实验Z变换、零极点分析报告

1、实验二Z变换、离散系统零极点分布和频率分析实验目的/1. 学会运用MATLAB求离散时间信号的z变换和z反变换；2学会运用MATLAB分析离散时间系统的系统函数的零极点；3. 学会运用MATLAB分析系统函数的零极点分布与其时域特性的关系；4. 学会运用MATLAB进行离散时间系统的频率特性分析。r;?实验内容一、实验原理及实例分析(一) 离散时间信号的Z变换1. 利用MATLAB实现Z域的部分分式展开式MATLAB的信号处理工具箱提供了一个对 F(Z)进行部分分式展开的函数residuez(),其调用形式为：r,p,k=residuez (nu m,de n)式中，num和den分别为F(Z

2、)的分子多项式和分母多项式的系数向量，r为部分分式的系数向量，p为极点向量，k为多项式的系数向量。【实例1】 利用MATLAB计算F(z)3的部分分式展开式。18 3z 4z z解：利用MATLAB计算部分分式展开式程序为%部分分式展开式的实现程序nu m=18;den=18 3 -4 -1;r,p,k=residuez( nu m,de n)2. Z变换和Z反变换MATLAB的符号数学工具箱提供了计算Z变换的函数ztrans()和Z反变换的函数iztrans (),其调用形式为上面两式中，右端的f和F分别为时域表示式和z域表示式的符号表示，可 应用函数sym来实现，其调用格式为S sym A

3、式中，A为待分析的表示式的字符串，S为符号化的数字或变量。【实例2】求(1)指数序列anu n的Z变换;(2) F z az 2的Z反变换z a解 (1)Z变换的MATLAB程序% Z变换的程序实现f=sym('aA n);F=ztra ns(f)程序运行结果为：z/a/(z/a-1)可以用simplify()化简得到：-z/(-z+a)(2)Z反变换的MATLAB程序%Z反变换实现程序F=sym('a*z/(z-a)A2');f=iztra ns(F)程序运行结果为f =aAn*n(二) 系统函数的零极点分析1.系统函数的零极点分布z变换与激励的z变换之离散时间系统的

4、系统函数定义为系统零状态响应的 比，即H(z)Y(z)X(z)(3-1)如果系统函数H (z)的有理函数表示式为:H(z)bzm b2zm1a1zna2znbmzbm 1an zan 1(3-2)那么，在MATLAB中系统函数的零极点就可通过函数roots得到，也可借助函数tf2zp得到，tf2zp的语句格式为：Z,P,K=tf2zp(B,A)其中，B与A分别表示H的分子与分母多项式的系数向量。它的作用是将H 的有理分式表示式转换为零极点增益形式，即：H(z) k(z z1)(z z2)呂竝(3-3)(z P1)(Z P2) (z Pn)【实例3】已知一离散因果LTI系统的系统函数为H(z)z

5、 0.32z2z 0.16试用MATLAB命令求该系统的零极点。解：用tf2zp函数求系统的零极点，MATLAB源程序为B=1,0.32;A=1,1,0.16;R,P,K=tf2zp(B,A)R=-0.3200P=-0.8000-0.2000K=1因此，零点为z 0.32，极点为50.8与p20.2若要获得系统函数H(z)的零极点分布图，可直接应用 zplane函数，其语句格式为：zpla ne(B,A)其中，B与A分别表示H (z)的分子和分母多项式的系数向量。它的作用是在Z平面上画出单位圆、零点与极点【实例4】 已知一离散因果LTI系统的系统函数为H(z)z20.36z21.52z 0.6

6、8，试用MATLAB命令绘出该系统的零极点分布图。解：用zplane函数求系统的零极点，MATLAB源程序为B=1,0,-0.36;A=1,-1.52,0.68;zpla ne(B,A),grid on lege nd(零点','极点')title('零极点分布图')程序运行结果如图3-1所示。可见，该因果系统的极点全部在单位圆，故系统是 稳定的p 縻占fT.”L. X糕爲J.-1X1ife- 9 -r【J':X * ： >*1L1iJiX /：E 1IL, r*-S.r"4f1Ha1a &=0.506005Apal r&

