15级《微积分1》复习要点

1、15级微积分1复习要点依据微积分教学大纲和教考分离制度对微积分1期末考试说明如下：一、 试卷题型与考试知识要求试卷客观题与主观题比例大约为30%与70%，客观题主要考查基本概念与基本关系，主观题主要考查基本运算和基本理论。对基本概念、基本关系的要求表述为理解，对基本运算、基本理论的要求表述为会求或会证明。题型（题量）选择题（8）填空题（8）计算题（10）证明题（2）分值16分16分60分8分 二、 知识点及要求第一章 函数、极限与连续（26%）1、理解函数的定义域；（1）函数的定义域是 . （2）函数的定义域是 。 （3）函数的定义域是 。（4）函数的定义域是 。2、会求各种未定型的极限.例如

2、、（1）计算极限解：=（2）计算极限.解：= = （3）计算极限.解：= =（4）计算极限解：=2（5）计算极限 解：= （6）计算极限 解：=（7）计算极限 .解：= = =（8）计算极限.解：= =（9）计算极限 .解：= （10）计算极限 解：=（11）计算极限 解：（12）计算极限 解：（13）计算极限解：.（14）计算极限解：/（15）计算极限解：3、理解无穷小的运算 (1) 下列极限计算正确的是（ D ）.A、 B、 C、 D、(2) = 0 .(3) 0 .4、理解间断点概念与类型； (1) 设 A、可去间断点 B、无穷间断点 C、连续点 D、跳跃间断点(2) 设，则是（D）A、

3、可去间断点 B、无穷间断点 C、连续点 D、跳跃间断点（3）函数 ，是函数的（ A ）.A、连续点 B、跳跃间断点 C、可去间断点 D、无穷间断点5、会利用零点定理证明方程有解（1）证明方程 在 内至少有一个实根证明：设 即 方程在（0，1）内至少存在一个实根（2）证明方程在（1，2）内至少存在一个实根.证明：. 即 方程在（1，2）内至少存在一个实根（3）证明方程在0和2之间至少有一个实根证明：设,方程在0和2之间至少有一个实根（4）证明方程至少有一个小于1的正根证明：设，0，即 方程在（0，1）内至少存在一个实根第二章 导数与微分(26%)1、理解导数的定义；（1）设存在，则（ B ）A、

4、 B、 C、 D、不存在（2）若存在，则（ B ）A、 B、 C、 D、（3）设在可导，则（ B ）A. B. A. B. 2、会求函数的导数及二阶导数。 （1）若函数可导，设，求.解：（2）若函数可导，设，求.解：（3）若函数可导，设，求.解：3、会求隐函数的导数。（1）已知由确定了 ，求 解：方程两边对求导数，得 （2）设函数由方程所确定，求解：方程两边对求导数，得 （3）设函数由方程所确定，求.解：方程两边对求导数 (4) 设函数由方程所确定，求.解：方程两边对求导数 (5) 设函数由方程所确定，求.解：方程两边对求导数 4、理解参数方程确定函数的导数， (1) 已知，求.解：(2) 已

5、知，求.解：(3) 已知，求.解：5、会利用对数求导法求导.(1) 已知 ，求 ；解：方程两边取对数 两边对求导数(2) 已知 ，求 ；解：方程两边取对数 两边对求导数 （3) 已知 ，求 ；解：方程两边取对数 两边对求导数6、理解函数的微分。（1）已知 求 ；解：（2）已知 求 ；解：（3）已知 求 ；解：7、理解连续、可导、可微的关系；（1） 函数在点处可微是在点处连续的( B ).（2） 函数在点处连续是在点处可微的( A ). （3） 函数在点处可微是在点处可导的( C ).（4） 函数在点处连续是在点处可导的( A ). （5）函数在点处可导是在点处连续的( B ).A、必要条件 B

6、、充分条件 C、充分必要条件 D、既非充分也非必要条件第三章 微分中值定理及导数应用(28%)1、理解罗尔中值定理和拉格朗日中值定理的条件与结论；（1）函数在区间满足罗尔定理结论的（2）函数在区间满足罗尔定理结论的（2）函数在区间满足拉格朗日中值定理结论的（4）使函数适合罗尔定理条件的区间是（D）A、；B、；C、；D、.（5）对于函数，满足罗尔定理全部条件的区间是（ D ）.（A）；（B）；（C）；（D）2、会求函数的单调区间和极值。（1）求的单调区间和极值； 教材例题7（2）求的单调区间和极值解： 定义域为 -2（-2,1）1（1，）+20-7+极大值极小值 在上单调递增，在上单调递减.极大

