勾股定理练习题及答案共6套

1、For personal use only in study and research; not for commercial useFor personal use only in study and research; not for commercial use8.一个零件的形状如图所示，已知AC=3cm,AB=4cm,BD=12cm。求CD的长.勾股定理课时练（1）1.在直角三角形ABC中，斜边AB=1，则AB2，BC2，AC2的值是（）A.2B.4C.6D.82.如图18-2-4所示，有一个形状为直角梯形的零件ABCD,AD/BC,斜腰DC的长为10 cm,/D=120，则该零件另一

2、腰AB的长是_cm（结果不取近似值）.3.直角三角形两直角边长分别为5和12,则它斜边上的高为_.4.一根旗杆于离地面12m处断裂，犹如装有铰链那样倒向地面，旗杆顶落于离旗杆地步16m,旗杆在断裂之前高多少m?第 8 题图9.如图，在四边形ABCD中，/A=60,ZB=ZD=90,BC=2 CD=3求AB的长.5.如图，如下图，今年的冰雪灾害中，一棵大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树杆底部第5题图第 9 题图10.如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8km北7km处,他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少？MN11如图，

3、某会展中心在会展期间准备将高5m,长13m,宽2m的楼道上铺地毯，已知地毯平方米187.如图所示，无盖玻璃容器，高18cm，底面周长为60cm，在外侧距下底1cm的点C处有一 蜘蛛，与蜘蛛相对的容器的上口外侧距开口1cm的F处有一苍蝇，试求急于扑货苍蝇充饥的蜘蛛，12.甲、乙两位探险者到沙漠进行探险，没有了水，需要寻找水源为了不致于走散，他们用两部 对话机联系，已知对话机的有效距离为15千米早晨8:00甲先出发，他以6千米/时的速度向东行走，1小时后乙出发，他以5千米/时的速度向北行进，上午10:00,甲、乙二人相距多远？ 还能保持联系吗？元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要多少元钱6.

4、飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩子头顶正上方4000米处,过了20秒,飞机距离这个男孩头顶5000米，求飞机每小时飞行多少千米？5m米处，那么这棵树折断之前的高度是_米.所走的最短路线的长度在直角三角形CBD中，根据勾股定理，得CD=BC+BD=25+12M69,所以CD=13.第一课时答案:2 2 2 2 21.A，提示：根据勾股定理得BC2- AC2=1，所以AB2 BC2- AC2=1+1=2；9.解：延长BC AD交于点E.（如图所示）VZB=90，ZA=60，ZE=30又TCD=3二CE=6 / BE=8,2.4，提示：由勾股定理可得斜边的长为5m，而3+4-5=2m，所

5、以他们少走了4步.3.60，提示：设斜边的高为X，根据勾股定理求斜边为13 12252= . 169 =13，再利设AB=X，则AE=2X，由勾股定理。得(2X)2- X2=82,X =8、3310.如图，作出A点关于MN的对称点A,连接AB交MN于点P,则A11用面积法得，5 1213 x,x224.解：依题意，AB=16m,AC=12m,在直角三角形ABC中，由勾股定理，B就是最短路线.在RtADB中，由勾股定理求得AB=17km2 2 2 2 2 2BC =ABAC =1612 =20,11.解：根据勾股定理求得水平长为132-52=12m,2地毯的总长 为12+5=17(m),地毯的面

6、积为17X2=34(m),所以BC=20m,20+12=32(m),故旗杆在断裂之前有32m高.5.86.解：如图,由题意得，AC=4000米,/C=90 ,AB=5000米,由勾股定理得BC=、50002- 40002= 3000（米）,铺完这个楼道至少需要花为:12.解：如图，甲从上午走了12千米，即OA=12.乙从上午9:00到上午10: 走了5千米，即OB=5.在RtOAB中，34X18=612（元）8:00到上午10:00一共走了2小时,00一共走了1小时,AB2=122十52=169，.AB=13,3所以飞机飞行的速度为 亠-20=540(千米/小时)36007.解：将曲线沿AB展

7、开，如图所示，过点C作CELAB于E.在Rt ：CEF, /CEF =90，EF=18-1-1=16（cm），CE= -30（cm）,2. 601513,甲、乙两人还能保持联系.因此，上午10:00时，甲、乙两人相距13千米.由勾股定理，得CF=.CE2EF2=一302162=34（cm）8.解：在直角三角形ABC中，根据勾股定理，得2 2 2 2 2BC二AC AB =34 =251勾股定理的逆定理（2）一、选择题1.下列各组数据中，不能作为直角三角形三边长的是（）A.9，12，15 B.53C.0.2，0.3，0.4D.40，41，9442.满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（）A

