极坐标与参数方程题型及解题方法

1、参数方程 极r坐标Oal use only in study and research; not for commercial useI 复习提问1、 极坐标系和直角坐标系有什么区别？学校老师课堂如何讲解极坐标参数方程的？2、 如何把极坐标系转化为直角坐标系？答：将极坐标的极点 O 作为直角坐标系的原点，将极坐标的极轴作为直角坐标系x 轴的正半轴。如果点 P 在直角坐标系下的坐标为（x，y），在极坐标系下的坐标为 （Pf ）,则有 下列关系成立：cos二sin=二pp3、 参数方程fxcos表示什么曲线？y土sin4、 圆（x-a）2+（y-b）2=r2 的参数方程是什么？5、 极坐标系的定义

2、是什么？答：取一个定点 O,称为极点，作一水平射线Ox，称为极轴，在 Ox 上规定单位长度，这样就组成了一个极坐标系设OP=，又/ xOP=r .和二的值确定了，则 P 点的位置就 确定了。叫做 P 点的极半径，二叫做 P 点的极角，（，二）叫做 P 点的极坐标（规定 写在前，二写在后）。显然，每一对实数 （:-）决定平面上一个点的位置 6、参数方程的意义是什么?n 题型与方法归纳极坐标与普通方程的互相转化1、 题型与考点（1）极坐标与直角坐标的互相转化:参数方程与普通方程互化（2）参数方程与直角坐标方程互化/利用参数方程求值域（3） 参数方程的几何意义2、解题方法及步骤（1 ）、参数方程与普

3、通方程的互化化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式（三角的或代数的）消去法；化普通方程为参数方程的基本思路是引入参数，即选定合适的参数t，先确定一个关系x=f t（或y = g（t），再代入普通方程F x,y =0,求得另一关系y二g（t）（或x二f t）.一般地，常选择的参数有角、有向 线段的数量、斜率，某一点的横坐标（或纵坐标）L 二 2 七_2 丄例 1、方程（t 为参数）表示的曲线是（）y =2 +2A.双曲线 B. 双曲线的上支C. 双曲线的下支 D.圆解析：注意到2tt与24互为倒数，故将参数方程的两个等式两边分别平方，再相减，即可

4、2 2消去含t的项，X2- y2= 2 七-2飞-2二4,即有y2- X2= 4，又注意到2t0,2t2-1-2 2t21=2,即 y-2，可见与以上参数方程等价的普通方程为2 2y -x -4（y-2）.显然它表示焦点在y轴上，以原点为中心的双曲线的上支，选B练习 1、 与普通方程x2y -0等价的参数方程是（X = tgt BJ2C.y =1 -tg t y =tx2 y1=0等价，是指若把参数方程化为普通方程后不但形式一（2）、极坐标与直角坐标的互化利用两种坐标的互化， 可以把不熟悉的问题转化为熟悉的问题，这二者互化的前提条件是（1）极点与原点重合；（2）极轴与x轴正方向重合；（3）取相

5、同的单位长度.设点 P 的直 P2=x2+ y2或.v；若把直角tgv =_L x坐标化为极坐标，求极角时，应注意判断点 P 所在的象限（即角 二的终边的位置），以便正确地求出角二.一z2日例 2、极坐标方程4，sin 5表示的曲线是（）（t为能数）x =costD.2y =si n21x =si nt2ty =cos t致而且x, y的变化范围也对应相同，按照这一标准逐一验证即可破解对于 A 化为普通方程为对于对于对于B 化为普通方程为C 化为普通方程为D 化为普通方程为2x2x2x2xy-仁 0, y-仁 0,y-1=0,y-仁 0,而已知方程为x2y -1 = 0, x R，y（X 1-

6、1,11, y 0仁；x R, y（-： ,1；x 0, ：）, y（：,1;x丨-1,11, y ：= 01 1.练习 2、设 P 是椭圆为分析：注意到变量2x23y2=12上的一个动点，则x 2y的最大值是,最小值x,y的几何意义，故研究二元函数x 2y的最值时，可转化为几（对于t取不同的值，方程表示不x 2t，故点x,y是方程组何问题.若设x 2y =t，则方程x 2y =t表示一组直线， 同的直线），显然x,y既满足2x23y2-12，又满足2x2+3v2=12r的公共解，依题意得直线与椭圆总有公共点，从而转化为研究消无后的一x 2 y =t元二次方程的判别式_0问题.2 2解析：令x

