市场投资的收益和风险模型

1、市场投资的收益和风险模型李吉志 胡驿姿 胡凯摘要本文提出了一个多目标规划的数学模型，解决了市场投资方案的问题，使收益值尽可能大，风险值尽可能小。为了方便求解，我们把非线性的转化为线性的，并将两个目标函数用加权系数法，引入加权系数，转化为一个目标函数，其中反应的是风险水平。另外，在考虑交易费时，由于有个最小给定值的约束使问题很复杂，为了简化，我们将问题简化为只考虑超过部分的交易费，这样也利于求解。最后，由MATLAB求解出问题的最佳抉择与收益及其风险表：问题一的投资组合方案如下：00.030.040.050.20.2110.00000.00000.00001.00000.99010.36900.

2、23760.00000.00000.61500.39600.00000.00000.00000.10800.0000投资银行0.00000.00000.22840.0000收益0.26730.21650.20160.0005风险0.02480.01850.02380.0000问题二给出了投资收益与风险的一般模型：再将带入模型，按问题一相同思路得出投资组合方案（具体方案见文中）。关键词：多目标规划 加权系数法 市场投资一、问题的重述市场上有n种资产（如股票、债券、）供投资者选择，某公司有数额为的一笔相当大的资金可用作一个时期的投资。公司财务分析人员对这n种资产进行了评估，估算出这在这一时期内购买

3、的平均收益率为，并预测出购买的风险损失率。考虑到投资越分散，总的风险越小，公司确定，当用这笔资金购买若干种资产时，总体风险可用所投资的中最大的一个风险来度量。购买要付交易费，费率为，并且当购买额不超过给定值时，交易费按购买计算（不买当然无须付费）。另外，假定同期银行存款利率是, 且既无交易费又无风险。（=5%） 1、已知n = 4时的由给出的相关数据，试给该公司设计一种投资组合方案，即用给定的资金，有选择地购买若干种资产或存银行生息，使净收益尽可能大，而总体风险尽可能小。 2、试就一般情况对以上问题进行讨论，并利用给出数据进行计算。二、模型的假设1、假设确定相当大，这一条件可以在交易额很小时，

4、忽略交易费；2、假设投资越分散，总的风险越小，且总体风险可用所投资的资产当中最大的一个风险来度量；3、假设交易费按购买计算，在不买的情形下当然无须付费；4、假设同期银行存款利率保持定值不变，且既无交易费又无风险。三、符号的约定市场资产数目；市场资产的种类（其中表示投资银行）；选择投资的资金比例（其中表示投资银行的资金比例）；购买的平均收益率；购买的风险损失率；购买的交易费率交易费用；交易额较低时的交易费用；总给定的投资资金；净收益额；总体风险。四、模型的建立与求解（一）问题一的分析、模型的建立与求解1、问题的分析该问题为一个多目标规划问题，即要提出一种投资方案，既要收益尽可能大，又要让风险最小

5、。在投资每一种资金的同时，都有着相应的一组数据对应，即收益率 ，风险损失率，交易费率。对于银行来说，。但在考虑交易费时需要分段考虑：在考虑总体风险时，我们要求值最小，而风险又是在所有投资项目中最大的一个风险来度量，即要求在风险的最大值中找到一组最小值解，实际为一极小极大值问题。两者是对立矛盾的，就要我们在两者之间找到一个合适的投资方案让问题求解。2、模型的建立建立多目标规划函数：约束条件：3、模型的求解对于该模型的求解，是比较复杂的，直接求解几乎找不到方法，我们只好将问题进行化简处理，试探求解。问题的复杂在于交易费有个最小给定值的约束，我们如果有一部分投资额低于给定值时，问题将十分麻烦，将对4

6、种投资各进行两次判断是否达到最低给定值，那么总共的情况就有种。在投资额都超过最低给定值的这种情况下的交易费： 显然数据很小，我们可以忽略掉。在最好的一种方便的情况下，就是4中投资额都超过最低给定值，将使问题清晰，一目了然。然而在假设中为相当大，我们就更有理由将交易费低于给定值的情形忽略，将问题简化为只考虑超过部分的交易费。重新列出为：此时把当作一个单位量，于是，现在问题还是比较复杂，我们将两个目标函数用加权系数法，引入加权系数。转化为一个目标函数： 反应的是风险水平，时投资者只顾收益不顾风险，这样，收益可能达到最大，但是风险也达到最大；时投资者总是担心风险，不会考虑收益，这样就会把投资全部放在

7、银行。对于第二个目标函数，是一个非线性的，解决十分麻烦，但是该式总有一个最大值，则有，于是可以把该式转化为一个约束条件让问题简便。上述线性规划模型，容易由MATLAB优化工具箱的linprog线性规划函数求出解。我们取，编程搜索求解得到最佳抉择与收益及其风险见表1：表1：投资组合方案（见附录程序一）00.030.040.050.20.2110.00000.00000.00001.00000.99010.36900.23760.00000.00000.61500.39600.00000.00000.00000.10800.0000投资银行0.00000.00000.22840.0000收益0.2

8、6730.21650.20160.0005风险0.02480.01850.02380.00004、问题的结果投资组合表中的收益与风险值之间的关系见图1：图1：收益与风险值关系可以看出，在收益增大的同时，风险也在增大。这符合一般生活的规律。而由图也可以看出，在风险为0的情形下，收益值为0.05，此时刚好正是全部投资银行的收益值。（二）问题二的分析、模型的建立与求解1、问题的分析本问题要求给出一般情况的讨论，实际上，在问题一的基础上我们很容易归结出该模型的一般情况。即将上面建立的模型中的4换为n即可。相同的，我们还是当作很大的时候，交易费很低时，U值可以忽略，使问题简化。2、模型的建立由分析可以写