8、.三个内角比为1:2:1B.三边之比为1:2: 5C.三边之比为 3:2:5D.三个内角比为1:2:33.已知三角形两边长为2和6,要使这个三角形为直角三角形，则第三边的长为（）7.已知三角形ABC的三边长为a, b, C满足a北mo,ab=18，C = 8，则此三角形为_三角形.12.如图，为修通铁路凿通隧道AC,量出/A=40ZB=50,AB= 5公里，BC= 4公里，若每天凿 隧道0.3公里，问几天才能把隧道AB凿通？8.在三角形ABC中,AB=12cm，AC=5cm，BC=13cm，贝U BC边上的高为AD=_cm.三、解答题9.如图，已知四边形ABCD中，/B=90，AB=3，BC=

9、4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的 面积.A.2B.2、10C.4 2 或 2 10D.以上都不对4.五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25,现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的是（）11.如图，AB为一棵大树，在树上距地面10m的D处有两只猴子，它们同时发现地面上的C处有 一筐水果，一只猴子从D处上爬到树顶A处，利用拉在A处的滑绳AC，滑到C处，另一只猴子 从D处滑到地面B,再由B跑到C,已知两猴子所经路程都是15m，求树高AB.(B)715(C)CD、填空题5.ABC的三边分别是7、24、25,则三角形的最大内角的度数是6.三边为9、12、15的三角形，其面积为.

10、10.如图，E、F分别是正方形ABCD中BC和CD边上的点，且AB=4，CE=4BC，F为CD的中1第 9 题图第n组，a = 2n1,b = 2n(n 1),c = 2n(n 1)118.2勾股定理的逆定理答案：一、1.C；2.c；3.c，提示：当已经给出的两边分别为直角边时，第三边为斜边=.2262= 2 .10;当6为斜边时，第三边为直角边=；62-24 2；4. c；二、5.90提示：根据勾股定理逆定理得三角形是直角三角形，所以最大的内角为一190.6.54，提示：先根基勾股定理逆定理得三角形是直角三角形，面积为9 12 =54.7.2直角，提示：(a b)2-100,得a2b22ab

11、=100,a2b2=100-2 18 = 64=82=c2；860，提示：先根据勾股定理逆定理判断三角形是直角三角形，再利用面积法求得131112 513 AD；22三、9.解：连接AC，在RtABC中，AC2=AB2+BC2=32+42=25，/AC=5.在厶ACD中，TAC2+CD2=25+122=169， 而AB2=132=169，/ AC2+CD2=AB2，二 /ACD=90.1111故S四边形ABCDAABC+ SAACD=ABBC+ACCD = X 3X4+X5X12=6+30=36.2 2 2 210.解：由勾股定理得AE2=25，EF2=5，AF2=20，TAE2= EF2+A

12、F2，AEF是直角三角形11.设AD=x米，贝U AB为(10+x)米，AC为(15-x)米，BC为5米，( x+10)2+52=( 15-x)2,解 得x=2，.10+x=12(米)12.解：第七组，a=2 7 1=15,b = 2 7 (7 1) =112,c = 1121 = 113.、基础巩固1.满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是()A.三内角之比为1:2:3B.三边长的平方之比为1:2:3C.三边长之比为3:4:5D.三内角之比为3:4:53._如图18-2-5,以RtABC的三边为边向外作正方形， 其面积分别为S1、S?、S3,且St=4, S2=8, _则AB的长为.4.

