导数及其应用同步练习及答案

1、第一章导数及其应用1.1变化率与导数1. 设函数y f x，当自变量x由x0改变到x x时，函数的改变量 y为【】A. f x0 x B. f x0C. f x0x D. f x0x f x02. 一质点运动的方程为2t2，则在一段时间1,2内的平均速度为【A. 4B. 8C.6D.3.曲线yx2 3x 在x2处的切线的斜率为【A. 7B. 6C. 5D. 44.在曲线x21的图象上取一点(1,2)及附近一点1x,2 y ,则为【】xA. x丄x5.将半径为R的球加热，A.4 R2 R 4 R R2 B. x12 C. xx若球的半径增加431D.2 xxR，则球体积的平均变化率为【24B.4

2、 R24 R R -32C.4 R R2D .4 R6.某质点的运动方程是st (2t1)2，则在t=1s时的瞬时速度为C. 7D. 13A . 1B. 37. 物体按照s(t)=3t2+t+4的规律作直线运动，则在4s附近的平均变化率为8. 已知物体的运动方程是s t2 3(t秒,s米)，则物体在时刻t = 4时的速度v =9. 求yx2在xx0附近的平均变化率.10. 求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1, 2)处的切线方程.11. 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热，如果第xh 时，原油的温度(单位： C )为f(x) x2 7x 15(0 x 8)，

3、计算第2h时和第5h时，原油 温度的瞬时变化率，并说明它们的意义.1.2导数的运算1.函数y = (2x+ 1) 3在x = 0处的导数是 【】A. 0B. 1C. 3D.62.函数y=x2cosx的导数为【 】A. y=2xcosx x2si nx! 2B. y=2xcosx+x sinxC. y=x2 cosx 2xsi nx2D. y=xcosx x snx3.已知函数f (x ) = a x 2 + c，且f (1)=2，则a的值为 【】A.1B. 2C. 1D. 04. 已知函数f (x)在x 1处的导数为A . (x - 1)3+3(x - 1) B . 2(x - 1)25. 若

4、函数f(x)的导数为2x2 1,则3,则f(x)的解析式可能为C. 2(x - 1)f(x)可以等于【A. . 2x3 1B.x 1C. 4xD. -x336. 函数 y sin(2x2x)导数是【】2A. cos(2x x)2B. 2xsi n(2x x)2C.(4x 1)cos(2xx)2D.4cos(2x x)7.设函数f x的导函数为f x，且f xx2 2x f 1 ，则等于【A.0 B. 4 C. 2D.218. 若 f(x) e，则代 f(1 2t)f(1)9. 设函数 f (x) 2x3. 函数 f(x) 3x 4x， ax2 x， f (1)= 9，则10. 函数y a2x的

5、导函数是11. 求下列函数的导数:(2) y = (2x2 -5x + 2)ex;(4) y In . x2 1 .(1) y = 2x1.3导数在研究函数中的应用1.函数f (x)x33x21是减函数的区间为【A. (2,)B.(,2)C.(,0)D. (0,2)2.A.F列结论中正确的是【 导数为零的点一定是极值点B.如果在X。附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0,那么f (x)是极大值C.如果在Xo附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，那么f(x0)是极小值D.如果在X。附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，那么f (x)是极大值x 0,1的最大值是【A.1C.0D.-1A. a 3B.

6、a 3C. a1D. a1335.函数f (x)2x2In x的递增区间是【】1A. (07)2B.(11-,0)及(-,)2211)D.(,)及(0,二)224.设aR，若函数yeax 3x , x R有大于零的极值点，贝U【】6. 对于R上可导的任意函数f (x),且f0若满足(x- 1) f (x) 0,贝U必有【】A.f (0)+ f (2) 2f (1)B.f (0)+ f (2) 2f (1)C.f (0)+ f (2) 2f (1)D.f (0)+ f (2) 2f (1)7. 已知f(x) = x3+ ax2 + (a+ 6)x+ 1有极大值和极小值，则a的取值范围为【】A.

