2017年广西钦州市高新区（上）11月月考数学（文科）试卷

1、2016-2017学年广西钦州市高新区高三（上）11月月考数学试卷（文科）一、选择题1已知f（x）为R上的可导函数，且xR，均有f（x）f（x），则以下判断正确的是（）Af（2013）e2013f（0）Bf（2013）e2013f（0）Cf（2013）=e2013f（0）Df（2013）与e2013f（0）大小无法确定2dx等于（）ABCD23定义在R上的函数y=f（x），满足f（1x）=f（x），（x）f（x）0，若x1x2且x1+x21，则有（）Af（x1）f（x2）Bf（x1）f（x2）Cf（x1）=f（x2）D不能确定4若曲线y=kx+lnx在点（1，k）处的切线平行x轴，则k=（）A

2、1B1C2D25已知函数f（x）的定义域为R，f（1）=2，对任意xR，f（x）2，则f（x）2x+4的解集为（）A（1，1）B（1，+）C（，1）D（，+）6已知函数f（x）=下列命题：函数f（x）的图象关于原点对称； 函数f（x）是周期函数；当x=时，函数f（x）取最大值；函数f（x）的图象与函数y=的图象没有公共点其中正确命题的序号是（）ABCD7设1x2，则、的大小关系是（）ABCD8设函数f（x）是定义在（，0）上的可导函数，其导函数为f（x），且有f（x）+xf（x）x，则不等式（x+2014）f（x+2014）+2f（2）0的解集为（）A（，2012）B（2012，0）C（，20

3、16）D（2016，0）9已知函数f（x）=x3+px2+qx与x轴相切于x0（x00）点，且极小值为4，则p+q=（）A12B15C13D1610已知函数f（x）=ax3+bx2+cx+d在O，A点处取到极值，其中O是坐标原点，A在曲线y=x2sinx+xcosx，x，上，则曲线y=f（x）的切线的斜率的最大值是（）ABCD11若点P（a，b）在函数y=x2+3lnx的图象上，点Q（c，d）在函数y=x+2的图象上，则（ac）2+（bd）2的最小值为（）AB2C2D812已知函数f（x）=x2的图象在点A（x1，f（x1）与点B（x2，f（x2）处的切线互相垂直，并交于点P，则点P的坐标可能

4、是（）A（，3）B（0，4）C（2，3）D（1，）二、填空题13G（x）表示函数y=2cosx+3的导数，在区间上，随机取值a，G（a）1的概率为14函数y=在点（2，）处的切线与直线ax+y+1=0垂直，则实数a的值为15已知函数f（x）=x3+ax2+6x的单调递减区间是2，3，则实数a=16设曲线y=xn+1（nN*）在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，令an=lgxn，则a1+a2+a99的值为17若存在实常数k和b，使得函数f（x）和g（x）对其定义域上的任意实数x分别满足：f（x）kx+b和g（x）kx+b，则称直线l：y=kx+b为f（x）和g（x）的“隔离直线”已

5、知函数f（x）=x21和函数g（x）=2lnx，那么函数f（x）和函数g（x）的隔离直线方程为三、解答题18（12分）已知函数f（x）=，aR且a0（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）当a0时，若，证明：19（12分）已知函数f（x）=lnx，其中aR（）当a=2时，求函数f（x）的图象在点（1，f（1）处的切线方程；（）如果对于任意x（1，+），都有f（x）x+2，求a的取值范围20（13分）已知函数 f（x）=a（x）2lnx（aR）（1）求函数f（x）的单调区间；（2）设函数g（x）=若至少存在一个x01，4，使得 f（x0）g（x0）成立，求实数a的取值范围21（14分）已知函数f

6、（x）=lnx，g（x）=2（x0）（1）试判断当f（x）与g（x）的大小关系；（2）试判断曲线 y=f（x）和 y=g（x）是否存在公切线，若存在，求出公切线方程，若不存在，说明理由；（3）试比较 （1+1×2）（1+2×3）（1+2012×2013）与 e4021的大小，并写出判断过程22（14分）设函数f（x）=x2+axlnx（aR）（）若a=1，求函数f（x）的单调区间；（）若函数f（x）在区间（0，1上是减函数，求实数a的取值范围；（）过坐标原点O作曲线y=f（x）的切线，证明：切点的横坐标为12016-2017学年广西钦州市高新区高三（上）11月月考