13、如图18-2-6,已知正方形ABCD的边长为4, E为AB中点，F为AD上的一点，且AF=AD,4试判断EFC的形状.5.个零件的形状如图18-2-7,按规定这个零件中/A与/BDC都应为直角，工人师傅量得零件各边尺寸：AD=4,AB=3,BD=5,DC=12 , BC=13，这个零件符合要求吗？图18-2-79.如图18-2-9所示，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为A(3,1) ,B(2,4), OAB是直角三角形吗？借助于网格，证明你的结论L14/2cA门AJ.图18-2-910.已知：在ABC中，/A、/B、/C的对边分别是a、b、c,满足a2+b2+c2+338=10a+24b

14、+26c.试判断ABC的形状.6.已知ABC的三边分别为k2-1,2k,k2+1(k1),求证：ABC是直角三角形12.已知：如图18-2-10,四边形ABCD,AD/BC,AB=4,BC=6,CD=5,AD=3.求：四边形二、综合应用7.已知a、b、c是RtAABC的三边长，A1B1C1的三边长分别是2a、2b、2c,那么人袒心是直角三角形吗？为什么？勾股定理的逆定理(3)2.如图18-2-4所示，有一个形状为直角梯形的零件ABCD,AD/BC,斜腰DC的长为10 cm,/D=120则该零件另一腰AB的长是_cm(结果不取近似值)8.已知：如图18-2-8,在厶ABC中，CD是AB边上的高，

15、且CD2=AD- BD.求证：AABC是直角三角形.图18-2-5图18-2-6图18-2-8图18图18-ABCD的面积.2-10图18-2-5图18-2-6思路分析：因为ABC是RtA，所以BC2+AC2=AB2，即S什S2=Sa,所以Sa=12，因为Sa=AB2,参考答案一、基础巩固1.满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是()A.三内角之比为1:2:3B.三边长的平方之比为1:2:3C.三边长之比为3:4:5D.三内角之比为3:4:5思路分析：判断一个三角形是否是直角三角形有以下方法：有一个角是直角或两锐角互余；两边的平方和等于第三边的平方；一边的中线等于这条边的一半由A得有一个角

16、是直角；B、C满足勾股定理的逆定理，所以应选D.答案：D2.如图18-2-4所示，有一个形状为直角梯形的零件ABCD,AD/BC,斜腰DC的长为10 cm,/D=120，则该零件另一腰AB的长是_cm(结果不取近似值).B E 图18-2-4解：过D点作DE/AB交BC于E,则DEC是直角三角形四边形ABED是矩形，AB=DE.vZD=120，二/CDE=30 .又丁在直角三角形中，30所对的直角边等于斜边的一半，CE=5 cm.根据勾股定理的逆定理得，DE=訥02_52=53cm./AB=102-52=5.3cm.3.如图18-2-5,以RtABC的三边为边向外作正方形， 其面积分别为S1、

17、S?、S3,且S=4, S2=8，_则AB的长为_.所以AB= .s3二12 =2、.3.答案：2314.如图18-2-6，已知正方形ABCD的边长为4,E为AB中点，F为AD上的一点，且AF= AD,4试判断EFC的形状.思路分析：分别计算EF、CE、CF的长度，再利用勾股定理的逆定理判断即可.解：vE为AB中点，BE=2.22222二CE =BE +BC =2 +4 =20.同理可求得,EF2=AE2+AF2=22+12=5,CF2=DF2+CD2=32+42=25.vCE2+EF2=CF2,EFC是以ZCEF为直角的直角三角形.AD=4,AB=3,BD=5,DC=12 , BC=13，这

18、个零件符合要求吗?图18-2-7思路分析：要检验这个零件是否符合要求，只要判断厶ADB和厶DBC是否为直角三角形即可,这样勾股定理的逆定理就可派上用场了.解：在ABD中，AB2+AD2=32+42=9+16=25=BD2,所以ABD为直角三角形，ZA =90.在厶BDC中，2 2 2 2 2 2BD +DC =5 +12 =25+144=169=13 =BC .所以BDC是直角三角形，ZCDB =90 .因此这个零件符合要求.2 26.已知ABC的三边分别为k-1,2k,k +1(k1),求证：ABC是直角三角形.5.个零件的形状如图18-2-7,按规定这个零件中ZA与ZBDC都应为直角，工人

19、师傅量得零件各边尺寸:思路分析：根据题意，只要判断三边之间的关系符合勾股定理的逆定理即可证明：vk2+1k21,k2+1-2k=(k-1)20,即k2+12k，二k2+1是最长边.v(k2-1)2+(2k )2=k4-2k2+1+4k2=k4+2k2+ 1=(k2+1)2,ABC是直角三角形.、综合应用7.已知a、b、c是RtAABC的三边长，AiBiCi的三边长分别是2a、2b、2c,那么AIBQI是直 角三角形吗？为什么？思路分析：如果将直角三角形的三条边长同时扩大一个相同的倍数，得到的三角形还是直角 三角形(例2已证).解：略8.已知：如图18-2-8,在厶ABC中，CD是AB边上的高，

