川师概率论习题解答

1、习题一详细解答1 1、某工人加工了三个零件，设事件A为“加工的第i个零件是合格品” (i 1,2,3)，试用AA2A3表示下列事件：(1 1)只有第一个零件是合格品；(2 2)只有一个零件是合格品；(3 3 )至 少有一个零件是合格品；(4 4)最多有一个零件是合格品。解:(1)AAA3(2 2)AAA AAA3 AAAA2A3( 4 4)A1A2A2A3A A32 2、一名射手连续向某个目标射击三次，设A表示“该射手第i次射击时击中目标” (i 1,2,3)。试用文字叙述下列事件：A(A2；AA2A3；A3A2；AA2；A2A3；AIA2A1A3A3A2解：A1A2= =A A2表示前两次均

2、未击中目标；A1A2A3表示三次射击中至少有一次击中目标;A3A2表示第三次击中但第二次未击中;A2A3表示后两次中至少有一次未击中目标;A1A2A1A3A3A2表示三次射击中至少有两次击中目标。3 3、设A和B是同一试验E的两个随机事件，求证：1P(A) P(B) P(AB) P(A B)证明：Q AB A A BP(AB) P(A B)由概率的性质和事件的运算律，可得：P(A) P(B) P(A B) P(AB) 1 P(AB)1 P(A) P(B) P(AB)4 4、已知11P(A), ,P(B)43(1 1)当A,B互斥时，P(AB)P(B)153(2 2)当A B时，求P(AB)P(

3、BA)1 1 1P(B) P(A)3412(3)A(3 3)当P(AB)丄时，求P(AB) P(B115A) P(B) P(AB)838245 5、已知P(A B) 0.7, P(A) 0.5, P(B) 0.4, ,求P(AB), ,P(A B),P(AUB).解 由P(A B) P(A) P(B) P(AB)，得P(AB) P(A) P(B) P(A B) 0.5 0.4 0.70.2P(A B) P(A) P(AB) 0.5 0.20.3P(AU B) P(AB) 1 P(AB) 1 0.20.8. .116 6、设有事件A、B、C, ,已知P(A) P(B) P(C) -,P(AB)

4、P(BC) 0,P(AC)-, ,48求A、B、C中至少有一个发生的概率P(B) P(C) P(AB) P( BC) P(CA) P(ABC)44488. .7 7、袋中有均匀的 5 5 个红球和 3 3 个黄球，从中任取两个球，求摸出的两个球都是红球的概率。8 8、将一枚均匀的色子抛掷两次，求两次出现的点数之和等于8 8 的概率。5解：设 A=A= “两次出现的点数之和等于8 8”，P(A)369 9、将n个人等可能地分配到N(n N)间房的每一间中去，试求下列事件的概率:(1)(1) 某指定的 n n 间房中各有一人;(2)(2) 恰有 n n 间房各有一人N间房去都有N种分法，所以样本空

5、间中含有Nn个基本事件。(1(1) 设A= = “某指定的所以n间房中各有一人”，则有n!P(A)n；N(2(2)设B= = “恰有n间房各有一人”，则需要先从N人，所以有CNn!种分法。1010、一副扑克牌 5252 张(没有大小王)，从中任意抽取 1313 张，求至少有 1 1 张“J J”的概率？解：设A“任意抽取的 1313 张中至少有 1 1 张是 J J”，样本空间中样本总数为C13。直接计算很所以P(B)CNn!解 由ABC AB，得0 P(ABC)P(AB) 0,因此，P(ABC) 0. .P(A B C) P(A)解：设A“摸出的两个球都是红球”，则P(A) C5C；514解

6、：因为把每一个人分配到n!种分法。间房中选出n间房，再把它们分配给n个麻烦，所以由对立事件来计算，则A= = “任意抽取的 1313 张中没有 1 1 张是 J J”而A中的样本_C13点数是C483。故P(A)Ip(A)I4830-696C521111、在一个池中有 3 3 条鱼甲、乙、丙，这三条鱼竞争捕食。设甲或乙竞争到食物的机会是, 甲或丙竞争到食物的机会是，且一次竞争的食物只能被一条鱼享用。求哪条鱼是最优的捕食 者？解：设A、B、C分别表示鱼甲、乙、丙竞争到食物的事件。由题意得：P( AB) =P (BC) =P (AC =0,P(A B)1-,P(A2C)专因此，P(A13B)P(A

7、) P(B),P(A2C) P(A)p(c)又由题意知，P(AB C) P(A) P(B)P(C) 1111由上面三个式子解得：P( A二一，P(B)二一,P(C)二. .442所以丙鱼是最优的捕食者。1212、将 C,C,EC,C,E 丄,I,N,S,I,N,S 等 7 7 个字母随机排成一排，求恰好排成英文单词SCIENCESCIENCE 的概率?解：设A“排成英文单词 SCIENCESCIENCE ”。由于两个 E E 可以交换，两个 C C 可以交换，所以事件 A A 的概率为：PA丝7!1260内发生特大洪水的概率为85%85%。现该地区已 3030 年无特大洪水，问未来 1010

8、年内该地区发生特 大洪水的概率是多少?1313、设有任意两数x和y满足0 x 1,0解：试验的样本空间为区域(X, y) 0所求事件为A，则A (x, y) xy -,031y 1，求xy的概率。3x 1,0 y 1， 为一个正方形，面积为 1 1，设x 1,0 y 1,，A的面积为1丄 dx33x1 1ln333所以P(A)A勺面积的面积1 1 ln33311414、设某地区在历史上从某次特大洪水发生后1 I n333030 年内发生特大洪水的概率为80%80%，在 4040 年解：设A“该地区从某次特大洪水发生后3030 年内无特大洪水”。设B“该地区从某次特 大洪水发生后 4040 年内