7、数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题1已知f（x）为R上的可导函数，且xR，均有f（x）f（x），则以下判断正确的是（）Af（2013）e2013f（0）Bf（2013）e2013f（0）Cf（2013）=e2013f（0）Df（2013）与e2013f（0）大小无法确定【考点】导数的运算【分析】设函数h（x）=，求得h（x）0，可得h（x）在R上单调递减，可得h（2013）h（0），再进一步化简，可得结论【解答】解：设函数h（x）=，xR，均有f（x）f（x），则h（x）=0，h（x）在R上单调递减，h（2013）h（0），即，即 f（2013）e2013f（0），故选：B【点评】本

8、题主要考查利用导数研究函数的单调性，利用函数的单调性比较两个函数值的大小，属于基础题2dx等于（）ABCD2【考点】定积分【分析】利用积分的几何意义，再利用面积公式可得结论【解答】解： dx的几何意义是以（0，0）为圆心，1为半径的单位圆在x轴上方部分（半圆）的面积dx=故选B【点评】本题考查定积分的计算门课程利用几何意义求定积分，属于基础题3定义在R上的函数y=f（x），满足f（1x）=f（x），（x）f（x）0，若x1x2且x1+x21，则有（）Af（x1）f（x2）Bf（x1）f（x2）Cf（x1）=f（x2）D不能确定【考点】利用导数研究函数的单调性；函数单调性的性质【分析】由题意可得

9、函数f（x）关于直线x=对称，且当x时，f（x）0；当x时，f（x）0，即可得出函数f（x）在区间上单调性分类讨论，与，即可得出【解答】解：定义在R上的函数y=f（x），满足f（1x）=f（x），函数f（x）关于直线x=对称（x）f（x）0，当x时，f（x）0，函数f（x）在此区间上单调递增；当x时，f（x）0，函数f（x）在此区间上单调递减若，函数f（x）在区间上单调递增，f（x2）f（x1）若，又x1+x21，f（x2）f（1x1）=f（x1）综上可知：f（x2）f（x1）故选A【点评】熟练掌握函数的轴对称性和利用导数研究函数的单调性是解题的关键4若曲线y=kx+lnx在点（1，k）处的切

10、线平行x轴，则k=（）A1B1C2D2【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】先求出函数的导数，再由题意知在1处的导数值为0，列出方程求出k的值【解答】解：由题意得，y=k+，在点（1，k）处的切线平行于x轴，k+1=0，得k=1，故选：A【点评】本题考查了函数导数的几何意义应用，是基础题5已知函数f（x）的定义域为R，f（1）=2，对任意xR，f（x）2，则f（x）2x+4的解集为（）A（1，1）B（1，+）C（，1）D（，+）【考点】利用导数研究函数的单调性【分析】构造函数g（x）=f（x）2x4，利用导数研究函数的单调性即可得到结论【解答】解：设g（x）=f（x）2x4，则g（x）

11、=f（x）2，对任意xR，f（x）2，对任意xR，g（x）0，即函数g（x）单调递增，f（1）=2，g（1）=f（1）+24=44=0，则函数g（x）单调递增，由g（x）g（1）=0得x1，即f（x）2x+4的解集为（1，+），故选：B【点评】本题主要考查不等式的求解，利用条件构造函数，利用导数研究函数的单调性是解决本题的关键6已知函数f（x）=下列命题：函数f（x）的图象关于原点对称； 函数f（x）是周期函数；当x=时，函数f（x）取最大值；函数f（x）的图象与函数y=的图象没有公共点其中正确命题的序号是（）ABCD【考点】函数的图象【分析】研究函数相应性质，逐一判断【解答】解：函数定义域为

