5等比数列的前n项和

1、2011.04.30必修五 2.5 等比数列的前 n 项和第1页共 5 页等比数列的前n项和教学目标：掌握等比数列的前n项和公式及公式证明思路； 会用等比数列的前n项和公式解决有关 等比数列的一些简单问题。重点、难点：等比 数列的前n项和公式推导，灵活应用公式解决有关问题国际象棋起源于印度，相传国王要奖励国际象棋的发明者，问他想要什么，发明者说：“请在棋盘的第第1格放1粒麦，第2格放2粒，第3格放4粒，第4格放8粒，以后每格是前一格粒数的2倍。国王觉得这个要求不高，答应了。如果千粒重40克，目前世界年度小麦产量6亿吨，判断国王能满足他的要求吗？如果把各格所放的麦粒数看成是一个数列，我们可以得到

2、一个等比数列，它的首项是1,公比是2,求第一个格子 到第64个格子各格所放的麦粒数总合就是求这个等比数列的前64项的和。般地，设等比数列a!,a2,a3, an它的前n项和是Sna!a2a3an根据等比数列的通项公式ann 1ae，上式可以写成Sna1ae2aqn 2aqn 1两边乘公比q，可得qSnag2aq3aqn 1a1两式相减，得(1q)Sna1nag当q 1时，Sna1(11qn)q(q 1)，因为anaN1a1anq，有Sn1 n(q 1)1 q例1 (1)求等比数列的丄,丄，丄，丄前8项和.2 4 8 161111求等比数列的一,一,一，一前n项和2 4 8 16当q=1时，Sn

3、na1有了等比数列的前n项和公式，就可以解决刚才的问题。由a11,q2,n64可得Sn印(1 qn)=1 (1 264)“64.= =2 1。1 q1 21.84 1019。国王不能实现他的诺言。这个数很大，超过了例2某商场今年销售计算机5000台，如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加10%那么从1 11 1求等比数列的一，一，一，丄前n项和2 48 16(4)a1=27,a9=1/243,q2)的运用，然后回答定义.得SnSn-1=kankan-1(n2)Sn1= 1+ kan-1(常数)(n2),kan是公比为的等比数列.k 1(2)解：.S1=a1=1+ka1, a1=)nkn1(n

4、r1k21解： an中a1=,q=,an为首项为( -1k k 1k-)11当k=1时，等比数列an2的首项为一，公比为41.222- a1+a2+an=2,公比为(止)2的等比数列.k 1A (1)n2=44114(丄)n4评述:S3+S= 2S9，求数列的公比q;已知S是等比数列an的前n项和，S3,S9,S6成等差数列， 求证：a2,a8,a5成等差数列.分析： 由题意可得Ss+S=2S,要证a2,a8,as成等差数列，只要证a2+a5=2a&即可.证明：TS3,S9,S6成等差数列，S3+S6= 2S若q=1,贝US3=3ai,Se=6ai,S9=9ai，由等比数列中，ai丰0

5、得S3+S5M2S),与题设矛盾q丰1, 369ai(1 q)ai(1 q )ai(1 q)日a1(1 q3) a1(i q6) 2a1(1 q9)S3,S6,S91 q1 q1 q1 q 1 q1 q整理得q3+q6=2q9，由qz0得1+q3=2q6又/a2+a5=a1q+a1q4=a1q(1+q3),a2+a5=a1q2q6=2a1q7=2a8,a2,a8,a5成等差数列.例6设an为等差数列，bn为等比数列，a1=b1=1,a2+a4=b3,b2b4=a3,分别求出an及bn的前10项 的和S10及0。例7设a为常数，求数列a,2a2,3a3,，na：的前n项和；1(1)a=0时，S=

6、0; (2)a丰0时，若a=1，则Sn=1+2+3+n=n(n 1)2若az1,S-aSn=a(1+a+an-1-nan),Sn=a_1 (n1)annan 1(1 a)例8求数列2X2,3X3,4X4,nxn,的前n项和.分析：可以通过错位相减的方法转化为等比数列的求和问题解：(1)当X=0时，Sn=0.1(2)当X=1时，S=2+3+4+(n+1)=n(n+3).2(3)当Xz1时，S=2x2+3x3+4x4+(n+1)Xn+1345n+1n+2厂、xSn=2x+3x+4x +nx +(n+1)X一得：(1X)S=2x2+x3+x4+ n+1X(n+1)X3 “n+2 2X (1=2X+1

7、n 1 X )X(n+1)Xn+2U2X2 Sn=3X(n 2)xn 2(1 x)2(nn 31)X又当X=1时，Sn=0适合】n(n2 s=23)(X1)3X(n 2)xn2(nn 31)X(X 1)(1 x)2例9 (1)国家汽车产业振兴规划的政策极大地刺激了小排量汽车的销售，据分析预测，某地今年小排量Z型车每月的销量将以10%勺增长率增长，小排量R型车的销量每月递增20辆，已知该地今年1月份 销售Z型车和R型车均为60辆，据此推测，该地今年这两款车的销售总量能否超过3000辆？(参考数据：1.1 =3.1)解：设该地今年第n月Z型车和R型车的销量分别为an辆和bn辆.依题意an，bn分别

8、是a1=60,2011.04.30必修五 2.5 等比数列的前 n 项和第 4 页共 5 页2011.04.30必修五 2.5 等比数列的前 n 项和第9页共 5 页公比q=1.1的等比数列，和bi=60,公差d=20的等差数列，设an的前n项和为0bn的的前n项和为Tn,260 1212(121)2综上所述：可推测该地区今年这两款车的总销量能超过3000辆(2)一个球应从100米高处自由下落，每次着地后又跳回到原高度的一半落下，当它第10次着地时，共经 过了多少米？思维分析：数列建模过程中，关键是建立递推关系式，然而求出解：球第一次着地时经过了100米，从这时到球第二次着地时，一上一下共经过了2100100米2因此球第十次着地时共经过的路程为100 100100100丁222100281001100 -119(訥2300米2(3)一对夫妇为了给他们的独生孩子支付将来上大学的费用，从孩子一出生就在每年生日，到银行储蓄a元，一年定期，若年利润率为r，保持不变，且每年到期时，存款(含利息)自动转为新的一年定期，当孩 子18岁上大学时，将所有存款(含利息)全部取回，则取回总钱数为多少？S, S121