7、1a2 B. 3a6 C.a2 D.a68. 已知函数y= x 2 2x+ 3在区间a, 2上的最大值为33 ,则a等于【】4A. 32B. 12C.121十 3D. 或一一2 29.函数 y= f(x)x3 ax2 bx a2 在 x1时，有极值10，那么a, b的值为10.函数 f (x)xInx x 0)的单调递增区间是11. 已知f(x) x33bx2c ,若函数f(x)的一个极值点落在x轴上，求b3 c2的值.12. 已知函数 f (x)x33x29x a,(1) 求f (x)的单调递减区间；(2) 若f(x)在区间2, 2上的最大值为20，求它在该区间上的最小值.13. 设函数 f

8、(x) xekx(k 0)(1) 求曲线y f (x)在点(0, f (0)处的切线方程；(2) 求函数f (x)的单调区间；(3) 若函数f(x)在区间(1,1)内单调递增，求k的取值范围.1.4生活中的优化问题举例1. 把总长为16 m的篱笆，要围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是 m2.2. 将正数a分成两部分，使其立方和为最小，这两部分应分成 和_.3. 在半径为R的圆内，作内接等腰三角形，当底边上高为 时，它的面积最大4有一边长分别为8与5的长方形，在各角剪去相同的小正方形，把四边折起作成一个无盖小盒，要使纸盒的容积最大，问剪去的小正方形的边长应为多少？5. 学校或班级举行活动，

9、通常需要张贴海报进行宣传现让你设计一张如图1.4-1所示的竖向 张贴的海报，要求版心面积为128dm2,上、下两边各空2dm，左、右两边各空1dm.如何设 计海报的尺寸，才能使四周空心面积最小？6. 当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值 S时，它的高与底面半径应怎样选取，才能使所用 材料最省？7. 某厂生产产品x件的总成本c（x） 1200 x3（万元），已知产品单价P（万元）与产品件数x75足：P2 k，生产100件这样的产品单价为50万元，产量定为多少件时总利润最大？x8. 已知矩形的两个顶点位于x轴上，另两个顶点位于抛物线 y = 4-x2在x轴上方的曲线 上，求这种矩形中面积最大者的边长.

10、9. 一书店预计一年内要销售某种书15万册，欲分几次订货，如果每次订货要付手续费30元，每千册书存放一年要耗库费40元，并假设该书均匀投放市场，问此书店分几次进货、每 次进多少册，可使所付的手续费与库存费之和最少？10. 请您设计一个帐篷它下部的形状是高为1m的正六棱柱， 上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥（如右图所示）.试问当 帐篷的顶点O到底面中心。1的距离为多少时，帐篷的体积最【注:V柱体S底 h, V锥体大？11. 某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方 米的楼房经测算，如果将楼房建为x（x 10层，则每平方米的平均建筑费用为560+48x

11、（单位: 元）.为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？（注：平均综合费用二平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用二 购地总费用）建筑总面积1.5定积分的概念A . 0，e2B. 0, 2C. 1, 2D. 0, 12.已知自由落体运动的速率vgt，则落体运动从t0到tto所走的路程为【】A.莖b . gt。2C.曲D.曲3263.曲线 y cosx(0 x知与坐标轴围成的面积是【】A.4B. 5-C.3D.2124. o (ex e x)dx=【】A. e -B.2eC.-D. e -1.求由y ex, x 2, y 1围成的曲边梯形的面积时，若选择x为积分变量，则积分区

12、【】eee5曲线y ex在点(2, e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为【A. 9e2B. 2e2C. e2D.-426. 如果1N力能拉长弹簧1cm，为将弹簧拉长6cm,所耗费的功是【】A . 0.18B . 0.26C . 0.12D . 0.287. 将边长为1米的正方形薄片垂直放于比彼一时为的液体中，使其上距液面距离为 2米，则该正方形薄片所受液压力为【】3A . x dx2B .2x 2 dx11C . x dx03D .x 1 dx28 .将和式/ 111lim (n 2)表示为疋积分12n9.曲线y2小x ,x 0, y1，所围成的图形的面积可用定积分表示为10. 设物体的速