12、R，且f（x）=f（x），即函数为奇函数，故正确；y=sinx是周期函数，而y=x2+1不是周期函数，故f（x）不是周期函数，即错误；，故不是最值，即错误；因为，当x0时，故，f（x）0；当x0时，故，f（x）0即函数f（x）的图象与函数y=的图象没有公共点，正确故选：C【点评】本题考查了函数的奇偶性、周期性、最值与图象问题，属中档题，须逐一研究之7设1x2，则、的大小关系是（）ABCD【考点】利用导数研究函数的单调性【分析】要判断大小关系，可以令f（x）=xlnx（1x2），然后求导，判断f（x）的单调性，继而判断所给数的大小关系【解答】解：令f（x）=xlnx（1x2），则，函数y=f（x

13、）（1x2）为增函数，f（x）f（1）=10，xlnx0，又，故选：A【点评】本题在于巧设函数，并求导，判断单调性，考查了灵活运用知识的能力8设函数f（x）是定义在（，0）上的可导函数，其导函数为f（x），且有f（x）+xf（x）x，则不等式（x+2014）f（x+2014）+2f（2）0的解集为（）A（，2012）B（2012，0）C（，2016）D（2016，0）【考点】利用导数研究函数的单调性；导数的运算【分析】根据条件，构造函数，利用函数的单调性和导数之间的关系，将不等式进行转化即可得到结论【解答】解：由f（x）+xf（x）x，x0，即xf（x）x0，令F（x）=xf（x），则当x0时

14、，F'（x）0，即F（x）在（，0）上是减函数，F（x+2014）=（x+2014）f（x+2014），F（2）=（2）f（2），F（x+2014）F（2）0，F（x）在（，0）是减函数，由F（x+2014）F（2）得，x+20142，即x2016故选：C【点评】本题主要考查不等式的解法，利用条件构造函数，利用函数单调性和导数之间的关系是解决本题的关键9已知函数f（x）=x3+px2+qx与x轴相切于x0（x00）点，且极小值为4，则p+q=（）A12B15C13D16【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】f（x）=x（x2+px+q）由题意得：方程x2

15、+px+q=0有两个相等实根a，故可得f（x）=x（xx0）2=x32x0x2+x02x，再利用y极小值=4，可求x0=3，从而可求p，q的值【解答】解：f（x）=x（x2+px+q），由题意得：方程x2+px+q=0有两个相等实根a，故可得f（x）=x（xx0）2=x32x0x2+x02xf（x）=3x24x0x+x02=（xx0）（3xx0）令f（x）=0，则x=x0或f（x0）=04，f（）=4于是=4，x0=3f（x）=x3+6x2+9xp=6，q=9，p+q=15故选：B【点评】本题以函数为载体，考查函数的极值，考查导数的几何意义，属于中档题10已知函数f（x）=ax3+bx2+cx

16、+d在O，A点处取到极值，其中O是坐标原点，A在曲线y=x2sinx+xcosx，x，上，则曲线y=f（x）的切线的斜率的最大值是（）ABCD【考点】利用导数研究函数的极值【分析】由函数f（x）=ax3+bx2+cx+d在O，A点处取到极值，其中O是坐标原点，得到d=0，f（0）=0，f（p）=0，得到c=0，p=，f（x）=3ax23apx，再由A在曲线上，运用两角和的正弦，判断a0，b0得到f（x）f（）=（psinp+cosp），再构造函数g（x）=xsinx+cosx，运用导数求出最大值即可判断【解答】解：函数f（x）=ax3+bx2+cx+d在O，A点处取到极值，其中O是坐标原点，f

17、（0）=0，即d=0，f（x）=ax3+bx2+cx，f（x）=3ax2+2bx+c，f（0）=0，f（p）=0，c=0，p=，f（x）=3ax23apx，设A（p，q），p，q=p2sinp+pcosp=psin（p+），tan=0，且1，（0，），p+（），即q0，f（p）f（0），即f（x）分别在x=0和x=p处取极小值和极大值，则a0，b0f（x）f（），q=f（p）=ap3+bp2=p2sinp+pcosp，ap2+bp=psinp+cosp即bp=3（psinp+cosp），f（）=（psinp+cosp），p，令g（x）=xsinx+cosx，g（x）=xcosx，g（x）=0，