9、出模型的一般情况：上述问题仍然采用问题一的思想，运用加权系数法将多目标规划转为单一目标线性规划问题：3、模型的求解对于一般情形下的，下面进行计算。由于一般情形中假设投资额较小时，可以忽略，验证该情况下的交易费：可以看出，对于相当大的M，该值不计时符合的。运用相同的方法计算得到最佳抉择与收益及其风险见表2：表2：时的投资组合方案（见附录程序二）00.010.020.030.040.050.060.070.080.090.110.00000.00000.00000.00000.00000.00000.05180.00000.00000.00000.00000.00000.04530.04250.0

10、4030.00000.94340.04980.04560.04270.04070.03830.03620.00000.00000.00000.00000.06110.05820.05470.05180.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.05890.05580.00000.00000.04390.04020.03770.03590.03380.03200.00000.00000.00000.08180.07680.07320.06870.06510.00000.0

11、0000.05600.05130.04810.04590.04310.04080.00000.00000.07460.06830.06410.06110.05740.05440.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.74640.68340.64110.61110.57390.54360.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.0

12、0000.00000.00000.00000.00000.0000存银行0.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00001.0000净收益0.40940.32070.31660.31070.30310.29090.27940.0500风险值0.56600.02990.02730.02560.02440.02300.02170.00004、问题的结果上表中投资组合表中的收益与风险值之间的关系见图2：图2：时收益与风险关系由图可以看到，收益值增加的同时，风险也在增大。我们可以通过简单的曲线拟合来建立收益风险函数，找到最优情况下的组合。五、模型的检验与灵敏度分析1

13、、实用性分析我们在简化模型的时候，是在的前提下给出解集的，也就是要满足每一项投资：。对于这个条件，由于给出值一般较小，充分大，是容易满足的。但是我们的模型在时，给出的解就不再时最优解。2、灵敏度分析对最小的投资额的分析在适用性满足的条件下，我们得找出一个最小的投资额，看不同的情况下的灵敏度。对于不同的值对应的如表3：表3：不同的值对应的00.030.040.050.20.211199.9798 536.5854 833.3333不考虑总体说来，的值比起充分大的来说，还是很小的；而且可以看出，在这个大的范围之内，全部存入银行，不考虑最小值。对n值的分析由问题一与问题二可知，在n增大的情况下，得到

14、的收益值越大，且风险值越小。也就是说投资越分散，总体的风险也就偏小，净收益也就增大。对相关数据的分析由于投资项目的各组数据值较多，也容易变化，参考起来比较复杂。而该题目中银行利率是一个单一的量，现在来考察不同对问题的影响。现仅对问题一，取5%，10%，15%。再次计算可以看到，结果的收益值与风险值没有发生变化。所以可以看出在较大时，选择存银行是不合适的。因为其他资产的收益率在一定程度上都比银行大，但相应的风险也提高了。六、模型的评价与推广1、模型的优点本问题在一定程度上综合考虑了投资的利弊，给出了一个多目标的线性模型，在充分大的条件下，再利用加权系数法，使问题简化，转变为线性规划模型，运用MA

15、TLAB中的优化工具箱得到解。2、模型的缺点在加权系数给定的同时，发现计算数据跳跃比较大，而没有再细化值，让数据比较连贯。另外，该模型是仅在充分大的情况下适用。忽略了交易费的影响。而在实际生活中，尽管交易费很低，但是在多次交易当中，该部分就不得不重视，所以模型有待进一步的改进与完善。3、模型的推广该问题可以推广到n种情况的投资，用来组合投资，让收益值最大而风险值最小。七、参考文献1姜启源，数学模型（第三版），北京：高等教育出版社，2003。2杨启帆，数学建模，北京：高等教育出版社，2005。3叶其孝，大学生数学建模竞赛辅导教材，北京，湖南教育出版社，1993。4何坚勇，运筹学基础，北京：清华大

16、学出版社，1999八、附录【程序一】：问题一的程序clear all;close all;clc;for t=0:0.01:1 %加权系数，进行循环搜索tr=5 28 21 23 25;q=0 2.5 1.5 5.5 2.6;p=0 1 2 4.5 6.5;for i=1:5 f1(1,i)=r(1,i)-p(1,i);endf=(t-1)*f1*0.01,t;A=0 2.5 0 0 0 -1 0 0 1.5 0 0 -1 0 0 0 5.5 0 -1 0 0 0 0 2.6 -1;b=0;0;0;0;Aeq=1+0.01*p,0;beq=1;lb=0 0 0 0 0 0;x,fval=lin

17、prog(f,A,b,Aeq,beq,lb,);xx=x(1:5,1);A=f1*x*0.01 %净收益值的输出 B=max(q.*x'*0.01) %风险值的输出end【程序二】：问题二的程序clear all;close all;clc;for t=0:0.01:1 %加权系数，进行循环搜索tr=5 9.6 18.5 49.4 23.9 8.1 14 40.7 31.2 33.6 36.8 11.8 9 35 9.4 15;q=0 42 54 60 42 1.2 39 68 33.4 53.3 40 31 5.5 4 5.3 23;p=0 2.1 3.2 6.0 1.5 7.6 3

18、.4 5.6 3.1 2.7 2.9 5.1 5.7 2.7 4.5 7.6;for i=1:16 f1(1,i)=r(1,i)-p(1,i);endf=(t-1)*f1*0.01,t;A=0 42 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 54 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 60 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 42 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 1.2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 39 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 68 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 33.4 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 53.3 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 40 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 31 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0