20、且CD2=AD BD.求证：ABC是直角三角形.思路分析：根据题意，只要判断三边符合勾股定理的逆定理即可 证明：丁AC2=AD2+CD2，BC2=CD2+BD2，AC2+BC2=AD2+2CD2+BD22 2=AD2+2AD - BD+BD2 2=(AD+BD)2=AB2.ABC是直角三角形.9.如图18-2-9所示，在平面直角坐标系中， 点A、B的坐标分别为A(3，1)，B(2,4)，OAB是直角三角形吗？借助于网格，证明你的结论.2Jf斗rt2j cJ0.-1.X图18-2-9思路分析：借助于网格，利用勾股定理分别计算0A、AB、OB的长度，再利用勾股定理的逆定理判断厶OAB是否是直角三角

21、形即可.解：TOA2=OA12+A1A2=32+12=10,2 2 2 2 2OB =OB1+B1B =2 +4 =20,AB2=AC2+BC2=12+32=10, OA2+AB2=O B2 OAB是以OB为斜边的等腰直角三角形.10.阅读下列解题过程：已知a、b、c ABC的三边，且满足a2c2b2c2=a4b4，试判断ABC的形状.解：Ta2c2-b2c2=a4-b4，(A)C22 b2)=(a2+b(a2-b2)，(B)c2=a2+b2，(C).ABC是直 角三角形.问：上述解题.过程是从哪一步开始岀现错误的？请写岀该步的代号_;错误的原因是_;本题的正确结论是_.思路分析：做这种类型的

22、题目，首先要认真审题，特别是题目中隐含的条件，本题错在忽视 了a有可能等于b这一条件，从而得出的结论不全面.答案：(B)没有考虑a=b这种可能，当a=b时厶ABC是等腰三角形：厶ABC是等腰 三角形或直角三角形.11.已知：在ABC中，/A、/B、/C的对边分别是a、b、c，满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c.试判断ABC的形状.思路分析：(1)移项，配成三个完全平方；(2)三个非负数的和为0，则都为0;(3)已知a、b、c，利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状为直角三角形解：由已知可得a2-10a+25+b2-24b+144+c226c+169=0,配方并化简得,(a-5)

23、2+(b-12)2+(C-13)2=0.T(a- 5)20,(b- 12)20,(-13)20.a-5=0,b12=0,c13=0.解得a=5,b=12,c=13.又Ta2+b2=169=c2,ABC是直角三角形.12.已知：如图18-2-10，四边形ABCD，AD/BC，AB=4，BC=6，CD=5，AD=3.求：四边形ABCD的面积.思路分析：(1)作DE/AB，连结BD，则可以证明ABD EDB(ASA);DE=AB=4，BE=AD=3，EC=EB =3;在DEC中，3、4、5为勾股数，DEC为直角三 角形，DE丄BC;(4)利用梯形面积公式，或利用三角形的面积可解.解：作DE/AB，连

24、结BD，则可以证明ABD EDB(ASA),DE=AB=4，BE=AD=3.TBC=6,EC=EB=3.TDE2+CE2=32+42=25=CD2,图18-2-8:.DEC为直角三角形.又;EC=EB=3,:DBC为等腰三角形，DB=DC=5.在厶BDA中AD2+AB2=32+42=25=BD2,:BDA是直角三角形.氐BDA=1S=6；SDBC=16X4=12.2 2:S四边形ABCD=SABDA+SADBC=6+12=18.它们的面积分别为勾股定理的应用（4）1.三个半圆的面积分别为Si=4.5n,S=8n,Ss=12.5n，把三个半圆拼成如图所示的图形，则ABC定是直角三角形吗？说明理由

25、。2.求知中学有一块四边形的空地ABCD如下图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量/A=90AB=3m BC=12m CD=13m DA=4m若每平方米草皮需要200天，问学校需要投入多少资金买草皮？6.如图，在RtAABC中,ZACB=90，CD丄AB，BC=6 AC=8求AB、CD的长A3.（12分）如图所示，折叠矩形的一边求EC的长AD,使点D落在BC边上的点F处，已知AB=8cmBC=10cm4.如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8km北7km处，他想 把他的马牵到小河边去饮水，然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少？5.（8分）观察下列各式，