18、x=，g（x）在）上递增，在（，）上递减，故g（x）在x=处取极大值，也为最大值，f（x）f（）=g（p）=故选：A【点评】本题考查导数的综合应用：求单调区间和求极值、最值，同时考查构造函数求极值和最值，三角函数的化简，考查较强的运算能力和推理能力，是一道中档题11若点P（a，b）在函数y=x2+3lnx的图象上，点Q（c，d）在函数y=x+2的图象上，则（ac）2+（bd）2的最小值为（）AB2C2D8【考点】两点间距离公式的应用【分析】先求出与直线y=x+2平行且与曲线y=x2+3lnx相切的直线y=x+m再求出此两条平行线之间的距离（的平方）即可得出【解答】解：设直线y=x+m与曲线y=

19、x2+3lnx相切于P（x0，y0），由函数y=x2+3lnx，令，又x00，解得x0=1y0=1+3ln1=1，可得切点P（1，1）代入1=1+m，解得m=2可得与直线y=x+2平行且与曲线y=x2+3lnx相切的直线y=x2而两条平行线y=x+2与y=x2的距离d=2（ac）2+（bd）2的最小值=8故选：D【点评】本题考查了导数的几何意义、切线的方程、两条平行线之间的距离、最小值的转化问题等基础知识与基本技能方法，属于中档题12已知函数f（x）=x2的图象在点A（x1，f（x1）与点B（x2，f（x2）处的切线互相垂直，并交于点P，则点P的坐标可能是（）A（，3）B（0，4）C（2，3）

20、D（1，）【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】由已知函数解析式求得A，B的坐标，求出原函数的导函数，得到函数在A，B两点出的导数值，由图象在点A（x1，f（x1）与点B（x2，f（x2）处的切线互相垂直得到，由点斜式写出过A，B两点的切线方程，通过整体运算求得，即P点纵坐标为，然后逐一核对四个选项可得答案【解答】解：由题意可知， （x1x2），由f（x）=x2，得f（x）=2x，则过A，B两点的切线斜率k1=2x1，k2=2x2，又切线互相垂直，k1k2=1，即两条切线方程分别为，联立得（x1x2）2x（x1+x2）=0，2x（x1+x2）=0，x=代入l1得，结合已知选项可知，P点

21、坐标可能是D故选：D【点评】本题考查利用导数研究曲线上某点处的切线方程，曲线上过某点的切线的斜率，就是该点处的导数值，考查了整体运算思想方法，是中档题二、填空题13G（x）表示函数y=2cosx+3的导数，在区间上，随机取值a，G（a）1的概率为【考点】几何概型【分析】先求出G（x）的解析式，再根据所给的不等式解出a的范围，再结合几何概率模型的公式P=求出答案即可【解答】解：G（x）表示函数y=2cosx+3的导数G（x）=2sinxG（a）12sina1而x解得x（，），由几何概率模型的公式P=得P=故答案为：【点评】本题主要考查了几何概型的概率，解决此类问题的关键是熟练掌握关于三角不等式的

22、求解与几何概率模型的公式，属于基础题14函数y=在点（2，）处的切线与直线ax+y+1=0垂直，则实数a的值为4【考点】导数的几何意义；两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系【分析】先利用导数求出函数在x=2处的导数，从而得到切线的斜率，再根据两直线垂直斜率乘积为1建立等式，解之即可【解答】解：y=f（x）=f（2）=切线与直线ax+y+1=0垂直，（）×（a）=1解得a=4故答案为：4【点评】本题主要考查了导数的几何意义，以及两直线垂直的性质，同时考查了运算求解的能力，属于基础题15已知函数f（x）=x3+ax2+6x的单调递减区间是2，3，则实数a=【考点】利用导数研究函数的单调性【分

23、析】由f（x）=x2+2ax+6，判断知=4a2240，得，由函数的单调递减区间是2，3，则f（x）=x2+2ax+6=0的根为2和3，则2a=2+3，得a=【解答】解：函数的导数为f（x）=x2+2ax+6，判断知=4a2240，得，由函数的单调递减区间是2，3，则f（x）=x2+2ax+6=0的根为2和3，则2a=2+3，得a=，故答案为：【点评】本题考察了函数的单调性，二次函数的性质，是一道基础题16设曲线y=xn+1（nN*）在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，令an=lgxn，则a1+a2+a99的值为2【考点】数列的求和【分析】欲判x1x2xn的值，只须求出切线与x轴

