第十章曲线积分与曲面积分习题课ppt课件

1、第十章第十章 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分习习 题题 课课一、主要内容一、主要内容二、典型例题二、典型例题（一曲线积分与曲面积分（一曲线积分与曲面积分（二各种积分之间的联系（二各种积分之间的联系（三场论初步（三场论初步 一、主要内容一、主要内容曲线积分曲线积分曲面积分曲面积分对面积的对面积的曲面积分曲面积分对坐标的对坐标的曲面积分曲面积分对弧长的对弧长的曲线积分曲线积分对坐标的对坐标的曲线积分曲线积分定义定义计算计算定义定义计算计算联络联络联络联络（一曲线积分与曲面积分（一曲线积分与曲面积分 曲曲 线线 积积 分分对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分定定义义

2、 niiiiLsfdsyxf10),(lim),( LdyyxQdxyxP),(),(),(),(lim10iiiniiiiyQxP 联联络络dsQPQdyPdxLL)coscos( 计计算算 dtfdsyxfL22,),(三代一定)( dtQPQdyPdxL),(),(二代一定 (与方向有关)与路径无关的四个等价命题与路径无关的四个等价命题条条件件在在单单连连通通开开区区域域D上上),(),(yxQyxP具具有有连连续续的的一一阶阶偏偏导导数数, ,则则以以下下四四个个命命题题成成立立. . LQdyPdxD与与路路径径无无关关内内在在)1( CDCQdyPdx闭闭曲曲线线, 0)2(Qdy

3、PdxduyxUD 使使内存在内存在在在),()3(xQyPD ,)4(内内在在等等价价命命题题 曲曲 面面 积积 分分对面积的曲面积分对面积的曲面积分对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分定定义义 niiiiisfdszyxf10),(lim),( xyiniiiiSRdxdyzyxR)( ),(lim),(10 联联络络 RdxdyQdzdxPdydz计计 算算一代,二换,三投(与侧无关) 一代,二投,三定向 (与侧有关) dSRQP)coscoscos( dszyxf),( xyDyxdxdyzzyxzyxf221),(, dxdyzyxR),( xyDdxdyyxzyxR),(,定积分定积分

4、曲线积分曲线积分重积分重积分曲面积分曲面积分计算计算计算计算计算计算Green公式公式Stokes公式公式Guass公式公式（二各种积分之间的联系（二各种积分之间的联系点函数点函数)(,)(lim)(10MfMfdMfnii .)()(,1 badxxfdMfbaR 时时上区间上区间当当.),()(,2 DdyxfdMfDR 时时上上区区域域当当积分概念的联系积分概念的联系定积分定积分二重积分二重积分 dVzyxfdMfR),()(,3 时时上区域上区域当当.),()(,3 dszyxfdMfR 时时上上空空间间曲曲线线当当.),()(,3 SdSzyxfdMfSR 时时上上曲曲面面当当曲面积

5、分曲面积分曲线积分曲线积分三重积分三重积分.),()(,2 LdsyxfdMfLR 时时上上平平面面曲曲线线当当曲线积分曲线积分计算上的联系计算上的联系)( ,),(),()()(21面元素面元素 ddxdyyxfdyxfbaxyxyD)( ,),(),()()(),(),(2121体元素体元素dVdzzyxfdydxdVzyxfbaxyxyyxzyxz baLdsdxyxyxfdsyxf)( ,1)(,),(2曲曲线元素线元素 baLdxdxxyxfdxyxf)( ,)(,),(投影投影线元素线元素 xyDyxdxdyzzyxzyxfdSzyxf221),(,),( xyDdxdyyxzyx

6、fdxdyzyxR),(,),(其中其中dSRQPdxdyRQdzdxPdydz)coscoscos( dsQPQdyPdxLL)coscos( )(曲曲面元素面元素dS)(投影投影面元素面元素dxdy理论上的联系理论上的联系1.定积分与不定积分的联系定积分与不定积分的联系)()()()()(xfxFaFbFdxxfba 牛顿牛顿-莱布尼茨公式莱布尼茨公式2.二重积分与曲线积分的联系二重积分与曲线积分的联系)()(的的正正向向沿沿LQdyPdxdxdyyPxQLD 格林公式格林公式3.三重积分与曲面积分的联系三重积分与曲面积分的联系 RdxdyQdzdxPdydzdvzRyQxP)(高斯公式高