7、 2y =t,对于x,y既满足2x 3y =12，又满足x，2y=t,故点x,y2x23V2=1222x 2y =t&=64t2-4 11 2t2-12 -0，解得：22 t. 22，所以x 2y的最大值为,22,最小值为-、22.角坐标为x, y，它的极坐标为尸门，则x cosy =：?sin v2A. 圆B.椭圆 C.双曲线的一支D.抛物线分析：这类问题需要将极坐标方程转化为普通方程进行判断- 1 一cos =解析：由4 sin42 -2 cos二,化为直角坐标系方程为222、.x y -2x =5，化简得宀5x晋显然该方程表示抛物线，故选D.练习1、已知直线的极坐标方程为sin一

8、=，则极点到该直线的距离是I 4丿2可得.；?sinv cos：化为直角坐标方程为x y_1 = 0,因此点到直线的距离为练习2、极坐标方程T2COST -?- 0转化成直角坐标方程为()A.x2y2= 0或y =1B .x=1C .x2y2= 0或X = 1D .y =1分析：极坐标化为直解坐标只须结合转化公式进行化解解析：COST-1)=0,-.x2y2=0,或COST- x = 1，因此选 C.练习 3、点M的直角坐标是(-1,、3)，则点M的极坐标为()A.(2, )B .(2,)C .(2, )D .(2,2k),(k - Z)3333” 2 兀解析：(2,2k),(k Z)都是极坐

9、标，因此选 C.3(3)、参数方程与直角坐标方程互化x = -2 +110 cos 日例题 3：已知曲线G的参数方程为丿 ，一(。为参数)，曲线C2的极坐标方=in B程为=2 cos v 6 sin v.(1 )将曲线 G 的参数方程化为普通方程，将曲线 C2 的极坐标方程化为直角坐标方程;()曲线G,C2是否相交，若相交请求出公共弦的长，若不相交，请说明理由.x = -2+訥0 cos日y = V10sin日(x 2)2y2=10解析：极点的直角坐标为o 0,0， 对于方程Psin102sin2cos2，2 2 2解:(1 )由42、.x y -2x =5，化简得宀5x晋显然该方程表示抛物

10、线，故选D.曲线G的普通方程为(x 2)2 y2=10：二 2cosv 6 sin 二2= 2cos6sin -解：直线 C2化成普通方程是 x+y-22-1=02 2 2=x y ,x =cosv,y =sinv x2y2=2x 6y，即(x一1)2(y一3)2=10曲线C2的直角坐标方程为2 2(x -1) (y-3) =10(2)v圆G的圆心为(-2,0)，圆C2的圆心为(1,3)GC2| =J(-2 1)2+(0 3)2=3 c 2而.两圆相交设相交弦长为d，因为两圆半径相等，所以公共弦平分线段C1C2d23122 2(孑() =(10)d = - 22公共弦长为 22练习 1、坐标系

11、与参数方程.已知曲线 C:XiE+Zcos%为参数，ow& 2 冗)，=1 + 2sin日(I)将曲线化为普通方程；(n)求出该曲线在以直角坐标系原点为极点，x轴非负半轴为极轴的极坐标系下的极坐标方程.解析：(I)x2y2- 2.3x -2y = 0(n) r =23cos sin二(4)利用参数方程求值域x = 1 + cos日例题 4、在曲线C1:丿(日为参数)上求一点，使它到直线C2 y = s in&解：直线 C2化成普通方程是 x+y-22-1=0_ 1x =-2& t!12y =1 tI.2(t为参数)的距离最小，并求出该点坐标和最小距离。C设所求的点为 P

12、 (1+cos,sin 寸) 则 C 到直线 C2的距离 d=|1 cosi 2-11=|si n(r+)+2|4当竺时，即十生时，d 取最小值 1424此时，点 P 的坐标是(1-二,-_?)2 2练习 1、在平面直角坐标系 xOy 中，动圆 x2+ y2- 8xcosv- 6ysin v + 7cos2v + 8 = 0 ( R) 的圆心为 P(x,y)，求 2x- y 的取值范x 4 c os解：由题设得 2 (B 为参数，日 E R)于是.j =3 s i 2x-y=8cos-3si=n.7:3 c os ()所以 _ 73W 2x_yw. 73 .练习 2、已知曲线C的极坐标方程是