9、无特大洪水”，则所求概率为P(B|A). .又AB B, ,由条件概率的计算公式和性质，得:,P(AB) P(B)P(B A) 1 P(B A) 111 0.750.25P(A) P(A)11 1515、设A B、C是随机事件，A、C互不相容，P(AB) ,P(C)，求P(AB|C) 23解：由A C互不相容，则AC ,P(AC) 0.1616、一批灯泡共 100100 只，次品率为 10%10%。不放回地抽取 格品的概率。解：记A= =第 i i 次取得合格品(i 1,2,3)所求概率为P(AAA3)10990QP(A) ,P(A2A1) ,P(A3A2A1)v 71002I 99刿98P(

10、A1AA) P(A1)P(A2A1)P(A3AA)_990100 99 980.00831717、两台车床加工同样的零件，第一台出现废品的概率是0.03，第二台出现废品的概率是0.02，加工出来的零件放在一起，并且已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍，求任意取出的零件是合格品的概率？解：设事件A表示“取出的零件是第 i i 台车床加工的零件”零件是合格品”，则P(A)2,P(A2) ，P(BA) 0.97, P(B A2) 0.98.由全概率公式，3321得：P(B) P(A)P(B|AJ P(A2)P(B |A2)0.970.98 0.973331818、根据美国的一份资料报道， 在

11、美国患肺癌的概率为0.1%。在普通人群中有 20%20%是吸烟者,他们患肺癌的概率约为0.4%，求不吸烟者患肺癌的概率为多少？解：以C记“患肺癌”，以A记“吸烟”。又ABC AC，得P(ABC) 0由条件概率的定义得:P(ABC)P(ABC)P(C)P(AB) P(ABC)1 P(C)3 3 次，每次一只，求第三次才取到合(i 1,2)，事件B表示“取出的由已知得P A 0.20, ,P C|A 0.004,P C 0.001,故所求概率为pC|A，由全概率公式，有P C P C|A P(A) P C|AP A0.001 0.004 0.20 P C|A (1 0.20)P C|A 0.002

12、51919、一个工厂有甲、乙、丙三个车间生产同一种螺钉，每个车间生产量分别占总产量的25%25%、35%35%、40%40%，每个车间中二等品分别占 50%50%、40%40%、20%20%。今全厂的该种产品中随机抽取一个， 发现是二等品，它恰是由甲、乙、丙车间生产的概率分别是多少？解：记 A=A=抽到产品是甲车间生产的，A2= =抽到产品是乙车间生产的，人3= =抽到产品是丙车间生产的，以C记“抽到螺钉为二等品”，。由题意知：绿三种颜色。现在从这 4 4 张卡片中任取一张，用A、B、C分别表示事件“取出的卡片上涂有红色”，“取出的卡片上涂有黄色”，“取出的卡片上涂有绿色”。试判断三个事件A、

13、B、C相互独立吗？11解：由已知得：P(A) P(B) P(C) , P(AB) P(BC) P(AC) P(ABC)-24所以有P(AB) P(A)P(B)，P(BC) P(B)P(C)，P(AC) P(A)P(C)故三个事件A、B、C是两两独立的。但是P(ABC) P(A)P(B)P(C)，所以三个事件253540P(A),P(A2),P(A3),110021001005040，P(C A2),P(C A3)P(C A)由贝叶斯公式, 得随机抽取一个螺钉发现是二等品,20100.它恰是由甲、乙、丙车间生产的概率分别为：P AICP A2ICP A,|CP A P C| A_ 25；PAPC

14、IA P A,P C|A2P A3P C IA,69；P A2P C | A228PA,PC|A P A,P C|A2PA3PC|A 69；P A3P C | A316PAPCIA PAPC|A2PA.PCIA 69.2020、设有 4 4 张同样的卡片，1 1 张涂上红色,1 1 张涂上黄色，1 1 张涂上绿色,1 1 张涂上红、黄、A、B、C不是相互独立的。2121、假定每个人的血清中含有肝炎病毒的概率为0.0040.004,混合 100100 个人的血清，求此混合血清含肝炎病毒的概率。解：记 人= =第i个人的血清中含病毒，i 1,2, 100。100由经验可以判定A间是相互独立的，题目

15、需求PAi，因A间显然不是两两相斥i 1的，用加法公式计算就很麻烦，我们可以用对偶原理，将事件的并的运算转化为事件的交的运算，从而改用乘法公式。即100P丿i 1100Ai1 PAi1 P A1PAwAw0=1=1 ( 1 1- 0.0040.004)100=0.33=0.33。i 12222、设在独立重复试验中每次试验成功的概率是0.5，问需要进行多少次试验，才能使至少成功一次的概率不小于0.9？ 解：设需要进行n次独立重复试验，则在n次试验至少成功一次的概率为1巳(0)1 (1 0.5)n由题意得不等式：1 (1 0.5)n0.9解得：n 3.3所以n 42323、一射手对冋一目标进行四次射击，若至少命中一次的概率为80，求该射手的命中率?81解：设该射手的命中率为p，由贝努里概型的计算公式，得:2424、设 1010 件产品中有 4 4 件不合格品，从中任取 2 2 件，已知两件中有一件是不合格品,求另一件也是不合格品的概率?_2_P(AB) 151C0p0(1P)48081解：设A“已知两件中有一件是不合格的”B“另一件是不合格的”而P(AB)C2G2。215P(AB)C6CG2