换元法在因式分解中的应用

1、换元法在因式分解中的应用换元法是中学数学中一种重要的解题方法，属于非常规思维，带有试探性、不规则性及创造性.用换元法解题，不蹈常规，见解独特， 是培养学生创造性思维能力的重要手段。因式分解是初中数学的重要内容之一，是多项式乘法的逆运算，在代数式的化简、求值、解方程等领域中都有着广泛、直接的应用。但当一个多项式的项数、字母较多，次数较高或还含有代数式乘积的 项时，结构复杂，容易造成思路混乱，这时可对多项式中某些相同的 部分设辅助元代换，达到减少项数、降低次数，便于分解因式。把复 杂、繁难的问题变得简单、容易的目的。举例简解如下。一、整体换元例1因式分解-2 1>:解：设原式=(x4 + x

2、3- 2)0? + 2x3 + 1- xa) = (x3 - l)(x3 + 2)(xa +1)3- x3 = (x +1)仗-l)(xa + 2)(x2 + x + l)(s3 -x + 1)例2若一是方程:/ I I-： I - I的两根。因式分解xa + (b+l)x+ca+bx2 + (b + l)x+c+c.解：因为是方程JlIlL的两根，所以''-设二 + 山-二，原式-匚-' T IU.-一二-八-A-oc=x3 +(b+l)x+ c-oc=x3 + (l-oc-p)x+(x-oc = x2 +x- ox-|Jx+(x|J- cl=(x2 -px+x)-(

3、ox-ap+(i)=x(x-p+l)-a(x-p+l)= (d-p+l)(j：-(xi同理II-所以原式-l：- ：r上-一-】；二、局部换元例3因式分解上：丄解：设: + ' <原式一_*工1_4=Aa + 3A- 54=(A-6)(A+9)=(/ +5x-6)(x2 +5X + 9)=(x - l)(x + 6)(xa + 5x + 9).例4因式分解一1二：+解：设八r.,原式=A(A+ 2x)+x2 =A3 + 2Ax+za = (A+ x)a = (xa + 6x+6)1三、局部分解后，重组再换元例5因式分解-：'_八*解：原式=(2x-7)(2 + 5)仅 +

4、 3)仅-3)-91 = (2k-7)(x + 3) (2x + 5)仪-3)- 91二 -二一-.:二出原式= A(A+S)-91=A2 + 6A-91=(A-7)(A+ 13) = (2x2-x-28)(2* -x-8) = (x-4)(2签+7)(2x2 - x - 8)例 6因式分解+二解：原式=4(x + 5)(x + 12)(x+6)(x110) - 3x2 = 4(x2 + 17x +60)(x2 + 16x + 60) _疥设J :匸匚一，原式=4A(A+ x) - 3ixa = 4Aa + 4Ax - 3xa = (2 A- x)(2A + 3葢)=(2s2 + 31s+ 1

5、20)(iK2 + 35x+120)=(2x+15)(x+8)(2xa + 35x+120)注：这里分解后重组的目的是为了寻找整体或局部换元的可能。四、多元换元例7因式分解-：解：设-一''原式.:，匸丄= (B-l)2+(Aa-2A-2AB+<1B)=B2 - 2B + 1 + A3 - 2A- 2AB+ 4B= (B + 1)2-2A(B+1) + A3=(B + l-A)2=(xy + 1- x - y)3例8 因式分解二二二叮解：设二"-' =-飞一原式=AB1 -AC2 =A(B2- Ca) = A(B+ C)(B- C)=(a- b)(2x

6、+ y+x-y) (2x + y - x + y) = 3x(a- b)(x + 2y)例9 因式分解(a + b - c)(b + c - a)(c + a-b)+ a(a + b- c)(a+ c-b) + b(a + b-c)(b + c - a)+ c(a+c-b)(Ii + c - a).解：设l 2-一匚-匚.注意到A + B + C = (a + b-c)+(b+ c-a) + (a + c-b) = a+b+ qA+ B 二 2®B + C= 2c,C +A=2a所以原式AB(A + B) + EC(B + 0 = _ AC(A + B + Q+ AB(A + E + C) + BC(B + 0=上A( B + Q= -(B + C)(A+ B)(A+C) = -2a 2V2c= 4abc.注：类似例 7、8、9 等，不能展开，否则