向量组的线性相关性目标测试题(参考答案)

1、第四章 向量组的线性相关性目标测试题(参考答案)、填空题.1.设向量组 1(a,0, c),2(b, c, 0),3(0, a,b)线性无关，贝U a,b,c必满足关系式abc 0.2.已知向量组 1(2,1, 3,1), 2(3,1,2,0), 3(4,2,6, 2),4(4, 3,1,1)，贝够向量组的秩为 23.设三阶矩阵A 23，三维向量a1 ，若向量A与线性相关，则a -14.已知向量组 1(1, 2,1, 1)T,2(2,0, t, 0)T,3(0,4,5,2)T的秩为2，则t =_5.设1, 2, 3线性无关,问 k _1 时，21,k 33线性相关.6设1, 2L , s为非齐

2、次线性方程组 Ax b的解，若k1 1k22 L ks s也是方程组Ax b的解,则 k1, k2,L , ks 应满足条件 k1k2+Lks1.二、选择题.1 .设有向量组1(1, 1,2,4), 2(0,3,1,2), 3(3,0,7,14), 4(1, 2,2,0), 5(2,1,5,10),则该向量组的最大线性无关组(B ).(A)1， 2， 3，(B)(01,2,5 ,(D)2, 4,5 .2.设向量组3线性无关,则下列向量组线性相关的是(C ).it(A)12 ,2(B)f*I12 a3,(C)12 ,2(D)3线性无关,向量1可由1 ,2 ,3线性表示，而2不能由3线性表示，则对

3、任意常数k，必有(A ).(A)1,2, 3, k 12 线性无关；(B)1, 2, 3, k 12 线性相关；(C)1, 2, 3, 1 k 2 线性无关；(C) 1, 2,3, 1 k 2 线性相关.4 .设 1 (1, 0, 0)T,2 (0, 0, 1)T，则=(B )时， 可由 1, 2线性表示.(A)(2,0,0)( B)( 3, 0, 4)(C)(1 , 1 , 0)( D)(0, 1, 0)5.下列命题正确的是(D ).(A) 对于向量组_,，若有不全为零的数组k1,k2, ,ks，使得人：k2 -ks_ 0，则：，匚，-线性无关，(B) 对于向量组1, 2, s，若有不全为零

4、的数组k1，k2，,ks，使得k1 1 k2 2ks s 0,贝U 1, 2, , s线性无关，(C) 若向量组1, 2, , s线性相关，则其中每个向量都可由其余向量线性表示，(D) 任何n 1个n维向量必线性相关6设 1 (1, 2, 1)T, 2 (0, 5, 3)t, 3 (2, 14, 8)t，则向量组1, 2, 3 的秩是(C )(A) 0( B) 1( C) 2(D) 37 设A为m n矩阵，且r(A)n 1 ,1,2是Ax 0的两个不同的解向量，k为任意的常数，则Ax 0的通解为(C )(A)k 1(B)k 2(C) k( 12)(D) k( 12)三、计算题1设(2,1,2)

5、t,(4, 2, 3)t,(8, 8, 5)t，求数k使得2 k . (k 3)2.设-(1,1,2),；(1,2,3)二 (1,3,t).(1) 当t为何值时，-,-,1线性无关.(t 4)(2) 当t为何值时，1, 2, 3线性相关 (t 4)(3)当1, 2, 3线性相关时，将3用1,2线性表示.(3221)3.求向量组 1(3,1,2,1),2( 6,4, 1,5),3( 7,1, 3, 4),4(3,2,1, 2)的一个最大无关组，并用最大无关组表示其余向量.313(1 ,2，3;4小1亠 2 亠3)22 24确定常数 a 和 b使得 1(1,0, 1,2), 2(2, 1,3, a

6、), 3(1, 2,b,0)线性相关.(a 3,b 9.)5 设1, 2, 3线性无关，问当h, k满足什么条件时， h 21, k 32, 13也线性无关.(hk 1.)6 设t1, t2, t3为互不相等的常数，讨论向量组1 (1, t1, t2 )T , 2 (1,t2, t；) 3 (1, t3, tf)T 的线性相关性. (线性无关)7已知非齐次线性方程组x2 2x3 3x40,2x1 x2 6x3 4x41,3x1 2x2 ax3 7x41,为 x6x3 X4 b.讨论参数a, b取何值时，方程组有解、无解；当有解时，试用其导出组的基础解系表示通解(1)当b 2时，r(B) r(A)，方程组无解;(2)当b 2时，r(B) r(A)，方程组有解(a)若a 8，原方程组的通解为141x* 1 2Cl1C22C1彳C20 12 ( 、0， ( sc?).0 01(b)若 a8，原方程组的通解为1 1* 1 2xcc，0 0(c ?).)0 1四、证明题.1.设有向量组1 ,2 , m (m 1),且123m,213m,m12m 1证明：当向量组1, 2, , m线性无关时，向量组1, 2, , m也线性无关.2.证明，对任意实数 a，向量组1 (a, a, a,