13、度v与时间t的函数关系为v=v(t)，那么它在时间段a, b内的位移s用定 积分表示为 .11. 计算定积分J；x 1)dx.12. 一物体按规律x= bt3作直线运动，式中x为时间t内通过的距离，媒质的阻力正比于 速度的平方.试求物体由X= 0运动到x= a时，阻力所作的功.1.6微积分基本定理1.下列各式中，正确的是【b / / /A. f (x)dx f (b) f (a) ab /C. f /(x)dx f (b) f (a)a】b / / /B. f (x)dx f (a) f (b)ab /D. f (x)dx f (a) f (b)aA.2gB.gD.2ga3.若 1 (2xdx

14、x3 ln2,则 a的值是【】A.6B.4C.3D.24.1x2dx等于【0】A.丄B.1C. 1D.242311175. f(x)是次函数,且 o f(x)dx5, 0xf(x)dx17，那么f(x)的解析式是【】A.4x 3B.3x 4C. 4x 2D. 3x 42.已知自由落体的运动速度vgt(g为常数)，则当t1,2时，物体下落的距离是【6.计算定积分:(x sin x)dx =7. 计算下列定积分:(1)/4x x2)dx; (2)2 cos2 xdx.28. 计算 -dx .2 x19. 计算e2xdx.010. 求曲线yx3 x2 2x与x轴所围成的图形的面积.1.7定积分的简单

15、应用1.由y1,x轴及x 1, x 2围成的图形的面积为【x1A.2 B. C. 2 D2.由曲线 y f(x)(f(x)0),x【 】bA. f (x)dxaB.f (x)dxabC. f (x) a dxabD. f(x) b dxaa,b ,x a.,x b(a b)和x轴围成的曲边梯形的面积S =3. 如果10N的力能使弹簧压缩10cm,为在弹性限度内将弹簧从平衡位置拉到离平衡位置6cm处，则克服弹力所做的功为【】A . 0.28JB. 0.12JC. 0.26JD. 0.18Jb24. 给出以下命题：若f(x)dx 0,则f(x)0;sinxdx 4 :f(x)的原函数为a0aa T

16、F(x)，且F(x)是以T为周期的函数，则f(x)dx 丁 f (x)dx ;其中正确命题的个数为【】A. 1B. 2C. 3D. 05. 质点做直线运动，由始点起经过 t s后的距离为s =114- 4t3 + 16,贝U速度为零的时4刻是【】A.4s末B.8s末C.0s与 8s末D.Os，4s，8s 末6. 物体在力F(x) 4x 1(单位:N)的的作用下，沿着与力F相同的方向，从x=1m处运动到x=3m处，则力F(x)所作的功为【】A. 10J B. 12JC. 14JD. 16J17. 已知 f(x)为一次函数，且 f (x) x 2 o f(t)dt，贝U f(x) =8. 质点在直

17、线上从时刻t=0秒以速度v(t) t2 4t 3 (米/秒)运动，则该质点在时刻t=3秒时运动的路程为9. 一物体沿直线以速度v(t) 2t 3 (t的单位为：秒，v的单位为:米/秒)的速度作变速直 线运动，求该物体从时刻t=0秒至时刻t=5秒间运动的路程?10. 求曲线y丄和y x2在它们交点处的两条切线与x轴所围成的三角形面积.x11. 求抛物线y x2与直线y x, y 2x所围图形的面积.参考答案1.D2.D 3. A4.C9. y(x0x)所以yx2在x10. y |x第一章1.15.B 6.B7.x0附近的平均变化率为x)21 (12 1)x所以，所求切线的斜率为2,因此,导数及其

18、应用变化率与导数25 3 t 8.x)2x。2x2x0x.ILm0x2所求的切线方程为125162 2 2X。2X0 x x x、“2x0xxy 22(x 1)即 2x y0.11. 在第2h时和第5h时，原油温度的瞬时变化率就是f(2)和 f(5)根据导数定义,f f(2 x) f(x)xx所以 f (2) lim -x 0 xlim ( x 3)3x 02 2(2 x) 7(2 x) 15 (27 2 15) x 3原油温度大2ax Ina（或y=（占）y同理可得：f （6）3.3和3,说明在2h附近,在第2h时和第5h时，原油温度的瞬时变化率分别为约以3C/h的速率下降，在第5h附近，原

