第五节极限运算法则1ppt课件

1、 第一章 二、二、 极限的四则运算法则极限的四则运算法则 三、三、 复合函数的极限运算法则复合函数的极限运算法则 一一 、无穷小运算法则、无穷小运算法则 第五节机动 目录 上页 下页 返回 完毕 极限运算法则时, 有,min21一、一、 无穷小运算法则无穷小运算法则定理定理1. 有限个无穷小的和还是无穷小有限个无穷小的和还是无穷小 .证证: 考虑两个无穷小的和考虑两个无穷小的和 . 设,0lim0 xx,0lim0 xx,0,01当100 xx时 , 有2, 02当200 xx时 , 有2取则当00 xx22因而.0)(lim0 xx这说明当0 xx 时,为无穷小量 .机动 目录 上页 下页

2、返回 完毕 说明说明: 无限个无穷小之和不一定是无穷小无限个无穷小之和不一定是无穷小 !例如，例如，nnnnnn2221211lim1( P56 , 题 4 (2) )机动 目录 上页 下页 返回 完毕 类似可证: 有限个无穷小之和仍为无穷小 . 定理定理2 . 有界函数与无穷小的乘积是无穷小有界函数与无穷小的乘积是无穷小 . 证证: 设设, ),(10 xxMu 又设,0lim0 xx即,0,02当),(20 xx时, 有M取,min21则当),(0 xx时 , 就有uuMM故,0lim0uxx即u是0 xx 时的无穷小 .推论推论 1 . 常数与无穷小的乘积是无穷小常数与无穷小的乘积是无穷

3、小 .推论推论 2 . 有限个无穷小的乘积是无穷小有限个无穷小的乘积是无穷小 .机动 目录 上页 下页 返回 完毕 oyx例例1. 求求.sinlimxxx解解: 1sinx01limxx利用定理 2 可知.0sinlimxxxxxysin说明说明 : y = 0 是是xxysin的渐近线 .机动 目录 上页 下页 返回 完毕 二、二、 极限的四则运算法则极限的四则运算法则,)(lim,)(limBxgAxf则有)()(limxgxf)(lim)(limxgxf证证: 因因,)(lim,)(limBxgAxf则有BxgAxf)(,)(其中,为无穷小) 于是)()()()(BAxgxf)()(B

4、A由定理 1 可知也是无穷小, 再利用极限与无穷小BA的关系定理 , 知定理结论成立 .定理定理 3 . 假假设设机动 目录 上页 下页 返回 完毕 推论推论: 假设假设,)(lim,)(limBxgAxf且),()(xgxf那么.BA( P45 定理定理 5 )()()(xgxfx利用保号性定理证明 .说明说明: 定理定理 3 可推广到有限个函数相加、减的情形可推广到有限个函数相加、减的情形 .提示提示: 令令机动 目录 上页 下页 返回 完毕 定理定理 4 . 假假设设,)(lim,)(limBxgAxf则有)()(limxgxf)(lim)(limxgxf提示提示: 利用极限与无穷小关系

5、定理及本节定理利用极限与无穷小关系定理及本节定理2 证明证明 .说明说明: 定理定理 4 可推广到有限个函数相乘的情形可推广到有限个函数相乘的情形 .推论推论 1 .)(lim)(limxfCxfC( C 为常数 )推论推论 2 .nnxfxf )(lim)(lim( n 为正整数 )例例2. 设设 n 次多项式次多项式,)(10nnnxaxaaxP试证).()(lim00 xPxPnnxx证证:)(lim0 xPnxx0axaxx0lim1nxxnxa0lim)(0 xPnBA机动 目录 上页 下页 返回 完毕 为无穷小(详见详见P44)B2B1)(1xg)(0 xx定理定理 5 . 假设假

6、设,)(lim,)(limBxgAxf且 B0 , 则有)()(limxgxf)(lim)(limxgxf证证: 因因,)(lim,)(limBxgAxf有,)(,)(BxgAxf其中,设BAxgxf)()(BABA)(1BB)(AB无穷小有界BA因而由极限与无穷小关系定理 , 得BAxgxf)()(lim)(lim)(limxgxfBAxgxf)()(为无穷小,机动 目录 上页 下页 返回 完毕 定理定理6 . 假设假设,lim,limByAxnnnn则有)(lim) 1 (nnnyx nnnyxlim)2(,00)3(时且当BynBAyxnnnlimBABA提示提示: 因为数列是一种特殊的

