导数的概念导数公式与应用

1、For personal use only in study and research;not for commercial use导数的概念及运算知识点一：函数的平均变化率（1 概念：函数中，如果自变量在处有增量 1.，那么函数值 y 也相应的有增量厶叟y=f（x 0+ x）-f（x 0），其比值匚叫做函数从至 U : + x 的平均变化率，即切二咫+&） 血）丄LL1.。V_/（乃）了（可）若 77，一厂-，则平均变化率可表示为-，称为函数；:从到的平均变化率。注意：1事物的变化率是相关的两个量的“增量的比值”。如气球的平均膨胀率是半径的增量 与体积增量的比值；2函数的平均变化率表

2、现函数的变化趋势，当 i取值越小，越能准确体现函数的变化 情况。3二一是自变量：在处的改变量，fl ;而是函数值的改变量，可以是 0。函数 的平均变化率是0,并不一定说明函数-工没有变化，应取二更小考虑。（2）平均变化率的几何意义V_/（可）-了（可）函数一 的平均变化率一的几何意义是表示连接函数“-图像上两点割线的斜率。如图所示，函数的平均变化率的几何意义是：直线 AB 的斜率。J 二划TE _/（乃）1/佃）_空事实上,r Y:0作用：根据平均变化率的几何意义，可求解有关曲线割线的斜率。知识点二：导数的概念：1 导数的定义：对函数: /:1,在点二；处给自变量 x 以增量,函数 y 相应有

3、增量空二 /（州+山）-/（砒-Jo若极限陆丸加 此丸加存在，则此极限称为在点处的导数，记作，此时也称在点处可导。畑=亠曲处凹型广=蘇型如即：二（或 .）1增量二 可以是正数，也可以是负数；2导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率。2导函数：如果函数二了亡;在开区间 二二内的每点处都有导数，此时对于每一个二-，都对 应着一个确定的导数-，：;；1，从而构成了一个新的函数 ,称这个函数为函数y 二他在开区间内的导函数，简称导数。注意：函数的导数与在点处的导数不是同一概念，二|是常数，是函数二|在 处的函数值，反映函数二：附近的变化情况。3 导数几何意义：（1）曲线的切线曲线上

4、一点 P（x, y）及其附近一点 Q（x+Ax,y+Ay），经过点 P、Q 作曲线的割线 PQ0,则有快=伽炉叟其倾斜角为当点 Q（xo+Ax,yo+Ay）沿曲线无限接近于点 P（xo，yo），即厶 x-0 时，割线 PQ 的极限位置直线 PT 叫做曲线在点 P 处的切线。若切线的倾斜角为二，则当x-0 时，割线 PQ 斜率的极限，就是切线的斜率。伽牛胁纽二尿如如如2即：_ 一 J0(2) 导数的几何意义：函数在点 X0 的导数是曲线上点(1)处的切线的斜率。注意：1若曲线二|在点2处的导数不存在，但有切线，则切线与：轴垂直。2:，切线与：轴正向夹角为锐角；川，切线与：轴正向夹角为钝角； /W

5、=o,切线与 x轴平行。(3) 曲线的切线方程如果r 二在点可导，贝 u 曲线 y = /W 在点J)处的切线方程为：4 瞬时速度：物体运动的速度等于位移与时间的比， 而非匀速直线运动中这个比值是变化的，如何了解非匀速直线运动中每一时刻的运动快慢程度，我们采用瞬时速度这一概念。如果物体的运动规律满足 s=s(t)(位移公式)，那么物体在时刻 t 的瞬时速度 v，就是物 体 t 至 U t+ t这段时间内，当 t 0 时平均速度的极限，即-丄 z。如果把函数 一 看作是物体的位移公式)，导数表示运动物体在时刻的瞬时速 度。规律方法指导1 .如何求函数的平均变化率求函数的平均变化率通常用“两步”法

6、：作差：求出和 A - 1作商：对所求得的差作商，即3 _ /（西）了佃）_/Oi+Az）/佃）（1）1一 ，式子中_、乙丁的值可正、可负，但 :的值不能为零，】的值可以为零。若函数一工为常数函数时，二-“。 _/也）-/（珂）（2）在式子宀 -二 中，匚与二 1 是相对应的“增量”，即在- 1 时，。一/山+&）-/佃）（3） 在式子一i中，当取定值，二:取不同的数值时，函数的平均变化率不同；当二取定值，】取不同的数值时，函数的平均变化率也不一样。2. 如何求函数在一点处的导数（1） 利用导数定义求函数在一点处的导数，通常用“三步法”。1计算函数的增量：Ay _/（x1+Ax）-/（

7、x1）2求平均变化率：一-一.、.；f（亦血叟二血张+塚一佩）3取极限得导数：一（2）利用基本初等函数的导数公式求初等函数的导数。3. 导数的几何意义1设函数门在点的导数是5，贝 L 5 表示曲线”二。蔦在点（.-I.1）处的切线的斜率。2设是位移关于时间的函数，则-表示物体在丨匸吒时刻的瞬时速度；3设是速度关于时间的函数，则表示物体在 I =辻时刻的加速度；4. 利用导数的几何意义求曲线的切线方程的步骤1求出 r 二；在处的导数5；2利用直线方程的点斜式得切线方程为1o类型一：求函数的平均变化率01、求L 在到寸也之间的平均变化率，并求 2-时平均变化率的值.Ay _/（x0+Ax）-/（x

