时频分析方法综述

1、几种时频分析方法简介 1. 傅里叶变换(Fourier Transform) DFT:H()=丁工1讣灯乂-小心 离散化(离散取样)、 NT o MI期化(时频域截断) | AT IDFT:h(nT) = Y H(一)eJM/N N T NT 2. 小波变换(Wavelet Transform) a.由傅里叶变换到窗口傅里叶变换(Gabor Transform(Short Time Four ier Transform)/) 从傅里叶变换的定义可知， 时域函数h (t)的傅里叶变换H (伶只能反映其在整个实轴的 性态， 丌能反映h (t)在特定时间区段内的频率变化情况。如果要考察h(t)在特定

2、时 域区间(比如：te a, b)内的频率成分，很直观的做法是将h(t)在区间tea,b不 处突然截断，导致中(/)%(/)岀现了原来h (t)中丌存在的丌连续，这样会使得 加/)%(/)的傅里叶变化中附件新的高频成分。为克服这一缺点，在1944年引入了 口”傅里叶变换的概念，他的做法是，取一个光滑的函数g(t).称为窗口函数，它在有 限的区间外等于0或者很快地趋于0,然后将窗口函数不h (t)相乘得到的短时时域函数 进行FT变换以考察h (t)在特定时域内的频域情况。 STFTz CM)二匚/?(滋(1才叫 ISTFT： ht) =Cg(tr)Gf(/,计妣 图：STFT示意图 函数Z1(O

3、 = 然后考察傅里叶变换。但是由于尤(/)在t二a,b window pru_QE Time I Short I Time I Fourier Transform AQU nbalLL e im STFT算例cos(210r) Os t 5sj(t)= cos(2250 5st10s cos(2;r50/) 10s t 15s cos(2100/) 15s t Q v./indnw Spfrctroum wth T 1000 ms 20 603 820 112 16 18 1 non mQ windnw 09 pnp-duJ+/ n+/ /+/ X(t) = Cj +r = X2(t) = C

4、/OC.ft) j.l j.l j.l A/ n+1 n+1 go I j.l k.l / n+1 oax2(t)=2c；(t) j.i 对X (t)的每一个I MF进行Hi I bert变换可以得到X (t)的H i I bert谱: q巩H n X= C, (Q= = 均(如丿 j.l j.l j.l Hilbert Spectrum Hilbert Spectrum F7X(Q = f严 j.l 得到Hilbert谱后可以进一步定义Hilbert边际谱： h(o) = JJ H(a),t)dt Hilbert Magrinal Spectrum 算例仁一个有跳变的余弦信号 J cos(6

5、加)t 105 6 4 2 0 orl!2l匮 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 时间/s 10 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 时间/s 5 cc 时间/s 0 图1：跳变信号及其分量 400 300 200 100 0 2 4 68 10 12 14 16 18 2 时间/s 1 1 I )C6 Y:18.59 1 1 1 I I r i r * - r i i r r 2 4 68 10 12 14 16 18 2 时间/s I 1 % I X6 Y:19.02 1 1 1 I I r i 2 4 6r 8 r i i r r 10 12 1

6、4 16 18 2 300 200 100 0 100 300 200 100 0 100 时间/s 图2:跳变信号EMD分量的瞬时相位不频率 算例2：频率发生改变的余弦信号 jcos(6F) cos(4F) r 105 0 2 4 6 8 10 12 14 III O DIP!? 16 18 20 时间/s 时间/s 时间/s 时间/s 图4:频率改变余弦信号IMF分量瞬时相位不瞬时频率400 10 12 14 16 18 LtMftewf-18.92 4 112.58 10 12 14 16 18 2 4 6 10 12 14 16 18 4 1ztMKJBwf- 算例 S余弦扫频信号 y