24、的交点的横坐标即可，故先利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率从而问题解决【解答】解：对y=xn+1（nN*）求导得y=（n+1）xn，令x=1得在点（1，1）处的切线的斜率k=n+1，在点（1，1）处的切线方程为y1=k（xn1）=（n+1）（xn1），不妨设y=0，则x1x2x3xn=××，从而a1+a2+a99=lg（x1x2x3x99）=lg =2故答案为：2【点评】小题主要考查直线的斜率、利用导数研究曲线上某点切线方程、数列等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想属于基础题17若存在实常数k和b，使得函数f（x）和g（x）对其

25、定义域上的任意实数x分别满足：f（x）kx+b和g（x）kx+b，则称直线l：y=kx+b为f（x）和g（x）的“隔离直线”已知函数f（x）=x21和函数g（x）=2lnx，那么函数f（x）和函数g（x）的隔离直线方程为y=2x2【考点】函数的值【分析】求出函数的交点坐标，利用函数的导数求出切线方程即可得到结论【解答】解：作出函数f（x）=x21和函数g（x）=2lnx的图象，由图象可知，两个函数的交点坐标为（1，0），要使f（x）kx+b和g（x）kx+b，则y=kx+b，必须是两个函数在（1，0）处的公共切线，即k+b=0，解得b=k，函数f（x）=2x，即k=f（1）=2，b=2，即隔离

26、直线方程为y=2x2，故答案为：y=2x2【点评】本题主要考查函数的切线和导数之间的关系，根据隔离直线的定义，确定隔离直线是两个函数的公共切线是解决本题的关键三、解答题18（12分）（2013沈阳二模）已知函数f（x）=，aR且a0（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）当a0时，若，证明：【考点】利用导数研究函数的单调性；不等式的证明【分析】（1）对f（x）求导数，得f'（x）=，再分a的正负讨论a、a+a2和a2的大小关系，即可得到f（x）单调性的两种情况，得到函数f（x）的单调区间；（2）原不等式进行化简，等价变形得f（x2）（）x2f（x1）（）x1因此转化为证明函数h（x）=f

27、（x）（）x在区间（a2+a，a2a）内单调递减，而h'（x）=，通过研究分子对应二次函数在区间a2+a，a2a上的取值，可得h'（x）0在xa2+a，a2a上恒成立，因此h（x）=f（x）（）x在区间（a2+a，a2a）内是减函数，从而得到原不等式成立【解答】解：（1）由题意，可得f'（x）=x+=（2分）令f'（x）0，因为xaa20故（xa）（xa2）0当a0时，因为a+a2a且a+a2a2，所以上不等式的解为（a+a2，+），因此，此时函数f（x）在（a+a2，+）上单调递增当a0时，因为aa+a2a2，所以上不等式的解为（a2，+），从而此时函数f（x

28、）在（a2，+）上单调递增，同理此时f（x）在（a+a2a2）上单调递减（6分）（2）要证原不等式成立，只须证明f（x2）f（x1）（x2x1）（），只须证明f（x2）（）x2f（x1）（）x1因为，所以原不等式等价于函数h（x）=f（x）（）x在区间（a2+a，a2a）内单调递减（8分）由（1）知h'（x）=x（）+=，因为xaa20，所以考察函数g（x）=x2+a2，xa2+a，a2a=a2，且g（x）图象的对称轴x=a2+a，a2a，g（x）g（a2a）=0（10分）从而可得h'（x）0在xa2+a，a2a上恒成立，所以函数h（x）=f（x）（）x在（a2+a，a2a）内

29、单调递减从而可得原命题成立 （12分）【点评】本题给出含有自然对数的基本初等函数，求函数的单调区间并依此证明不等式在给定条件下成立着重考查了基本初等函数的性质、利用导数研究函数的单调性和不等式的性质等知识，属于中档题19（12分）（2014西城区一模）已知函数f（x）=lnx，其中aR（）当a=2时，求函数f（x）的图象在点（1，f（1）处的切线方程；（）如果对于任意x（1，+），都有f（x）x+2，求a的取值范围【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】（）求在某点出的切线方程，关键是求出斜率k，利用导数就可以斜率，再利用点斜式求切线方程（）设g（x）=xlnx