8、0）思路点拨：求函数的平均变化率，要紧扣定义式 丄一A.进行操作.举一反三：【变式 1】求函数 y=5x2+6 在区间2，2+二内的平均变化率。【变式 2】已知函数厂一，分别计算；工在下列区间上的平均变化率:（1）1，3；（2）1，2；（3）1，1.1；（4）1，1.001.13一 一 一S二二隈【变式 3】自由落体运动的运动方程为二，计算 t 从 3s 到 3.1s，3.01s，3.001s 各段内的平均速度（位移 s 的单位为 mo【变式 4】过曲线-：；-上两点 d 和作曲线的割线，求出当二 时割线的斜率类型二：利用定义求导数举一反三:(1) 求函数在 x=4 处的导数.I?y二&

9、;F(4厂一)(2) 求曲线二 上一点:处的切线方程。O 2、用导数的定义，求函数y -/W=p、二在 x=1 处的导数。【变式 1】已知函数【变式 2】利用导数的定义求下列函数的导数:(1)；(4)3、求曲线 y=x3+2x 在 x=1 处的切线方程思路点拨：从函数在一点处的导数定义可求得函数 y=x3+2x 在 x=1 处的导数值，再由导 数的几何意义，得所求切线的斜率，将 x=1 代入函数可得切点坐标，从而建立切线方程.举一反三：【变式】在曲线 y=x2上过哪一点的切线:（1）平行于直线 y=4x5；（2）垂直于直线 2x 6y+5=0;（3）与 x 轴成 135的倾斜角。(2)/(g;

10、(3)-;知识点三：常见基本函数的导数公式（1）/to=c （C为常数）， 广=0（2） （n 为有理数），二 S（3）Jw，十！；（4）/h） = 8$x，/（x） = -smx（5（6）仮二，广（X）二/血（7）： ：，-（8）知识点四：函数四则运算求导法则设二 J 均可导（1） 和差的导数： 1. . -/ :-11:（2）积的导数：严）.二f （g（xKx） .0（盂）（3）商的导数：二；二F）知识点五：复合函数的求导法则儿讷叽或川灾）卜他）泌）即复合函数-对自变量；的导数，等于已知函数对中间变量： Z 的导 数，乘以中间变量；对自变量的导数-。注意：选择中间变量是复合函数求导的关键。

11、求导时需要记住中间变量，逐层求导，不 遗漏。求导后，要把中间变量转换成自变量的函数。规律方法指导1 求复合函数的导数的一般步骤1适当选定中间变量，正确分解复合关系；2分步求导(弄清每一步求导是哪个变量对哪个变量求导)；3把中间变量代回原自变量(一般是 x )的函数。整个过程可简记为分解一一求导一一回代，熟练以后，可以省略中间过程。若遇多重复 合，可以相应地多次用中间变量。类型一：利用公式及运算法则求导数01、求下列函数的导数：1(1 厂一 J ；举一反三：【变式】求下列函数的导数：厂 = -2 an-fl-2 cos2-)(1)- ; (2) 一(4) y=2x33X2+5X+4(3) y=6

12、x34X2+9X602、求下列各函数的导函数(1) 二一 丁- ;(2) y=x2sinx;r+ix+co$x(3) y= 丁- ;(4) y=.二：举一反三：j【变式 1】函数- lL;11 在.1 一处的导数等于()A. 1B. 2C. 3D. 4【变式 2】下列函数的导数2y -l-(1)二 _ .1、； _ . | ；(2)X【变式 3】求下列函数的导数.尸 +丄+4)丿=(& +1)(*-1)(1)-； ： ; (2)、二类型四：复合函数的求导0 3、求下列函数导数1y =-(1) -：;(3)举一反三：【变式1】求下列函数的导数:(1) II（3） y=ln （x+“ ）;

13、（4） I -.-1：. :I类型五：求曲线的切线方程4、求曲线 y=x3+2x 在 x=1 处的切线方程.举一反三：1J 关二一(匚【变式 1】求曲线，在点二处的切线的斜率，并写出切线方程【变式 2】已知 匸，是曲线y-上的两点，则与直线尸。平行的曲线y-的 切线方程是 .【变式 3】已知曲线.(1)求曲线上横坐标为 1 的点处的切线的方程;(2)第(1)小题中的切线与曲线是否还有其他的公共点?【变式 4】如果曲线二川的某一切线与直线:,-平行，求切点坐标与切 线方程.O5、已知直线为曲线； + - 在点(1, 0)处的切线，I 为该曲线的另一条切线, 且丄一.(1) 求直线的方程；(2)

14、求由直线、：和；轴所围成的三角形的面积举一反三:【变式 1】曲线在点(1,1)处的切线与丄轴、直线：二所围成的三角形的面积为【变式 2】曲线二在（0,1）处的切线与.的距离为心，求.的方程.以下无正文仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途For personal use only in study and research; not for commercial use.Nur fur den pers?nlichen fur Studien, Forschung, zu kommeten Zwecken verwendet werden.Pour l etude et la recherc

15、he uniquementades fins personnelles; pasades fins commerciales.以下无正文UCnO员B30BaTbCEBKOMMepqeckuxue贝EX.TO员BKOgA.nrogeHKO TOpMenob3ygmccH6yHeHu uac egoB u HHuefigoHM以下无正文仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途For personal use only in study and research; not for commercial use.Nur fur den pers?nlichen fur Studien, Forschu