一个新的可乘函数及其均值估计

1、一个新的可乘函数及其均值估计张 健（西安财经学院数学系，陕西西安710061）摘要：基于著名的Dirichlet除数函数，引入了数论中的一个新的可乘函数，并利用解析方法及可乘性质研究了这个数论函数的均值性质，给出了其均值的一个较强的渐近公式。关键词：可乘函数；均值；渐近公式中图分类号：O156.4 文献标识码：A 文章编号：1000-274X(2004)0066-041引言及结论对任意正整数，我们定义函数为其中为除数函数，这样定义的数论函数显然是可乘的。本文的主要目的是研究的均值性质，并给出一个较强的渐近公式。定理1对任意实数，我们有渐近公式其中：表示对所有素数求积；为任意给定的正数。 有意思

2、的是，对于，似乎不存在类似的渐近公式。2定理的证明为了完成定理的证明，我们先叙述一个简单的引理，即著名的Perron公式1。引理1设，再设存在递增函数及函数使得那末，对任意的及，当及时有1）正整数时其中：是离最近的整数（为半奇数时，取）；。2)这里常数仅和有关。有了这个引理，就容易给出定理的证明。事实上对任意复数，设显然则由Euler积公式（文献2中定理11.7）可得其中为Riemann Zeta函数，并在处有1阶极点，留数为1。由于，于是， 所以从而当时，是绝对收敛的非零常数，然后在引理中取，可得将上式积分线移至处，于是取可得这就完成了定理的证明。参考文献：1 PAN Cheng-dong,

3、 PAN Cheng-biao. Foundation of Analytic Number TheoryM. Beijing: Science Press, 1997.2 APSTOL T M. Introduction to Analytic Number TheoryM. New York: Springer-Verlag, 1976. (编辑曹大刚)A new multiplicative function and its mean value estimateZHANG Jian(Department of Applied Mathematics, Xian Economic Col

4、lege, Xian 710061, China)Abstract: A new multiplicative function is introduced,and an asymptotic formula on its mean value is given.Key words: multiplicative function; mean value; asymptotic formula作 者 简 介张 健，女，陕西乾县人，生于1963年9月。1984年毕业于汉中师范学院数学系,2000年7月，西北大学基础数学研究生课程班结业。现为西安财经学院数学系讲师，主讲高等数学、线性代数与线性规划、概率与数理统计等课程。近年来，在多种重要学术期刊上发表科研论文20余篇。其中“Banach空间的次强收敛”，定义了一种新的收敛次强收敛，并讨论了强收敛、弱收敛与次强收敛之间的关系；“关于正整数的立方部分”研究了两个数列u(n)和v(n)（对于任意正整数n，定义u(n)为不大于n的最大立方数，v(n)为不小于n的最小立方数）的性质，并给出