13、亍=2sinv，设直线 L 的参数方程是(t为参数).(I)将曲线C的极坐标方程转化为直角坐标方程；(H)设直线 L 与x轴的交点是M,N曲线C上一动点，求MN的最大值解：(1)曲线C的极坐标方程可化为:P2=2Psin8又x2+ y2= P2,x = PcosT,y =Psin日.所以，曲线C的直角坐标方程为：x2y2-2y=0 .(2)将直线L的参数方程化为直角坐标方程得：y = -4(x - 2)3令y=0得x=2即M点的坐标为(2,0)又曲线C为圆，圆C的圆心坐标为(0,1)，半径r= 1,AEBD则MC| = 75 MN MC +5+1例 6、已知厶ABC的三个顶点的极坐标分别为(A

14、F，訂断三角形 ABC 的三角形的形状，并计算其面积分析：判断 ABC 的形状，就需要计算三角形的边长或角, 不妨先计算边长在本题中计算边长较为容易,5-5 -解析：如图，对于 .AOB , BOC 二一 , AOC 二一(5) 直线参数方程中的参数的几何意义TT例 5、已知直线丨经过点P(1,1),倾斜角：6写出直线丨的参数方程；2 2设l与圆x y =4相交与两点A,B，求点P到A, B两点的距离之积.JiX = 1 t cos ;6，即.JIy = 1 tsi nI6则点P到A, B两点的距离之积为2.4x =1 t练习 1、求直线5(t 为参数、被曲线-x2 cos()所截的弦长.34

15、y =一1一一tI53x 4y 1 = 0,x yx y = 0,(6) 、参数方程与极坐标的简单应用参数方程和极坐标的简单应用主要是：求几何图形的面积、曲线的轨迹方程或研究某 些函数的最值问题解 (1)直线的参数方程为(2、把直线代入x2y2-4，得(1 t)2(1 - -t)22 2-4,t2( .3 1)t2=0,址2=2,解：将方程x-4t,-Jcose書)分别化为普通方程:圆心C(2, -1、半径为彳圆心到直线的距离d吒，弦长=2._d2二_ 7512 100解析：Dxy =1,x取非零实数，而 A, B, C 中的x的范围有各自的限制x 二 一 2 5t2.曲线（t 为参数）与坐标

16、轴的交点是（ ）=524、3 2 5 4、.3 cos ,同理，BC= 133=、133,冷AC =BC，.厶 ABC 为等腰三角形，又 AB=0A =0B =5 ，所以 AB边上的高h=J(AC(2(AB( 1二13,SABC65 .3练习 1、如图，点 A 在直线 x=5 上移动，等腰 OPA 的顶角/ OPA 为 120（O, P, A 按顺时 针方向排列），求点 P 的轨迹方程解析：取 O 为极点，x正半轴为极轴， 建立极坐标系， 则 直线X = 5的极坐标方程为COS = 5， 设 A （ G） ，P 厂， 因点 A 在直线rcosv-5上，r0cosm=5 ：1OPA为 等 腰 三

17、 角 形， 且 .OPA =120，而 OP ； OA 二，以及POA=3O.订再：，且% -30： 2，把2弋入1，得点P 的轨迹的极坐标方程为：.3-co -30=5.川趁热打铁1.把方程xy=1化为以t参数的参数方程是（）1X =t2x =si ntx =costB.1C. y =1costx =tantly=1-2t21115A .（0,一）、（一，0）B.（0,一）、（一，0）C.（0, -4）、（8,0）D.（0,）、（8,0）52529211解析：B 当x = 0时，t，而y =1 - 2t，即y，得与y轴的交点为（0, -）；555111当y = 0时，t，而x = -2，即x

18、，得与x轴的交点为（一,0）222X =1 + 2t3直线（t 为参数）被圆x2y2=9截得的弦长为（）ly =2+tA.咚B.12C.9行 D.9帀5555x 二 3sin r 4cos6圆的参数方程为彳但为参数)，则此圆的半径为_j =4si n 日3cos 日x =3sin J 4cos22解析： 由得x2y 25故半径为 5y =4sin v - 3cosx =1(g e)cosT7分别在下列两种情况下，把参数方程2化为普通方程：|1t口解析：Bx =1 2ty =2 t =x =1 + 75t汉丄”茨，把直线fx+J代入y=1 ,5t丄y=21V5y2二9得(1 2t)2(2 t)2