7、函数因为数列是一种特殊的函数 , 故此定理 可由定理3 , 4 , 5 直接得出结论 .机动 目录 上页 下页 返回 完毕 x = 3 时分母为 0 !31lim3xxx例例3. 设有分式函数设有分式函数,)()()(xQxPxR其中)(, )(xQxP都是多项式 ,0)(0 xQ试证: . )()(lim00 xRxRxx证证: )(lim0 xRxx)(lim)(lim00 xQxPxxxx)()(00 xQxP)(0 xR说明说明: 假设假设,0)(0 xQ不能直接用商的运算法则 .例例4.934lim223xxxx)3)(3() 1)(3(lim3xxxxx6231 假设机动 目录 上

8、页 下页 返回 完毕 例例5 . 求求.4532lim21xxxx解解: x = 1 时时3245lim21xxxx0312415124532lim21xxxx分母 = 0 , 分子0 ,但因机动 目录 上页 下页 返回 完毕 例例6 . 求求.125934lim22xxxxx解解: x时,分子.22111125934limxxxxx分子分母同除以,2x那么54分母“ 抓大头抓大头”原式机动 目录 上页 下页 返回 完毕 一般有如下结果：一般有如下结果：为非负常数 )nmba,0(00mn 当( 如如P47 例例5 )( 如如P47 例例6 )( 如如P47 例例7 )mmmxaxaxa110

9、limnnnbxbxb110,00ba,0,机动 目录 上页 下页 返回 完毕 mn 当mn 当三、三、 复合函数的极限运算法则复合函数的极限运算法则定理定理7. 设设,)(lim0axxx且 x 满足100 xx时,)(ax 又,)(limAufau则有 )(lim0 xfxxAufau)(lim证证: Aufau)(lim,0,0当au0时, 有 Auf)(axxx)(lim0,0,02当200 xx时, 有ax)(对上述取,min21则当00 xx时ax )(au 故0Axf)(Auf)(,因而式成立.机动 目录 上页 下页 返回 完毕 定理定理7. 设设,)(lim0axxx且 x 满

10、足100 xx时,)(ax 又,)(limAufau则有 )(lim0 xfxxAufau)(lim 说明说明: 若定理中若定理中,)(lim0 xxx则类似可得 )(lim0 xfxxAufu)(lim机动 目录 上页 下页 返回 完毕 例例7. 求求解解: 令令.93lim23xxx932xxu知ux3lim61( 见见 P46 例例3 ) 原式 =uu61lim6166( 见见 P33 例例5 )机动 目录 上页 下页 返回 完毕 例例8 . 求求解解: 方法方法 1.11lim1xxx,xu 那么, 1lim1ux令11112uuxx1u 原式原式) 1(lim1uu2方法方法 211

11、lim1xxx1) 1)(1(lim1xxxx) 1(lim1xx2机动 目录 上页 下页 返回 完毕 内容小结内容小结1. 极限运算法则(1) 无穷小运算法则(2) 极限四则运算法则(3) 复合函数极限运算法则注意使用条件2. 求函数极限的方法(1) 分式函数极限求法0) 1xx 时, 用代入法( 分母不为 0 )0)2xx 时, 对00型 , 约去公因子x)3时 , 分子分母同除最高次幂 “ 抓大头”(2) 复合函数极限求法设中间变量机动 目录 上页 下页 返回 完毕 思考及练习思考及练习1.,)(lim,)(lim不存在存在若xgxf)()(limxgxf是否存在 ? 为什么 ?答答:

12、不存在不存在 . 否则由)()()()(xfxgxfxg利用极限四则运算法则可知)(limxg存在 , 与已知条件矛盾.?321lim2222nnnnnn解解: 原式22) 1(limnnnn)11(21limnn212.问机动 目录 上页 下页 返回 完毕 3. 求求. )1(lim2xxxx解法解法 1 原式 =xxxx1lim21111lim2xx21解法解法 2 令,1xt tttt1111lim2021那么原式 =22011limttt111lim20tt 0t机动 目录 上页 下页 返回 完毕 4. 试确定常数试确定常数 a 使使.0)1(lim33xaxx解解 : 令,1xt 那么tatt33011lim001atatt3301lim01lim330att故1a机动 目录 上页 下页 返回 完毕 因而作业作业P48 1 （5），（），（7），（），（9），（），（12），（），（1