数学基本原理及其灵活运用 不分版本

1、数学基本原理及其灵活运用一. 本周教学内容： 灵活运用数学的规律和法则，是提高数学能力的重要方面。数学的规律或者原理，通常是指定律、性质、公理、定理、公式、法则等，它们也是重要的数学基础知识。对于这些基本知识不能满足于死背结论，而要了解它们的来龙去脉，确切理解它们的条件和结论，以及它们的数学表达式及其变化形式，这样才能灵活地运用。二. 重点、难点： 重点是数学基础知识，规律和原理。 难点是数学规律法则的灵活运用。【例题分析】 例1 计算： 分析：直接运算似乎是不可能的，应用运算规则和逆用积的幂的运算法则。乘方的幂的运算法则可以找到简捷的方法。 解：原式 例2 化简： 分析：直接运算比较困难，观

2、察题目特征，将分子恒等变形后，把同分母分式相加减的运算法则逆向使用。 解：原式 从上面例题可以看到，在解题中不仅要会正向使用一些性质、法则，而且要会逆向使用。 例3 一元二次方程的两根为，求的值。 分析：由条件出发，设、为一元二次方程的两个根，直接解出、，再代入求根式的值，显然相当麻烦。从结论分析，容易想到把结论变形为用、表达的形式，利用根与系数的关系求出与的值，代入即可。 错解：一元二次方程的两根为、 观察一下，错误在哪里呢？原来，应用二次根式的性质时，忽略了法则的条件，因为要。而这里的是由题目条件制约的。由，可知均为负，下面给出正确解答。 正解一：一元二次方程的两根为 正解二：一元二次方程

3、的二根为 由算术根的知识可得： 例4 化简： 分析：对于容易想到分母有理化，得到下述解法，这样解法对吗？ 错解：原式 事实上，在分母有理化的过程中，分子、分母同乘以，这里违背了“同乘以一个不等于零的代数式”的基本法则，因为当时，。所以答数虽对，但过程不对。 正确：原式 例5 已知关于x的方程有两个实根，并且，求q的取值范围。 分析：求q的取值范围需要综合应用和根与系数的关系，使与p、q建立联系。 解：有两个实数根 又的两个根 代入(1)，得： 即 (2) 又 ，得 (3) 综合(2)(3)可知q的取值范围是 例6 设是方程的两个根，试求下列各式的值： (1) (2) (3) 解：由根系关系，有

4、： (1)； (2)； (3)。 采用同样的方法，经常需要计算的式子还有，等，可以练习，熟练地进行计算。【考点解析】 例1. 如图，AB是O的直径，D是BA延长线上一点，DC切O于点C，垂足为P，E是BC上一点，。 （1）判断线段PE、DC所在线段是否平行，并证明你的结论； （2）求O的直径； （3）若M、N分别是线段BC、BD上的动点（M与B、C不重合），且。设MN的长为，四边形MCDN的面积为y，求y与的函数关系式，并写出自变量的取值范围。 分析：（1）连结OC、AC，证，得 证，得 即 已知 （2）由（1）可得，设，则 通过用切割线定理，再证 可得 （3）由（2）得， 由，可设CP7m，

5、则DP24m，通过勾股定理，可求得 即 例2. 已知：如图，矩形ABCD的边长。把这矩形放入平面直角坐标系中，使AB在轴正半轴上，C、D落在第一象限，且点D在直线上，以AB为直径作M，抛物线经过A、B两点，顶点为P。 （1）求点A、B、M的坐标； （2）若点P在M外且在矩形ABCD内时，求a的取值范围； （3）在（2）中，若OP与M相切，切点为Q，求此时抛物线的解析式。 分析：（1）D点在直线上，又已知，也就是D点的纵坐标为2，把代入直线解析式中，得，所以A点的横坐标为1。 。 （2）点P在AB的垂直平分线上 点的横坐标为 又因为已知点P在M外且在矩形ABCD内，所以点P的纵坐标。由于抛物线经