19、二9,5t28t - 4 = 0tl- 上2= J(tl+七2)-4tit2 =(一孑+舟卡，弦长为苗tt2亦55554若点P(3,m)在以点F为焦点的抛物线xt2(t 为参数)上,y =4t则PF等于(B.3C.4解析：C 抛物线为y2=4x,准线为x=-1,即为45.已知曲线广2x = 2pty =2pt且 t1t2二0，那么解析：4plPF为P(3, m)到准线x = 1的距离,(t 为参数,p 为正常数)上的两点M , N对应的参数分别为山和 t2,MN=显然线段MN垂直于抛物线的对称轴。 即x轴，MN=2p ti-12= 2p 2tiy (e -e )sin -2(1) 为参数，t为

20、常数；(2)t为参数，为常数；解：(1)当t =0时，y =0,x = cos日，即x 兰 1,且y =0；2当t=0时，COS,sinr1 /t丄t、尹e)2ysin2二求PM PN的值及相应的ct的值L-+tCOS。解：设直线为X-2tCOS（t 为参数），代入曲线并整理得y =ts in：(1 sin2：)t2( iBcos： )t3= 0 2321 sin2:2兀所以当sin -_1时，即：29.参数方程X 乂如 （Si” 8.为参数）表示什么曲线?=si n 日 （si n 日 +cos日）2 2而sin二-COS-1，即-2丄1t_t、2-+一7)2寸)(2)当 v- k;k Z时

21、，y = 0,当 v -k , k ：= Z时，x21x(et- eJ)，即x丄1,且 y = 0；2=0,-e)，即x =0；当，k Z时,2e22xcos：2y2x得2e 2e丄= (2x_L-esi n02x 2yA. J77)cos sin r cos Sin2eCOS：2xCOSTsin v_y1/1尹-e),0）作倾斜角为:的直线与曲线x212y1交于点M,N,则PM PN=t1t23PM PN的最小值为一，此时2解：显然=ta n二，贝 y 占1xx&过点212T12,COS2cos r工.x2IV 温故强化B.（弓2）C.（2,、一3）D.（1,、3）3解析：B 转化为

22、普通方程：y2=1x，当x时，y4x=2+sin 日2将参数方程2.y=sin 日（二为参数）化为普通方程为（A.y=x-2B.y=x2C. y=x2（2 乞 x 3）解析:C 转化为普通方程:y = x-2，但是x 2,3,y0,13.若，则 |AB|=。（其中 O 是极点）解析:在极坐标系中画出点A、 B，易得4.直线x =221y = T t2（t 为参数）被圆x2y2=4截得的弦长为2x =cos sin vcos v1212 ta nvsin 2 v cos二221 tan22 f-cos2 丫x1=X2x=_y21，即x2y21.下列在曲线x =sin2（日为参数）上的点是（y =

23、cosv sin6.的轨迹方程为_解析：设由重心坐标公式，得：消参，得点 G 的轨迹方程为7.若方程解析：将方程两边同乘以，化为:8.求椭圆解析：14直线为x y -0，圆心到直线的距离，弦长的一半为得弦长为.145.直线（t 为参数）上任一点 P 到的距离为_解析：所求距离为2|t| （把直线的参数方程化为标准形式）解析：（先设出点 P 的坐标，建立有关距离的函数关系）2 29在椭圆16冷上找一点，使这一点到直线x_212=0的距离的最小值。x=4co4cosT-4j3si n日-12解析：设椭圆的参数方程为 彳_,d=-严-y=2V3si nTV5= 4|cos日-廳sin日 一3+ 彳)一3丨x = 1+t，厶、丄严10.求直线11:- (t为参数)和直线12： x - y - 2、3=0的交点P的坐标，及点Py = -53t与Q(1,-5)的距离。X=1+tlL解析：将-代入x-y -2、3=0得t=23,y =_5.3t得P(1 + 2T3,1)，而Q(1,5)，得PQn当COS(d