第十二章一阶线性微分方程ppt课件

1、一阶线性微分方程的标准形式一阶线性微分方程的标准形式:)()(xQyxPdxdy , 0)( xQ当当上方程称为齐次的上方程称为齐次的., 0)( xQ当当上方程称为非齐次的上方程称为非齐次的.例如例如,2xydxdy ,sin2ttxdtdx 线性的线性的;, 32 xyyy, 1cos yy非线性的非线性的.一阶线性微分方程一阶线性微分方程一、线性方程一、线性方程一阶线性微分方程的解法一阶线性微分方程的解法1. 线性齐次方程线性齐次方程. 0)( yxPdxdy(使用分离变量法使用分离变量法),)(dxxPydy ,)( dxxPydy,ln)(lnCdxxPy 齐次方程的通解为齐次方程的

2、通解为.)( dxxPCey2. 线性非齐次方程线性非齐次方程).()(xQyxPdxdy 讨论讨论,)()(dxxPyxQydy 两边积分两边积分,)()(ln dxxPdxyxQy),()(xvdxyxQ为为设设 ,)()(ln dxxPxvy.)()( dxxPxveey即即非齐次方程通解形式非齐次方程通解形式与齐次方程通解相比与齐次方程通解相比)(xuC 常数变易法常数变易法把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法. .实质实质: : 未知函数的变量代换未知函数的变量代换. .),()(xyxu原原未未知知函函数数新新未未知知函函数数作变换作

3、变换 dxxPexuy)()(,)()()()()( dxxPdxxPexPxuexuy代代入入原原方方程程得得和和将将yy ),()()(xQexudxxP 积分得积分得,)()()(CdxexQxudxxP 一阶线性非齐次微分方程的通解为一阶线性非齐次微分方程的通解为: dxxPdxxPeCdxexQy)()()(dxexQeCedxxPdxxPdxxP )()()()(对应齐次对应齐次方程通解方程通解非齐次方程特解非齐次方程特解非齐次线性方程的通解非齐次线性方程的通解相应齐方程的通解相应齐方程的通解等于等于与非齐次方程的一个特解之和与非齐次方程的一个特解之和即即非齐通解非齐通解 = 齐通

4、解齐通解 + 非齐特解非齐特解线性微分方程解的结构，是很优良的性质。线性微分方程解的结构，是很优良的性质。例例1 1.sin1的通解的通解求方程求方程xxyxy 解解,1)(xxP ,sin)(xxxQ Cdxexxeydxxdxx11sin Cxdxxsin1 .cos1Cxx Cdxexxexxlnlnsin解方程解方程25)1(12 xxydxdy解解相应齐方程相应齐方程12 xydxdy解得解得2) 1( xcy令令2) 1)( xxcy例例2代入非齐方程代入非齐方程)1)(2)1)(2 xxcxxc252)1(11)1)(2 xxxxc21)1()( xxc解得解得cxxc 23)1

5、(32)(故非齐次方程的通解为故非齐次方程的通解为)1(32)1(232cxxy 例例3解方程解方程12)1(2 yxyx解解这是一个二阶线性方程这是一个二阶线性方程由于其中不含变量由于其中不含变量 y 若令若令yz zy 12)1(2 xzzx化成一阶线性方程化成一阶线性方程其通解为其通解为211xcxz 即即211xcxy 再积分再积分212arctan)1ln(21cxcxy 即为原二阶方程的通解即为原二阶方程的通解例例4 4 如下图，平行与如下图，平行与 轴的动直线被曲轴的动直线被曲 线线 与与 截下的线段截下的线段PQPQ之长数值上等于阴影部分的面积之长数值上等于阴影部分的面积, ,

6、 求曲线求曲线 . .y)(xfy )0(3 xxy)(xf解解,)()(230yxdxxfx xyxydx03,xyoxPQ3xy )(xfy 两边求导得两边求导得,32xyy 解此微分方程解此微分方程23xyy dxexCeydxdx23, 6632 xxCex, 0|0 xy由由, 6 C得得所求曲线为所求曲线为).222(32 xxeyx一阶线性微分方程的通解也可写成一阶线性微分方程的通解也可写成dxexQCeyxxdxxPdxxPxxxx 000)()()(方程方程)()()()(xQyfxPdxdyyf 令令)(yfz )()(xQzxPdxdz 即化为一阶线性微分方程即化为一阶线

