威布尔分布无失效数据失效概率的估计xlh

1、威布尔分布无失效数据失效概率的估计熊莲花 赵德勤（合肥工业大学理学院，合肥，230009）摘 要：本文通过讨论威布尔分布函数形状参数的大小，给出各检测时刻失效概率的相互关系作为先验信息，得到的估计，并且试验数据显示此种方法是可行的。关键词：无失效数据；失效概率；估计中国分类号：O213.2 MR(2000主题分类号：62N05一. 引言在可靠性试验中，特别是在高可靠性，小样本问题的定时截尾试验中，常会遇到“无失效数据”，文献1中提出了一种处理无失效数据的方法是配分布曲线法，其基本思想：首先估计各时刻的失效概率，然后利用最小二乘法或加权最小二乘法估计寿命参数。其中关键是估计各时刻的失效概率。文献

2、2,3分别从指数分布函数自身的无记忆性和正态分布的凹凸性特点引入先验信息，给出相应先验分布，进行估计。在无失效数据场合，关于指数分布参数的估计方法众多4,5,6，但在威布尔分布场合，方法较少，究其主要原因是威布尔分布的参数和的共轭先验分布形式复杂，所以一般采用配分布曲线法对失效概率进行估计，文献7中提出一种针对无失效数据普遍适用的构造先验分布的方法减函数法。本文选择减函数法中的特例无信息先验分布，则的取值范围成为无信息先验分布的关键。威布尔分布是可靠性中最常用的寿命分布之一，它的最大特点是其形状参数的不同能反映各种不同的失效机理8,9。文中通过讨论威布尔分布形状参数的不同取值范围，得到各失效概

3、率合理的取值范围作为先验信息，从而对进行估计。对某产品进行次定时截尾试验，截尾时间为，相应试验样品数，若结果是所有样品无一失效，则称为无失效数据，记，它表示截尾时间达到或超过的产品数 ，即在时刻尚未失效的产品数。综上所述，试验提供的统计信息有：时其失效概率(或接近为0，记，则 （1.1）二母体服从威布尔分布情况下的统计分析2.1失效概率的先验分布I设样品寿命服从二参数威布尔分布,其分布函数为， （2.1）其中为未知参数，为形状参数，为尺度参数。文献2利用分布函数的凸函数性质得到各时刻处失效概率的相互关系作为先验信息。当时，即是的凸函数，由凸函数性质知，当时， （2.2）特别地，取，则（2.2）

4、可写成， （2.3）故当时，因且，得，其中。即在母体为威布尔分布时，应在之间变化，其中。所以取值区间的长度为： （2.4）2.2 失效概率的先验分布II令，由（2.1）得，则，当时，有和， （2.5）上面两式相减并整理得，其中，等价于，即，其中有。结合（1.1）式，当时，有（其中）作为的变化范围。我们取，取无信息先验分布，则的先验分布为 （2.6）其中。所以取值区间的长度为： （2.7）2.3 先验分布I与先验分布II的比较及失效概率的估计由（2.4）和（2.7）两式知：或，令，则，其中，故当时，综上所得，即。 （2.8）由（2.8）式可知：的先验分布II比先验分布I中得到的的取值范围更小，可

5、利用的先验信息就更多，故我们选择（2.6）式作为的先验分布。定理1 当威布尔分布(2.1形状参数时，若对产品进行次定时截尾试验，得到一组无失效数据，记，则各时刻处的失效概率应满足，其中，若取的先验分布为上的均匀分布，则在平方损失下，的估计为。证明：在时刻个产品均无失效，即失效数，其似然函数为结合先验分布(2.6，得到的后验分布为在平方损失下，的估计为 （2.9）由和(2.9式，我们可以估计出各个观察时刻的失效概率，由于，的估计具有“保序性” 保持了的序关系，。三. 母体服从威布尔分布（）情况下的统计分析当时，令，即有：，得，故当时，为凹函数，当时，为凸函数，所以当时，我们不能根据母体分布函数的

6、凹凸性得到各的相互关系作为先验信息，在此我们利用2.2中的方法对各给出其先验信息。由(2.5式得，当时，有和上面两式相减并整理得，等价于，即，故有，其中，当时，由得，由此有，等价于，其中。从上分析可给出的变化范围为，其中，,是的上界（由先验信息或专家经验确定）。由此可见，当母体为威布尔分布时，应在之间变化，若无其它先验信息可用，可认为在上取值是等可能的，则的先验分布为其中，。定理2 当威布尔分布(2.1形状参数时，若对产品进行次定时截尾试验，得到一组无失效数据组，记，则各时刻处的失效概率应满足，其中，是的上界（由先验信息或专家经验确定）。若取的先验分布为上的均匀分布，则在平方损失下，的估计为。

7、类似定理1的证明。当时，威布尔分布即为指数分布，可参考文献4,5,6等。四. 实例分析在文献5中给出了某型发动机的无失效数据（单位时间：秒）如表1。表1 无失效数据Tab.1 Zero-failure data12345678910111213321213 811 43112100.18109.93115.01130.15150.00179.94190.36250.15783.00849.94870.03909.771450.03表2 失效概率的估计Tab.2 Failure-probability estimation123456789101112130.00960.01010.01020.

8、01090.01170.01290.01370.01580.03120.03270.03300.03370.04350.00960.00790.00910.01020.01150.01360.01510.01900.04000.04860.05610.06040.08410.00960.03030.06510.10760.15680.22070.28320.40130.81470.85740.88650.91780.9860表2中的，是当威布尔分布的形状参数时分别用定理1的结论和文献7中减函数法得到的结果，相对于而言变化平缓，特别是当试验到后，与的差距越来越大，且，这与高可靠性产品失效概率低是

9、相吻合的。是当时，取，根据定理2计算所得，从计算结果来分析，此组无失效数据来自的威布尔分布的可能性比较小。参考文献：1 茆诗松,罗朝斌. 无失效数据的可靠性分析J,数理统计与应用概率,1989,4(4:480-506.2 张志华. 正态分布场合下只有一个失效数据的统计分析J,应用概率统计,1989,14(2:185-190.3 赵海兵,程依明. 指数分布场合下无失效数据的统计分析J,应用概率统计,2004,01:59-65.4 李亿民. 关于指数分布失效数据的一种Bayes估计J,山东理工大学学报,2006,02:17-19.5 韩明. 无失效数据情形可靠性参数的估计和调整J,应用数学,200

10、6,19(2:325-330.6 熊莲花,张玲玲. 无失效数据失效率的综合多层Bayes估计j,山西师范大学学报,2007,21(3:23-27.7 韩明. 基于无失效数据的可靠性参数估计M,中国统计出版社,2005,16-65.8 茆诗松,张玲玲. 加速寿命试验M,科学出版社,2000,85-94.9 贺国芳,许海宝. 可靠性数据的收集与分析M,国防出版社,1995,66-70.10 陈希孺. 高等数理统计M,中国科学技术大学出版社,1999,104-128.Analysis of Zero-failure Data under Weibull CaseXIONG Lian-hua, ZHA

11、O De-qin(Department of Mathematics Physics,Hefei Uiniversity of Technology,Hefei,230009,Anhui,ChinaAbstract: Using the property of Weibull distribution function, the paper gives the relation about failure probability in time . Basing on the relation we obtain the prior distribution and the Bayesian estimation of in time . Finally calculation is performed regarding to pratical problem and calculation result manifests that this kind of met