概率论讲义多维随机变量及其分布

1、40第三章多维随机变量及其分布在很多随机现象中，只用一个随机变量来描述往往不够，而要涉及到多个随机变量如炮弹命中点的位置要用一对随机变量（横坐标与纵坐标）来描述,正弦交流电压要用振幅、频率和相位三个随机变量来描 述等等要研究这些随机变量之间的联系，就应当同时考虑若干个随机变量即多维随机变量及其取值规律多维分布本章将介绍有关这方面的内容，为简明起见，主要介绍二维情形，有关内容可以类推到多于二维的情形第一节二维随机变量一、二维随机变量的分布函数设 E 是一个随机试验，它的样本空间是 S.设 X、Y 是定义在 S 上的随机变量，则由它们构成的一个向 量（X，Y）称为二维随机向量或二维随机变量一般地，

2、（X，Y）的性质不仅与 X 有关，与 Y 有关，而且还依赖于 X、Y 的相互关系，因此必须把（X, Y）作为 一个整体来研究首先引入（X，Y）的分布函数的概念定义 设（X，Y）为二维随机变量，对于任意实数 x、y，二元函数F（x，y） = P（X 兰 x）Q（Y y）= PX 兰 x，Y y称为二维随机变量（X，Y）的分布函数，或称为随机变量 X 和 y 的联合分布函数分布函数 F（x，y）表示事件（X ）与事件（Y y）同时发生的概率如果把（X，Y）看成平面上具有随机坐标 （X，Y）的点，则分布函数 F（x，y）在（x，y）处的函数值就是随机点（X，Y）落在平面上的以（x，y）为顶点而位于该

3、点 左下方的无限矩形内的概率 由上面的几何解释，容易得到随机点（X，Y）落在矩形区域xi X 空 X2, yiY y2的概率为Pxi X _X2,yi Y _y2= F（X2,y2）- F（X2,yi）- F（xi,y2）+ F（xi, yi）（1）与二元函数类似，二元分布函数 F(x, y)也具有如下一些性质：1F(x, y)是变量 x 和 y 的单调不减函数，即当xi X2时,F(xi, y)兰 F(X2, y);当 yi y2时,F(x, y” F(x, y2).20 F(x, y) i,且 F(：, y) = 0, F(x, -：) = 0, F(-：,-：) = 0, F(+ ：,+

4、 ：) = i.3F(x, y)关于 x 和 y 都是右连续的,即 F(x + 0, y) = F(x, y), F(x, y + 0) = F(x, y)4对任意的(xi, yi)、(X2,y2), xi X2, yi y2,有 F(x2, y2)- F(x2,yi) - F(xi,y2) + F(xi, yi) 一 0.注：二元分布函数具有性质i 4 ,其逆也成立（2 中 0 _F（x, y） _ i 可去）,即若二元实值函数 F（x, y）（xR,yR）满足 i 4 ,则 F（x, y）必是某二维随机变量的（X, Y）的分布函数其中 4 是必不可少的，即它不能由 i 3 推出（除去 0

5、_F（x, y） 0;为为 pj=i 41i d j d我们称 PX = Xi, Y = yj = pij（i , j= i, 2, 3,）为二维离散型随机变量（X, Y）的分布律（概率分布）或随机 变量 X 和 Y的联合分布律，（X, Y）的分布律也可用表格表示其分布函数为F（x, y）二、PX 二 Xi,Y =yj = .1 二 PijN丄yj_yXilx yj_y42这里二二表示对一切 xix, yj y的那些指标 i、j 求和.Xi込yj空例 1 一个口袋中有三个球，依次标有 1、2、2,从中任取一个，不放回袋中，再任取一个. 时，各球被取到的可能性相等 布律与分布函数.(1,2)、(

6、2, 1)、(2, 2). PX = 1, Y = 2= PX = 1 PY = 2 / X = 1=-3同理，有 PX = 2, Y = 1=13 即(X, Y)的分布律如右表所示.x 1,或 y 1 时,Fx, y = 0; x 2, 1 y 2, y 2 时,Fx, y = 1.Fx, y,若存在非负函数 f (x, y),使对任意的 x、y 有y xF(x,y)二f (u,v)dudv，则称(X, Y)为连续型的二维随机变量，f (x, y)称为二维连续型随机变量(X, Y)的概率密度，或称随机变量 X、Y 的联合概率密度概率密度 f (x, y)具有以下性质：1 f (x, y) 0

