近世代数课件-第二章群论§2元素的阶课件

1、第二章第二章 群论群论 2元素的阶元素的阶 1/19/2022naaa21n0,ae ,nnaaaa 111nnaa aa nmnmaaamnnmaa)(nm,G在群在群中，由于结合律成立，中，由于结合律成立，有意义，据此有意义，据此, , 可定义群的元素的指数可定义群的元素的指数: : 设设为正整数为正整数, , 则规定则规定: :显然有，显然有，其中，其中为任意整数为任意整数. . 1/19/2022nae na aG设设为群为群的一个元素，使的一个元素，使n的的最小正整数最小正整数a叫做元素叫做元素的的阶阶，记作，记作n；若不存在这样的；若不存在这样的a，则称，则称的阶的阶显然，群中单位

2、元的阶为显然，群中单位元的阶为1 1，其他元的阶，其他元的阶为无限为无限. .都大于都大于1 1， 1.aa 1/19/2022, 1, 1iiG11, 关于数的普通乘法做成关于数的普通乘法做成4 4次单位根群次单位根群. .12, 4ii 1/19/2022正有理数乘群正有理数乘群Q单位元的阶是单位元的阶是1 1， 其他元的阶均为无限其他元的阶均为无限. .例例3 3 非零有理数乘群非零有理数乘群Q1 1的阶是的阶是1 1， -1-1的阶是的阶是2 2，其余元的阶均为无限其余元的阶均为无限. . 1/19/2022GGaGaaaann12, 11 ,nstaatseats有限群有限群中每个元

3、素的阶均有限中每个元素的阶均有限. .，在，在中必有相等的中必有相等的. . 设设则则，从而阶有限，从而阶有限. .证明：设证明：设 Gn 1/19/20221iiUUU无限群中元素的阶可能无限，也可能有限，无限群中元素的阶可能无限，也可能有限，iUi，其中，其中是是次单位根群次单位根群关于普通乘法作成无限交换群，关于普通乘法作成无限交换群，甚至可能都有限甚至可能都有限. .例例4 4，则，则其中每个元素的阶都有限其中每个元素的阶都有限. . 1/19/2022nr 0()mnq rnqrraaaaae Gna |若群若群中中，则，则证明：证明： 令令 rnqm，则，则mneam|. .0r

4、mnq |n mGna |证明证明中中，只需证，只需证(1),nae |maen m . .（2 2）若）若 1/19/2022na |),(knnak( , )n kd ()kmae |kmaen km 若群中若群中，则，则k，其中，其中为任意的整数为任意的整数. .设设，则，则证明：证明： 1111,(,)1ndn kdkn k 11()nnkkaa 11()nkknaae 11|nk m1|nm1.( , )knann k 1/19/2022sta |tas |na |. 1),(|nknak推论推论1 1 在群中，若在群中，若, ,则则，其中，其中s，t 均为正整数均为正整数. . 推

5、论推论2 2 在群中，若在群中，若，则，则 1/19/2022()mnnnmmabbea ()()smmssmsmababbe |mn s.|mnab ma |nb |在群中，若在群中，若，则当，则当baab 1),(nm.|mnab 且且时，时，证明：证明： ma |nb |baab ，于是，于是()sabe |n smn s若若 sm |同理同理，1),(nm 1/19/20222()GL Q是有理数域是有理数域Q上的全体二阶满秩上的全体二阶满秩方阵关于矩阵乘法做成的群方阵关于矩阵乘法做成的群. .1010(1),0101ab 10,01abba | | | 2abab (|,|)1ab 1/19/20222()GL Q是有理数域是有理数域Q上的全体二阶满秩上的全体二阶满秩方阵关于矩阵乘法做成的群方阵关于矩阵乘法做成的群. .1001(2),0111ab 01,11ab | 4,| 3,|abab 10,11ba 1/19/2022设设G是群，且是群，