7、#39;nrt图3-1 零极点分布图2、系统函数的零极点分布与其时域特性的关系与拉氏变换在连续系统中的作用类似，在离散系统中，z变换建立了时域函数h(n)与z域函数H(z)之间的对应关系。因此，z变换的函数H(z)从形式可以 反映h(n)的部分在性质。我们仍旧通过讨论 H的一阶极点情况，来说明系统 函数的零极点分布与系统时域特性的关系。【实例5】 试用MATLAB命令画出现下列系统函数的零极点分布图、以及对应的时域单位取样响应h(n)的波形，并分析系统函数的极点对时域波形的影响。(1)H3(z)z21.2z 0.72解：MATLAB源程序为b3=1,0;a3=1,-1.2,0.72;subpl

8、ot(1,2,1)zplan e(b3,a3)title('极点在单位圆的共轭复数')subplot(1,2,2)impz(b3,a3,30);grid on;figureap|Ii:1k11 l>II l!Iil>T丨1 1 f h r |i ili用ir - - - rl>pIhhFil|iLiip1ii1 ri1p11K11k11h1F*P1*b|!职点程单慢回内的共惋复數1 1.5D 51015202=n (simplaa)ATI5.JErL“皿亡一 SEE-程序运行结果分别如图3-2的(a)所示:i皿 05丄g；-1:/I 0 /'、:-0-

9、Ei0"-u*卄、一 4片Illi JI10.500.51RbaI Part(a)图3-2系统函数的零极点分布与其时域特性的关系当极点位于单位圆时，h(n)为衰减序列；当极点位于单位圆上时，h(n)为等幅序列；当极点位于单位圆外时，h(n)为增幅序列。若h(n)有一阶实数极点， 则h(n)为指数序列；若h(n)有一阶共轭极点，则h(n)为指数振荡序列；若h(n)的 极点位于虚轴左边，则h(n)序列按一正一负的规律交替变化。(三) 离散时间LTI系统的频率特性分析统的稳态响应为 yss( n) A|H(ej)|si nn ( )u( n)。其中，H (ej )通常是复数。离散时间系统的

10、频率响应定义为H(ej ) | H (ej )| ej ( (3-4)其中，|H(ej )|称为离散时间系统的幅频特性；()称为离散时间系统的相频特性；2H(ej )是以s( s，若零T 1， s 2)为周期的周期函数。因此，只要分析H(ej )在|围的情况，便可分析出系统的整个频率特性。MATLAB提供了求离散时间系统频响特性的函数freqz，调用freqz的格式主要有两种。一种形式为H,w=freqz(B,A,N)其中，B与A分别表示H(z)的分子和分母多项式的系数向量；N为正整数， 默认值为512；返回值w包含0,围的N个频率等分点；返回值H则是离散时 间系统频率响应H(ej )在0围N

11、个频率处的值。另一种形式为H,w=freqz(B,A,N, ' whole'与第一种方式不同之处在于角频率的围由0,扩展到0,2 。2【实例6】 用MATLAB命令绘制系统H (z)务0.96z 0.9028的频率响应曲 z 1.56z0.8109线。解：利用函数freqz计算出H(ej )，然后利用函数abs和angle分别求出幅 频特性与相频特性，最后利用plot命令绘出曲线。MATLAB源程序为b=1 -0.96 0.9028;a=1 -1.56 0.8109;H,w=freqz(b,a,400,'whole');Hm=abs(H);Hp=a ngle(H

12、);subplot(211)plot(w,Hm),grid on xlabel('omega(rad/s)'),ylabel('Mag nl tude') tltle('离散系统幅频特性曲线')subplot(212) plot(w,Hp),grId on xlabel('omega(rad/s)'),ylabel('Phase') title('离散系统相频特性曲线')程序运行结果如图3-3所示。更翹系统临切恃性曲找2證46B & 4 2 epnw眾S2315XpcT曲7图3-3离散系统频响特性曲线O实验内容S 丿11、计算X(z)p,|z| 0.9的Z反变换。(1 0.9z 1)2(1 0.9Z1)提示：b=1;a=poly(0.9 0.9 -0.9);r,p,k=residuez(b,a)0.250.50.25因此得到 X(z)77|z| 0.91 0.9z(1 0.9z )1 0.9z相应的x(n) 0-25(0