7、性微分方程注注二、伯努利方程二、伯努利方程伯努利伯努利(Bernoulli)方程的标准形式方程的标准形式nyxQyxPdxdy)()( )1 , 0( n时时，当当1 , 0 n方程为线性微分方程方程为线性微分方程.时时，当当1 , 0 n 方程为非线性微分方程为非线性微分方程方程.解法解法: : 需经过变量代换化为线性微分方程需经过变量代换化为线性微分方程. .，得，得两端除以两端除以ny),()(1xQyxPdxdyynn ,1 nyz 令令，则则dxdyyndxdzn )1(代入上式代入上式),()1()()1(xQnzxPndxdz 求出通解后，将求出通解后，将 代入即得代入即得nyz

8、 1. )1)()()1()()1(1 CdxenxQezydxxPndxxPnn例例 5.42的通解的通解求方程求方程yxyxdxdy 解解，得，得两端除以两端除以y,412xyxdxdyy ,yz 令令,422xzxdxdz ,22 Cxxz解解得得.224 Cxxy即即例例6 6 用适当的变量代换解下列微分方程用适当的变量代换解下列微分方程: :;22. 122xxexyyy 解解,2112 yxexyyx,2)1(1yyz 令令,2dxdyydxdz 则则,22xxexzdxdz 222Cdxexeezxdxxxdx 所求通解为所求通解为).2(222Cxeyx ;)(sin1. 22

9、xyxyxdxdy 解解,dxdyxydxdz 则则,sin1)(sin1(22zxyxyxxydxdz 分离变量法得分离变量法得,42sin2Cxzz ,代回代回将将xyz 所求通解为所求通解为.4)2sin(2Cxxyxy ,xyz 令令;1. 3yxdxdy 解解,uyx 令令, 1 dxdudxdy则则代入原式代入原式,11udxdu 分离变量法得分离变量法得,)1ln(Cxuu ,代回代回将将yxu 所求通解为所求通解为,)1ln(Cyxy 11 yeCxy或或另解另解. yxdydx 方程变形为方程变形为 注注 利用变量代换将一个微分方程化为变量利用变量代换将一个微分方程化为变量可

10、分离的方程或化为已知其求解步骤的方程是可分离的方程或化为已知其求解步骤的方程是求解微分方程的一种最常用的思想方法求解微分方程的一种最常用的思想方法如如 齐次型、可化为齐次型、一阶线性齐次型、可化为齐次型、一阶线性方程方程 、Bernoulli 方程等方程等都是通过变量代换来求解方程的。都是通过变量代换来求解方程的。将将),(yxfdxdy 变换为变换为 ),(1yxfdydx 也是经常可以考虑的也是经常可以考虑的三、小结三、小结1.齐次方程齐次方程)(xyfy ;xuy 令令2.线性非齐次方程线性非齐次方程;)()( dxxPexuy令令3.伯努利方程伯努利方程;1zyn 令令思考题思考题求微

11、分方程求微分方程 的通解的通解.yxyyyysin2sincoscos 思考题解答思考题解答yyxyydydxcossin2sincos ,tan2sinyxy ,2sintanyxydydx Cdyeyexyycoslncosln2sin Cdyyyyycoscossin2cos .cos2cosyCy 练练 习习 题题一、求下列微分方程的通解一、求下列微分方程的通解: : 1 1、xexyysincos ； 2 2、0)ln(ln dyyxydxy； 3 3、02)6(2 ydxdyxy. .二、二、 求下列微分方程满足所给初始条件的特解求下列微分方程满足所给初始条件的特解: : 1 1、

12、4,5cot2cos xxyexydxdy； 2 2、. 0,132132 xyyxxdxdy三三、设设有有一一质质的的量量为为 m质质点点作作直直线线运运动动从从速速度度等等于于零零的的时时刻刻起起,有有一一个个与与运运动动方方向向一一致致,大大小小与与时时间间成成正正比比(比比例例1k系系数数为为)的的力力作作用用于于它它,此此外外还还受受一一与与速速度度成成正正比比(比比例例2k系系数数为为)的的阻阻力力作作用用,求求质质点点运运动动的的速速度度与与时时间间的的函函数数关关系系 .四四、 求求下下列列伯伯努努利利方方程程的的通通解解:1、212121yxyxy ；2、0)ln1(3 dx

13、xxyyxdy.五、五、 用适当的变量代换将下列方程化为可分离变量的用适当的变量代换将下列方程化为可分离变量的方程方程, ,然后求出通解然后求出通解: :1 1、11 yxdxdy；2 2、1cossin2sin)1(sin222 xxxyxyy；3 3、xyxyxdxdy )(sin12. .六、六、 已知微分方程已知微分方程)(xgyy , ,其中其中 0,010,2)(xxxg, ,试求一连续函数试求一连续函数)(xyy , ,满满足条件足条件0)0( y, ,且在区间且在区间),0 满足上述方程满足上述方程 . .练习题答案练习题答案一、一、1 1、xeCxysin)( ； 2 2、Cyyx 2lnln2； 3 3、2321yCyx