7、 = (l + 0.2f)cos(4/zr) 0 5/510$ 图5：余弦扫频信号及其EMD分解分量 cr 05 cJ 05 0 1!枳1 1 23456789 10 时间/s 1 23456789 10 时间/s 1 23456789 10 时间/s 图6：余弦扫频信号IMF分量瞬时相位不瞬时频率o o o O 500050 5 时间/S 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 时间/S 6 7 8 9 10 二- - b 二 O o o o o o O o o o o O 4 3 2 1 1 1 23456789 10 时间/s - 一 一 I b - O o o o o o O o o

8、 o o O 4 3 2 1 1 23456789 10 时间/s 算例4：两个丌同频率的正弦信号的叠加 y = sm(lOr) + sm(5r)0 10J 图7：两个丌同频率叠加的正弦信号及其IMF分量 - 1 I I I I I I I I X： 4.26 Y: 10.15 r r r r r r r r r 23456789 10 时间/s 806040 200 806040 1IIPB孜疤 CM0 00500 50 23456789 10 时间/s 1 23456789 10 时间/s 2 O 1 23456789 10 时间/s 1 23456789 10 时间/s 1 234567

9、89 10 时间/s 23456789 10 时间/s 60 图8：两个丌同频率叠加的正弦信号IMF1分量瞬时相位不瞬时频率 LiwH学HI40 20 0 -20 20 10 5 0 20 15 5 0 0 1 2 3 4 5 6 时间/s 7 8 9 10 I I I 1 I I X:4.42 Y: 5.129 I I 1 r r r i r r r r 1 0 1 2 3 4 5 6 时间/s 7 8 9 10 15 I I I 1 I I I I 1 1 . . r r r 1 r r r r i 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 10 时间/S 图9：两个丌同频率叠加的正弦信

10、号IMF2分量瞬时相位不瞬时频率 非线性问题求解 Duff i ng equat i on /cosot y = 0.1 ca = 0.04 Hz Initial condition : lx(o),xf(0)l = ll,ll 200 Dufling Equation ODE23TB 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 1 5 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1- 1 -1 - 1 - 1 - 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 Time : second IMF Duffing Equation : ODE

11、23TB 0.5 U 0 -OS 2 1 1 - 1 -I - - 1 | 1 I V 厂 / 、 / f / / / 1 f / / / / / J / / / I _ - 1 - - 1 - _1 - W 0 100 Time - second Duffing Equation : Hilbert Spectrum 熟悉 NCU Mat lab HHT 程序： Function Input fa (data, dt. ifmethod, normmethod, nf i Iter); data (n. k)其中 n 为数据长度，k 为 IMF个数。 Output freq, am ; fr

12、eq 均为 nXk 矩阵 The specifications of the caIcuI at i ng methods of th令 i nstantaneous frequency ifmethod Ca1cu1at i ng methods Function file The norma 1ization of input data 4hiIber t HiIbert transform Recommended Not required (hiIbtm HiIbert transform Recommended Not required acos Arcos method Requi

13、red *zc* Generalized zero-crossing method Not recommended quad Quadrature method Requi red cosfor Cosine formu1 a method Requi red The normalized methods options 4normmethod 9 Normalization methods Function file Recommend how to use Reason none None None For lzc9 option sp1ine? Spline normali zat i

14、on Not for ensemb 1 e EMD method Possible overshot splineEP1 Spline normali zat i on with several end process For ghi Ibert1 or 怙cos opt i on Not for ensemb 1 e EMD method Possible overshot hi Ibert HiIbert amp 1ituck normali zat i on hi 1 bortnormalize m When using Ensemb1e EMD method default 41 in

15、ear Linear normaliztion When using Ensemb1e EMD method pchip1 Cubic hermite spline normali zat i on When using Ensemb1e EMD method block Block normal ization Not to use 算例仁（參见J 理论解推导过程如下: 解析信号 X(t) = A(f)严)=A(f)cos&(f) + i4(r)sin&(f) =x(t) + ix(t) 对比可知: AM (ampI itude modulation)： ) = exp(-4 | FM(frequency modulation): 如=凹“旦+也COS clt 16384 8192 图原始信号( 7t t2 Ln / 7(r 十 n 乙 ,512 丿十U.D AJL丄丄 .32 十nz, 而J )0t sin(/) = 土J1 一尸(