26、你有什么发现？32=4+5,52=12+13,72=24+25 92=40+41这到底是巧合， 还是有什么规律蕴涵其中呢？（1）_填空：132=（2）请写岀你发现的规律。（3）结合勾股定理有关知识，说明你的结论的正确性。7.在数轴上画岀表示. 17的点（不写作法，但要保留画图痕迹）8.已知如图，四边形ABCD中，ZB=90AB=4, BC=3 CD=12 AD=13求这个四边形的面积9.如图，每个小方格的边长都为1.求图中格点四边形ABCD的面积勾股定理复习题（5）、填空、选择题题:DBC3.有一个边长为5米的正方形洞口，想用一个圆盖去盖住这个洞口，圆的直径至少为（）米4、一旗杆离地面6米处折

27、断，旗杆顶部落在离旗杆底部8米处，则旗杆折断之前的高度是()米。6、 在厶ABC中，/C=90 ,AB=10。若/A=30 ,贝U BC_,AC_。(2)若/A=45贝寸BC=_,AC=_。8、在厶ABC中，/C=90,AC=0.9cm,BC=1.2cm.则斜边上的高CD= m2211、 三角形的三边a b c,满足(a b) -c = 2ab，则此三角形是_三角形。12、小明向东走80米后，沿另一方向又走了60米，再沿第三个方向走100米回到原地。小明向东走80米后又向_方向走的。13ABC中，AB=13cm ,BC=10cm，BC边上的中线AD=12cm则AC的长为_cm14、 两人从同一

28、地点同时出发，一人以3米/秒的速度向北直行，一人以4米/秒的速度向东直行,5秒钟后他们相距_米.15、 写出下列命题的逆命题，这些命题的逆命题成立吗？两直线平行，内错角相等。_()如果两个实数相等，那么它们的平方相等。_( ) 2 2若a二b，贝寸a=b_()全等三角形的对应角相等。_()角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。_( )16、下列各组线段组成的三角形不是直角三角形的是()(A)a=15 b=8 c=17 (B) a:b:c=1:3： 268(C) a=2 b= c=(D) a=13 b=14 c=155517、 若一个三角形的三边长为6,8,x,则使此三角形是直角三角形的

29、x的值是().A.8B.10 C.28D.10或2818、 下列各命题的逆命题不成立的是()A.两直线平行，同旁内角互补B.若两个数的绝对值相等，则这两个数相等19、有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇， 它高出水面1尺。 如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面。水的深度与这根芦苇的长 度分别是多少？20、一根竹子高1丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处.折断处离地面的高度是多少？(其中丈、尺是长度单位,1丈=10尺)21、某港口位于东西方向的海岸线上。“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海

30、里，“海天”号每小时航行12海里。它们离开港口一个半 小时后相距30海里。如果知道“远航号”沿东北方向航行，能知道“海天号”沿哪个方向航行吗？23、一根70cm的木棒,要放在长、宽、高分别是50cm,40cm,30cm的长方体木箱中，能放进去吗?(提示:长方体的高垂直于底面的任何一条直线.)22、请在数轴上标岀表示、.5的点C.对顶角相等2 2D.如果a=b或a+b=0,那么a = b、解答题:勾股定理复习题（6）1、如图所示，有一条小路穿过长方形的草地ABCD,若AB=60m,BC=84m,AE=100m, ?则这条小路的面积是多少？6.如图，从电线杆离地6米处向地面拉一条长10米的缆绳，这

31、条缆绳在地面的固定点距离电线 杆底部有多远？2、如图，已知在厶ABC中，CD丄AB于D,AC= 20, BC= 15,DB= 9。（1）求DC的长。（2）求AB的长3、 如图9，在海上观察所A,我边防海警发现正北6km的B处有一可疑船只正在向东方向8km的C处行驶.我边防海警即刻派船前往C处拦截.若可疑船只的行驶速度为40km/h，则我边防海警船的速度为多少时，才能恰好在C处将可疑船只截住？B8kmC*6kmr* 4、 如图，小明在广场上先向东走10米，又向南走40米，再向西走20米，又向南走40米，再向东走70米.求小明到达的终止点与原岀发点的距离.出发点10- -%40、20 -40%_%70终止点5、如图，小红用一张长方形纸片ABCD进行折纸，已知该纸片宽AB为8cm，?长BC?为10cm.当 小红折叠时，顶点D落在BC边上的点