数列解题方法总结（学生版）

1、 数列复习课 第一课 等差数列与等比数列的判断与证明：证明或判断等差（等比）数列的方法常有四种：定义法、等差或等比中项法、数学归纳法、反证法。1、定义法.证明数列是等差数列的充要条件的方法： .证明数列是等差数列的充分条件的方法：.证明数列是等比数列的充要条件的方法：.证明数列是等比数列的充要条件的方法：（n>2，为常数且0）注意事项：用定义法时常采用的两个式子和有差别，前者必须加上“”，否则时无意义，等比中一样有：时，有（常数）；时，有（常数）2、中项法(1).(充要条件)若(注：三个数为等差数列的充要条件是:)(充分条件)2()是等差数列，（2）.(充要条件)若 是等比数列 (充分条

2、件)（n1）是等比数列，注: 是a、b、c等比数列的充分不必要条件是a、b、c等比数列的必要不充分条件.是a、b、c等比数列的充要条件.任意两数a、c不一定有等比中项，除非有ac0，则等比中项一定有两个.3、通项公式与前项和法1. 通项公式法（1）.若数列通项能表示成（为常数）的形式，则数列是等差数列。(充要条件)(2).若通项能表示成(均为不为0的常数，)的形式，则数列是等比数列(充要条件)2. 前项和法(1).若数列的前项和Sn能表示成 (a，b为常数)的形式，则数列是等差数列；(充要条件)(2).若Sn能表示成(均为不等于0的常数且q1)的形式，则数列是公比不为1的等比数列 (充要条件)

3、例1已知数列an满足a12a，an2a（n2）其中a是不为0的常数，令bn。求证：数列bn是等差数列。例2已知公比为3的等比数列与数列满足，且，判断是何种数列，并给出证明。例3.已知数列是等比数列（），是其前n项的和，则，仍成等比数列。第二课：等差、等比数列的基本运算例1已知数列是等比数列，且，则 A1 B2 C4 D8 例2（2010浙江）设为等比数列的前n项和，A11B8 C5 D11例3数列满足并且，则数列的第100项为 A B C D例4黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案第1个第2个第3个则第个图案中有白色地面砖的块数是（）A. B.C.D. 第三课 通项公式的求法

4、一、公式法；等差、等比数列公式.例1 已知数列满足，求数列的通项公式。二、累加法例 已知数列满足，求数列的通项公式。例 已知数列满足，求数列的通项公式。三、累乘法例 已知数列满足，求数列的通项公式。四、取倒数法例 已知数列中，其中，且当n2时，求通项公式。5、 待定系数法例 已知数列满足，求数列的通项公式。评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，从而可知数列是等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求数列的通项公式。六、构造法 ；.例 已知数列中，求数列的通项公式.【解析】 【反思归纳】递推关系形如“” 适用于待定系数法或特征根法：令； 在中令，；由得，.例 已知数列中，求数列的通项公式.【

5、解析】，令 【反思归纳】递推关系形如“”通过适当变形可转化为：“”或“求解.第四课 数列求和的方法一、利用常用求和公式求和1、 等差数列求和公式： 2、等比数列求和公式：前个正整数的和 前个正整数的平方和 前个正整数的立方和 公式法求和注意事项 （1）弄准求和项数的值； （2）等比数列公比未知时，运用前项和公式要分类。例 已知，求的前n项和.例 设Sn1+2+3+n，nN*,求的最大值. 二、错位相减法求和这种方法主要用于求数列an·bn的前n项和，其中 an 、 bn 分别是等差数列和等比数列. 求和时一般在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比；然后再将得到的新和式和原

6、和式相减，转化为同倍数的等比数列求和。例：在数列中，（I）设，求数列的通项公式（II）求数列的前项和三、 倒序相加法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.例1 求数列的前n项和：，四、分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.例1 求数列的前n项和：，五、裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：常见的裂项公式有：； ； ； 例 求数列的前n项和. 则 例 在数列an中，又，求数列bn的前n项的和.六、合并法求和针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求Sn. 例 数列an：，求