的自变量取

25、值范围，结果是否满足各段自变量的取值范围。这是解此类综合应用题目的特点。对于“二次函数值不小于某某”这类题型，先令“其值等于某某”，然后再利用函数的草图得出x的取值范围。此类题型计算量大，做时要耐心细致。练习1：（2015江苏南通，第26题10分）某网店打出促销广告：最潮新款服装30件，每件售价300元若一次性购买不超过10件时，售价不变；若一次性购买超过10件时，每多买1件，所买的每件服装的售价均降低3元已知该服装成本是每件200元，设顾客一次性购买服装x件时，该网店从中获利y元（1）求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）顾客一次性购买多少件时，该网店从中获利最多？参考答案：

26、（1）y = =(且x为整数）（2）在0x10时，y=100x，当x=10时，y有最大值1000； 在10x30时，y=3x2+130x=-3(x-)2+，x为整数，根据抛物线的对称性得x=22时，y有最大值140814081000，顾客一次购买22件时，该网站从中获利最多。练习2：四川汶川大地震发生后，我市某工厂A车间接到生产一批帐篷的订单，要求必须在12天（含12天）内完成已知每顶帐篷的成本价为800元，该车间平时每天能生产帐篷20顶为了加快进度，车间采取工人分批日夜加班，机器满负荷运转的生产方式，生产效率得到了提高这样，第一天生产了22顶，以后每天生产的帐篷都比前一天多2顶由于机器损耗等

27、原因，当每天生产的帐篷达到30顶后，每增加1顶帐篷，当天生产的所有帐篷，平均每顶的成本就增加20元设生产这批帐篷的时间为x天，每天生产的帐篷为y顶（1）直接写出y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围（2）若这批帐篷的订购价格为每顶1200元，该车间决定把获得最高利润的那一天的全部利润捐献给灾区设该车间每天的利润为W元，试求出W与x之间的函数关系式，并求出该项车间捐献给灾区多少钱？参考答案：（1）y=2x+20(1x12且x为整数）（2）当1x5时，第x天营业额W=y×(1200-800)=(2x+20)×400=800x+8000,当x=5时，W最大,W最大=12

28、000（元）。当6x12时，每顶成本为800+(2x+20-30)×20=600+40x，每顶利润为1200-（600+40x）=600-40x，则W=y×(600-40x) =(2x+20)×(600-40x) =-80（x-2.5）2+12500当x=6时，W最大时，W最大=11520。综上所述，W最大为12000（元）。练习3：我市某服装厂生产的服装供不应求，A车间接到生产一批西服的紧急任务，要求必须在12天（含12天）内完成为了加快进度，车间采取工人分批日夜加班，机器满负荷运转的生产方式，生产效率得到了提高，每天生产的西服数量y（套）与时间x（天）的关系如

29、下表：平均每套西服的成本z（元）与时间x（天）的关系式为：请解答下列问题（1）求每天生产的西服数量y（套）与x（天）之间的关系式及成本z（元）与x（天）之间的关系式（2）已知这批西服的订购价格为每套1570元，设该车间每天的利润为W（元），试求出日利润W（元）与时间x（天）之间的函数关系式，并求出哪一天该车间获得最大利润，最大利润是多少元？（3）在实际销售中，从第6天起，该厂决定每销售一套西服就捐赠利润a（元）给希望工程。厂方通过销售记录发现，每天扣除捐赠后的日销售利润 （元）随时间 （天）的增大而增大，求a的取值范围。参考答案：（1）y=2x+201x5且x为整数时z=800x+80006x

30、12且x为整数时z=80x2+1200x+4000（2）当1x5时，W=2340x+23400,当x=5时，W最大,W最大=35100（元）。当x12时，W=-80x2+1940x+27400 当x=12时，W最大时，W最大=39160。综上，W最大为39160（元）(3)捐款后利润为W=-80x2+1940x+27400-a(2x+20) =-80x2+(1940-2a)x+27400-20a由题意知其顶点横坐标必须不小于12练习4：已知某商品的进价为每件40元，现在的售价是每件60元，每星期可卖出300件市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出

31、20件若商场规定试销期间获利不得低于40%又不得高于60%，则销售单价定为多少时，商场可获得最大利润？最大利润是多少？参考答案：56x64 涨价时：y=(x-40)(900-10x) (60x90) x=64时y最大6150；降价时y=(x-40)300+20(60-x) (40x60) x=57.5时y最大6125综上定价为64元时最大6150元二次函数中的面积型应用题例1（2015温州）某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙（墙足够长），中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留1m宽的门已知计划中的材料可建墙体（不包括门）总长为27m，则能建成的饲养室面积最大为m2 解答：（此类题一般都）设垂直于墙的材料长为x米，则平行于墙的材料长为27+33x=（303x）米，设面积为SS=x（303x）=3（x5）2+75，故饲养室的最大面积为75m2例2如图，花圃ABCD是一等腰梯形，底边AD靠墙，另三边用长为40米的铁栏杆围成，设该花圃的腰AB的长为x米。(1)用含x的代数式表示底边BC的长为_米；(2)若BAD=60°, 墙长为24米，该花圃的面积为S米2，试问S有最大值还是最小值？这个值是多少？答案：（1）40-2x （2）由题意可求得16x&l