7、：，极小：.（3）求的单调区间和极值解： 定义域为 0（0，2）2（2，）+0-4+极大值极小值 在上单调递增，在上单调递减.极大：，极小：.在上单调递增，在上单调递减.极大：，极小：.3、会利用单调性证明不等式及判断方程根的唯一性（1）当时，证明 ；教材例5（2）当时，证明.证明：设，则在上连续， 因为 当,时 所以单调递增 因此，即 （3）当时，证明不等式： 证明：设，则在上连续 因为， 当时 所以单调递增因此 即（4）当时，证明：.证明：设，则在上连续， 因为当时， 所以单调递增 因此 即. （5）证明不等式：当时，证明.证明：设 则在上连续且， 因为 当,时 所以单调递增 因此，即 （

8、6）证明方程在之间有且仅有一个实根证明：令， 所以 在上至少一个根，又， 当时，所以单调递增，因此 在上有且仅有一个根.（7）证明方程在之间有且仅有一个实根证明：令， 所以 在上至少一个根，又， 当时，所以单增，因此在上至多有一个根. 在上有且仅有一个根.（8）证明方程在之间存在唯一一个实根证明：令， 所以 在上至少一个根，又， 当时，所以单增，因此在上至多有一个根. 在上有且仅有一个根.4、会求曲线的凹凸区间与拐点， （1）确定函数的凹凸区间和拐点.解：定义域为 当时， 在上凸，当时， 在上凹.拐点：。5、理解曲线的铅垂渐近线和水平渐近线。（1）求 的水平渐近线和铅直渐近线.解：， 所以是垂

9、直渐近线 又，所以是水平渐近线（2）曲线的水平渐近线为铅直渐近线为（3）曲线的水平渐近线为铅直渐近线为6、会求常见经济函数的最值和弹性；教材习题七 （1）一个公司已估算出产品的成本函数为（万元）。求时的总成本；求时的平均成本、边际成本；求产量为多大时，平均成本最低？求出最低平均成本。解: 时的总成本为（万元） 由于平均成本函数为,边际成本函数为，即得：时的平均成本为（万元）或为，平均成本为（万元），时的边际成本为（万元），由平均成本函数得，令，得，由于，知当产量为60单位时，平均成本最低。最低平均成本为（万元）， (2)设生产某产品的成本函数为（元），收益函数为（元）。求当时的总利润，边际利润

10、；为使利润最大化，公司必须生产并销售多少件产品？并求出最大利润。解由已知得总利润函数为于是，边际利润函数为，从而得当时的总利润为（元）,边际利润为（元）,由总利润函数得边际利润，可得利润函数的唯一驻点，由于，可知，为使利润最大化，公司必须生产并销售300件产品，最大利润为元。(3) 设某商品的需求函数为。求需求弹性函数；求，并说明其经济意义；当时，价格上涨1%，总收益变化百分之几？是增加还是减少？【解】由得需求弹性函数。，其经济意义是，当价格为4时，再提高价格1%，将使需求量下降0.54%。当时，价格上涨1%，总收益变化的百分比属于总收益对价格的弹性，由于总收益对价格的弹性函数为，当时，可知，

11、当时，价格上涨1%，总收益变化0.46%，是增加。(5)设某商品的需求函数为，求需求弹性函数；求时的需求弹性函数；当时，若价格上涨1%，其总收益变化百分之几？是增加还是减少？解 由得需求弹性函数。当时的需求弹性函数是，当时，价格上涨1%，总收益变化的百分比属于总收益对价格的弹性，由于总收益对价格的弹性函数为，当时，可知，当时，价格上涨1%，总收益变化0.93%，是增加。第四章 不定积分(10%)1、理解原函数、不定积分的概念，(1) 已知的一个原函数为，则(2) 已知的一个原函数为，则(3) 设,则.(4) .(5) 下列等式中正确的是（B ）A、；B、；C、；D、(6) 若不定积分，则.(7) 设,则(8) .2、会求不定积分（直接积分法、第一类换元积分法和第二类换元积分法和分部积分法），例如计算 等；(1) 计算不定积分.解： (2)计算不定积分.解： (3)计算不定积分.解： (4) 计算不定积分解：令(5) 计算不定积分解：令（6）计算不定积分.解：=（7）计算不定积分.解：=（8）计算不定积分.解：=第五章 定积分(10%)1、