7、斯公式4.曲面积分与曲线积分的联系曲面积分与曲线积分的联系 dxdyyPxQdzdxxRzPdydzzQyR)()()( RdzQdyPdx斯托克斯公式斯托克斯公式 DLdxdykArotsdA)( DLdxdyAdivdsnA)(Green公式公式,Guass公式公式,Stokes公式之公式之间的关系间的关系 dSnArotdSA)( RQPzyxdxdydzdxdydzRdzQdyPdx dvAdivdsnA)(dvzRyQxPRdxdyQdzdxPdydz)( DLdxdyyPxQQdyPdx)( DLdxdyyQxPPdyQdx)(或推广推广为平面向量场为平面向量场)(MA为空间向量场

8、为空间向量场)(MA梯度梯度kzujyuixugradu 通量通量旋度旋度环流量环流量zRyQxPAdiv RdxdyQdzdxPdydzkyPxQjxRzPizQyRArot)()()( RdzQdyPdx散度散度（三场论初步（三场论初步例例 1 1 计计算算 LdyyxdxxyxI)()2(422, ,其其中中L为为由由点点)0 , 0(O到到点点)1 , 1(A的的曲曲线线xy2sin . .思路思路: LQdyPdxIxQyP xQyP 0 LQdyPdxI ),(),(00yxyxQdyPdxI闭合闭合非闭非闭闭合闭合 DdxdyyPxQI)(非闭非闭补充曲线或用公式补充曲线或用公式

9、二、典型例题二、典型例题解解xxyxyyP2)2(2 知知xyxxxQ2)(42 ,xQyP 即即 104102)1(dyydxx故故原原式式.1523 xyo11A dyyxdxxyxI)()2(422由由例例 2 2 计计算算 LxxdymyedxmyyeI)cos()sin(, ,其其中中L为为由由点点)0 ,(a到到点点)0 , 0(的的上上半半圆圆周周0,22 yaxyx. .解解myemyyeyyPxx cos)sin(yemyexxQxxcos)cos( xQyP 即即( (如下图如下图) )xyo)0 ,(aAMdxdyyPxQDAMOA )( Ddxdym,82am 0)(0

10、0 medxxaAO, 0 082 am.82am AMOAAOAOAOLI AMOAAOI曲面面积的计算法曲面面积的计算法SDxy),(yxfz xyoz dSS xyDyxdxdyzz221dsyxfSL ),(dxyyxfba 21),(zxoy),(yxfz sLab曲顶柱体的表面积曲顶柱体的表面积 LDyxdsyxfdffS),(122 xzyo),(yxfz LD如图曲顶柱体，如图曲顶柱体，例例 3 3 求求柱柱面面13232 yx在在球球面面1222 zyx内内的的侧侧面面积积. .解解由对称性由对称性 LLdsyxzdsS2218, 1:3232 yxL)20(,sin,cos

11、33 ttytx参参数数方方程程为为,cossin3)()(22tdttdtyxdstt tdttttScossin3sincos182066 tdttttcossincossin3242022 2022cossin324tdtt.233 在第四卦限部分的上侧在第四卦限部分的上侧为平面为平面为连续函数为连续函数其中其中计算计算1,),(,),(),(2),( zyxzyxfdxdyzzyxfdzdxyzyxfdydzxzyxfI例例xyoz111 解解利用两类曲面积分之间的关系利用两类曲面积分之间的关系,1 , 1, 1 n的的法法向向量量为为.31cos,31cos,31cos dSzzyx

12、fyzyxfxzyxfI),(31),(231),(31 dSzyx)(31 xyDdxdy3131.21 向量点积法向量点积法 ,1,),(:yxffyxfz 法法向向量量为为设设 RdxdyQdzdxPdydzIdxdyffRQPyx1 , dSnA0, dxdydzdxdydzRQP.1,dxdyffRQPxoyyxDxy 面面投投影影在在将将所所截截部部分分的的外外侧侧被被平平面面锥锥面面为为其其中中计计算算2, 1,222 zzyxzdxdyzxdzdxydydzI例例解解,2222yxyfyxxfyx D 利用向量点积法利用向量点积法 21220rdrrd.215 dxdyz2 x

13、yDdxdyyx)(22 dxdyyxyyxxzxyI 1 ,2222241:22 yxDxy例例 6 6 计计算算曲曲面面积积分分yzdxdydzdxyxdydzyI4)1(2)18(2 , ,其其中中 是是由由曲曲线线)31(01 yxyz绕绕y轴轴旋旋转转一一周周所所成成的的曲曲面面, ,它它的的法法向向量量与与y轴轴正正向向的的夹夹角角恒恒大大于于2 . .解解22101xzyyxyz 轴轴旋旋转转面面方方程程为为绕绕( (如下图如下图) )xyzo132 * *I且有且有dxdydzzRyQxP)(* dxdydzyyy)4418(yzdxdydzdxyxdydzyI4)1(2)18