6、过A、B两点，可以设抛物线解析式，将P点横坐标代入当中，得即 解这个不等式 （3）连结MP、MQ，由切割线定理 得出，由，可得，求出 由勾股定理可求出 可得出 所以P点的坐标 设抛物线的解析式为，将P点坐标代入，得 抛物线解析式 即。 点评：本题几何与代数的综合题，用到了一次函数、二次函数、切割线定理、勾股定理等知识。【模拟试题】一. 选择题： 1. 若，则直线的图象必经过( ) A. 第一、二、三象限 B. 第二、三象限 C. 第二、三、四象限 D. 以上均不对 2. 把式子中根号外的因式移入根号内，则原式等于( ) A. B. C. D. 3. a是实数，且方程的一个根与的一个根互为相反数

7、，则方程的根是( ) A. 1，2B. 1，2 C. 0，3D. 4. 已知直线：，：。且，则直线的大致位置是( ) 5. 抛物线的图象如下图，下列结论正确的是( ) A. 点在第四象限 B. 点在第三象限 C. 点在第二象限 D. 点在第一象限 6. 如图，正比例函数和的图象分别与双曲线和相交于A、C两点，若的面积是面积的两倍，那么点P(m，n)在下列函数( )的图象上。 A. B. C. D. 二. 填空题： 1. 计算：_。 2. 与有一公共根，为非公共根，则_。三. 解答题： 1. 已知一次函数和二次函数。 (1)若它们图象的一个交点是(b，4)，求b及二次函数图象的对称轴； (2)若

8、这个二次函数图象顶点为M(m，n)，m<n，求p的取值范围；又若顶点在y轴左侧，求p的整数值。 2. 一个三角形以A(0，0)，B(1，1)及C(9，1)为三个顶点，一条与x轴相垂直的直线将该三角形划分成面积相等的两部分，求该直线的方程。 3. 设梯形ABCD中，ABCD5，AD7，BC13，E为AD上的定点，AE4，动点P从D出发，沿着梯形的周界依次经过C，B，最后到达A，设点P走过的距离为x，的面积为y，把y表示成x的函数，且画出图象。 4. 试求：当k为何值时，关于x的方程有三个或三个以上的实数根。 5. m取何值时，方程在区间(4，0)中有两个不相等的实数根。【疑难解答】 A.

9、教师自己设计问题。 1. 解答题第1小题的解题思路是什么？ 2. 解答题第2小题怎样运用数形结合的思想？ 3. 解答题第4小题怎样运用分类讨论的思想？ 4. 解答题第5小题怎样运用函数的思想？ B. 对问题的解答： 1. 解：(1)点(b，4)是图象和的交点 得 由对称轴公式， (2)M(m，n)是抛物线的顶点 由，得 即 解得 又若M(m，n)在y轴左侧，即m<0 ，则 可得 符合条件的整数值为1或2 2. 思路分析：由三角形面积公式知，设直线方程是。(如图所示) AC直线过(0，0)及(9，1)，所以AC的直线方程为 设BC与直线xa的交点是D(a，1)，AC与直线xa的交点是 ，解

10、得a3，所以直线方程是x3。 3. 思路分析：讨论曲线C：与动直线：的相关位置 (1)当时，C与不相交，方程无实根。 (2)当时，C与有一个交点，方程有一个实根。 (3)当时，C与有两个交点，方程有两个实根。 (4)当时，C与有三个交点，方程有三个实根。 (5)当时，C与有四个交点，方程有四个实根。 (6)当时，C与有三个交点，方程有三个实根。 (7)当时，C与有两个交点，方程有两个实根。 综上分析，当时，方程有三个或三个以上的实数根。 4. 思路分析：问题可转化为确定函数的图象，与x轴交点在(4，0)与(0，0)之间时的m取值范围。 开口向上，且抛物线与x轴的交点在(4，0)和(0，0)之间，顶点在x轴下方，所以有以下关系式： 解得： 所以m的取值范围是【试题答案】一. 1. B 2. D 3. C 4. C 5. D 6. D二. 1. 2. 1三. 1. (1) (2) 2. 答：直线方程是