30、+x22x，则g（x）a，只要求出g（x）的最小值就可以【解答】解：（）由，k=f（1）=3，又f（1）=2，函数f（x）的图象在点（1，f（1）处的切线方程为3xy5=0；（）由 f（x）x+2，得，即 axlnx+x22x，设函数g（x）=xlnx+x22x，则 g（x）=lnx+2x1，x（1，+），lnx0，2x10，当x（1，+）时，g（x）=lnx+2x10，函数g（x）在x（1，+）上单调递增，当x（1，+）时，g（x）g（1）=1，对于任意x（1，+），都有f（x）x+2成立，对于任意x（1，+），都有ag（x）成立，a1【点评】导数再函数应用中，求切线方程就是求再某点处的导数

31、，再求参数的取值范围中，转化为求函数的最大值或最小值问题20（13分）（2016秋钦州月考）已知函数 f（x）=a（x）2lnx（aR）（1）求函数f（x）的单调区间；（2）设函数g（x）=若至少存在一个x01，4，使得 f（x0）g（x0）成立，求实数a的取值范围【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性【分析】（1）先求出函数的导数，通过讨论当a0时当0a1时当a1时，从而得出函数的单调区间；【解答】解：（1）函数f（x）=a（x）2lnx，其定义域为x0f（x）=a（1+）=，令a（1+x2）2x=ax22x+a=0，=44a20，解得：1a1x0，0a1时f（x）=

32、0有解，当a0时，f（x）0，函数f（x）在定义域内单调递减；当0a1时，令a（1+x2）2x=0，解得：x=，x（0，）时，f（x）0，x（ ，+）时，f（x）0，当a1时，f（x）0，函数f（x）在定义域内单调增，综上：当a0时，f（x）0，函数f（x）在定义域内单调递减，当0a1时，x（0，）时，函数f（x）单调递增；，x（ ，+）时，函数f（x）单调递减；当a1时，函数f（x）在定义域内单调增（2）因为存在一个x01，4使得f（x0）g（x0），则ax02lnx0，等价于a，令F（x）=，等价于“当x1，4时，aF（x）min”对F（x）求导，得F（x）=，因为当x1，e时，F（x）0

33、，所以F（x）在1，e上单调递增当xe，4时，F（x）0，所以F（x）在e，4上单调递减所以F（x）min=F（1）=0，因此a0【点评】本题考查导数的几何意义、导数研究函数单调性及求函数的最值问题，考查学生分析问题解决问题的能力，对于“能成立”问题及“恒成立”问题往往转化为函数最值解决21（14分）（2016秋钦州月考）已知函数f （x）=lnx，g（x）=2（x0）（1）试判断当f（x）与g（x）的大小关系；（2）试判断曲线 y=f（x）和 y=g（x）是否存在公切线，若存在，求出公切线方程，若不存在，说明理由；（3）试比较 （1+1×2）（1+2×3）（1+2012&

34、#215;2013）与 e4021的大小，并写出判断过程【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】（1）利用作差法构造新函数，判断新函数在x0时取值情况判断f（x）g（x）的差与0的大小关系即可；（2）假设存在公切线，设出两个切点，分别求出切线，根据两条切线是相同的，列出方程求解进行判断即可；（3）（1+1×2）（1+2×3）（1+2012×2013）e4021理由：由（1）可得lnx2（x0），可令x=1+n（n+1），可得ln（1+n（n+1）22=23（），运用裂项相消求和和不等式的性质，即可得到结论【解答】解：（1）证明：设F（x）=f（x）g（x），则F（x）=，由F'（x）=0，得x=3，当0x3时，F'（x）0，当x3时F'（x）0，可得F（x）在区间（0，3）单调递减，在区间（3，+）单调递增，所以F（x）取得最小值为F（3）=ln310，F（x）0，即f（x）g（x）；（2）假设曲线f（x）与g（x）有公切线