19、油温度大约以3 C/h的速率上升.1.2导数的运算21.D2.A 3.A 4.A 5.D6.C 7.B8. (或 2e 1)9.6 10. ye11.【解析】利用导数公式及运算法则进行运算.(1) y = x - , y =2- -1 = _2x 43 =刍x2-孚)=-x -=二.xxx=x2 -5x + 2) ex 3 + (2x2 -5x + 2) (ex)(4x -5) e + (2x2 - 5x + 2) e (2X2 -x -3) eX y y = b 4)(2)、X+x -)(4)可看成 y In u,u . v , v : x2 + 1复合而成.yx(2x)yu1Uv Vx :

20、u11) 2 2xxx.厂.厂厂.1.3导数在研究函数中的应用1.D2.B3.A 4.B5.C6.C7. D8.D9.b或10.11b 3f (x)3x23b，设f(x)的极值点为(m,0)，则 f(m)0,f (m)0所以3 m3b0 2c0m2,所以 bm 3bm2c0,2bm 2c0,所以(bm)2c ,e)11.b2( b) c2,所以 b3 c2 0.12. (1) f (x) 3x2 6x 9.令f (x)0 x 1 或 x 3,所以函数f (x)的单调递减区间为(，1)，(3,).8 12 18 a 22 a,(2)因为 f( 2)8 12 18 a 2 a, f所以f(2)f(

21、 2).因为在(1, 3)上f (x)0，所以f(x)在1, 2上单调递增,又由于f (x)在2,1上单调递减， 因此f (2)和f( 1)分别是f(x)在区间2, 2上的最大值和最小值，于是有 22 a 20 a 2.故f(x)x3 3x2 9x 2,因此f( 1) 1 3 9 27，即函数f(x)在区间2, 2上的最小值为7.13. ( 1)f x 1 kx ekx, f 01,f 00,曲线 y f (x)在点(0, f(0)处的切线方程为y x.(2)由 f xkxkx e0，得x0,则当x时,函数f x单调递减,1,时,k函数fx单调递增,0，则当x时,0，函数f X单调递增,函数f

22、x单调递减,(3)(2)知，若即0k1时，函数f x1 1,1,1内单调递增，则当且仅当若k 0，则当且仅当+1时，函数f x1,1内单调递增,综上可知，函数f x 1,1内单调递增时，k的取值范围是 1,0 U 0,1 .1.4生活中的优化问题举例aa31. 16 2.3.R2224. (1)正方形边长为 x,则 V= (8- 2x) (-2x)x=2(2x3 13x2+20x)(0x|)V =4x3- 13x+10)(0vx 2), V =得 x=1根据实际情况，小盒容积最大是存在的, 当x=1时，容积V取最大值为18.5. 设版心的高为xdm,则版心的宽为128dm,x5128,xx此时

23、四周空白面积为128S(x) (x 4)(2)xS(x) 2 罟.令 S(x)x128 2x0.求导数，得16(x16舍去)于是宽为空空8.x 16当 x (0,16)时，S(x)0.因此，x 16是函数S(x)的极小值，也是最小值点所以，当版心高为 时，能使四周空白面积最小.答：当版心高为16dm，宽为8dm时，海报四周空白面积最小.16dm，宽为 8dm26. S=2 Rh + 2 RV(R)=S 2 R22 R212r=2(s 2R)R-SR R322V(R)=0 S 6 R2 26 R 2 Rh 2 R h 2R.7.258. 设位于抛物线上的矩形的一个顶点为（x, y）,且x 0,

24、y 0, 则另一个在抛物线上的顶点为（一x, y）,在x轴上的两个顶点为（一x, 0）、（x, 0）,其中0v x V 2.设矩形的面积为S,贝U S = 2 x （4-x2）, 0v x V2.由 S （x）= 8 6 x2= 0,得 x = 0, x-15时，y取得极小值，且极小值唯一，-15时，y取得最小值，此时进货次数为150 初 i “，y-所以当x150由于该书均匀投放市场，则平均库存量为批量之半，即-10 （次）.15即该书店分10次进货，每次进15000册书，所付手续费与库存费之和最少.10. 设正六棱锥的高为x m,则正六棱锥底面边长为 32 x2 （单位：m）于是底面正六边形的面积为(单位：m2): S 6迥&9 x2)2 3也(9 x2).4 2帐篷的体积为(单位：m3)：V(x) 工(9