14、(2 欲欲求求 dv 203)2(2d,2 *2)31(2dzdx,32 )32(2 I故故.34 xzDxzdydxdz3122 3120202dydd一、一、 选择题选择题: :1 1、 设设L为为230,0 yxx, ,则则 Lds4的值为的值为( ).( ). (A) (A)04x， (B) (B),6 (C) (C)06x. .2 2、 设设L为直线为直线0yy 上从点上从点),0(0yA到点到点),3(0yB的的有向直线段有向直线段, ,则则 Ldy2=( ).=( ). (A (A)6; (B) )6; (B) 06y; (C)0.; (C)0.3 3、 若若L是上半椭圆是上半椭

15、圆 ,sin,costbytax取顺时针方向取顺时针方向, ,则则 Lxdyydx的值为的值为( ).( ). (A (A) )0 0; (B); (B)ab2 ; (C); (C)ab . .测验题测验题4 4、设、设),(,),(yxQyxP在单连通区域在单连通区域D内有一阶连续内有一阶连续 偏导数偏导数, ,则在则在D内与内与 LQdyPdx路径无关的条件路径无关的条件 DyxyPxQ ),(,是是( ).( ). (A) (A)充分条件充分条件; (B); (B)必要条件必要条件; (C); (C)充要条件充要条件. .5 5、设、设 为球面为球面1222 zyx, ,1 为其上半球面

16、为其上半球面, ,则则 ( ) ( )式正确式正确. . (A) (A) 12zdszds; ; (B) (B) 12zdxdyzdxdy; ; (C) (C) 1222dxdyzdxdyz. .6 6、若、若 为为)(222yxz 在在xoy面上方部分的曲面面上方部分的曲面 , , 则则 ds等于等于( ).( ). (A) (A) rrdrrd022041 ;(B);(B) 2022041rdrrd ; ; (C)(C) 2022041rdrrd . .7 7、若、若 为球面为球面2222Rzyx 的外侧的外侧, ,则则 zdxdyyx22等于等于( ).( ). (A) (A) xyDd

17、xdyyxRyx22222; ; (B) (B) 2 2 xyDdxdyyxRyx22222; ; (C) 0(C) 0 . .8 8、曲曲面面积积分分 dxdyz2在在数数值值上上等等于于( ( ) ). .( (A A) ) 向向量量iz2穿穿过过曲曲面面 的的流流量量；( (B B) ) 面面密密度度为为2z的的曲曲面面 的的质质量量；( (C C) ) 向向量量kz2穿穿过过曲曲面面 的的流流量量 . .9 9、设、设 是球面是球面2222Rzyx 的外侧的外侧, ,xyD是是xoy面面 上的圆域上的圆域222Ryx , ,下述等式正确的是下述等式正确的是( ).( ). (A) (A

18、) xyDdxdyyxRyxzdsyx2222222； (B) (B) xyDdxdyyxdxdyyx)()(2222； (C) (C) xyDdxdyyxRzdxdy2222. .1010、若、若 是空间区域是空间区域 的外表面的外表面, ,下述计算中运用奥下述计算中运用奥- -高高 公式正确的是公式正确的是( ).( ). (A) (A) 外侧外侧dxdyyzdydzx)2(2 = = dxdydzx)22(； (B) (B) 外侧外侧zdxdyydzdxxdydzyzx232)( = = dxdydzxx)123(22； (C) (C) 内侧内侧dxdyyzdydzx)2(2 = = d

19、xdydzx)12(. .二、计算下列各题二、计算下列各题: :1 1、求、求 zds, ,其中其中 为曲线为曲线 ,sin,costzttyttx)0(0tt ；2 2、求、求 Lxxdyyedxyye)2cos()2sin(, ,其中其中L为上为上 半圆周半圆周222)(ayax , ,0 y, ,沿逆时针方向沿逆时针方向 . .三、计算下列各题三、计算下列各题: :1 1、求、求 222zyxds其中其中 是界于平面是界于平面Hzz 及及0 之间的圆柱面之间的圆柱面222Ryx ；2 2、 求求 dxdyyxdzdxxzdydzzy)()()(222， 其中其中 为锥面为锥面)0(22hzyxz 的外侧；的外侧；3 3、 3222)(zyxzdxdyydzdxxdydz其中其中 为曲面为曲面9)1(16)2(5122 yxz)0( z的上侧的上侧 . .四、证明四、证明: :22yxydyxdx 在整个在