7、;-ho -bo2f(x, y)dxdy 二 F( ：, ：) =1曾qQ J _o03若 f (x, y)在点(x, y)处连续，则有-F(x，y)= f (x, y)x .y设每次取球Y 的联合分,以 X、Y 分别记第一次和第二次取到的球上标有的数字，求 X、解：(X, Y)的可能取值为,PX = 2, Y = 2=-3x 2 时,Fx, y=-2, 1 y 2 时,Fx, y=1；3+ 1P11 P21；P11 P120,x c1 或 y 2.1 Ex 2,1 Ey C2,x _2,1 兰 y v2,三、二维连续型随机变量设二维随机变量(X, Y)的分布函数为2Ae，x切，x0,y0,、

8、0,其它.求:(1)系数 A; (2)分布函数 F(x, y); (3)概率 P( X, Y)D,其中 D: x 0, y 0, x +y0, y A0, = 2)维随机变量的情形.一般地，设 E 是一个随机试验它的样本空间为 S,设 X1、X2、Xn是定义在 S 上的随机变量，则由它们构成的一个 n 维向量(X1, X2, Xn)称为 n 维随机向量或 n 维随机变量.对任意 n 个实数 X1、X2、Xn, n 元函数 F(X1, x2,xn) = PX1EX1, X2兰 X2,XnExn称为 n 维随机 变量(X1,X2,Xn)的分布函数或随机变量(X1,X2,Xn)的联合分布函数，它具有

9、与二元分布函数类似的性质第二节边缘分布设(X, Y)是二维随机变量，其分布函数为 F(x, y),事件X 乞 x即为 X 乞 x, Y +：,从而由(X, Y)的分布 函数可定出 X 的分布函数，记为 FX(x).FX(x) = PX Ex = P X Ex, Y +：=我们称 Fx(x)为关于 X 的边缘分布函数.类似的可定义关于Y 的边缘分布函数为FY(y) = PY Ey = PX +：, Y y= F 什：,y) =lim F (x, y). 一-be、离散型设(X, Y)为二维离散型随机变量,其分布律为 PX = Xi, Y = yj = pij(i , j= 1,2, 3,)，则O

10、0QOFx(x) =F(x,：)二二 Pij, Fy(y) =F( :, y)二二 PijN童j二y空i modoOPX=xi=Pij, i =1,2,；PY=yj= Pij, j =1,2,j =1i-1oO记 Pi .二 PX 二 XiPij, i = 1,2,jm分别称 Pi和 pj为(X, Y)关于 X 与 Y 的边缘分布律注:1 边缘分布律具有一维分布律的一般性质2 联合分布律唯一决定边缘分布律，反之不然.例 1 一袋中装有 3 只黑球和 2 只白球，分别采用有放回与不放回摸球两种方式.若设彳，第一次摸出白球，1,第二次摸出白球，X =Y =0,第一次摸出黑球；0,第二次摸出黑球.求

11、(X, Y)的联合分布律及关于X 与 Y 的边缘分布律.解：有放回不放回F(x, +o)=yliF (x, y)从而 X 与 Y 的分布律分别为oOPj二PY=yj八 Pij, j = 1,2,145边缘分布律经常写在联合分布律的边缘，这就是为什么称为边缘分布律的缘由46当x1时，fx(x)二 f(x, y)dy 二FAfx(x)12-2 dy=(1_x2；当 X A 1 时,fx(x) = 0,即n兀2 时 1 X2, X 1,JIX X1.例 3 设二维随机变量(X, Y)的概率密度为、连续型设二维连续型随机变量(X, Y)的概率密度为 f (x, y),由XFx(x) =F(x,：) =

12、 f (x, y)dydx；寸_DO寸 qm知 X 与 Y 都是连续型随机变量.它们的概率密度分别为fx(x) f(x,y)dy;f-20称 fx(x)与 fY(y)分别为(X, Y)关于 X 与 Y 的边缘概率密度yFY(y)=F( :y) = ,. J(x,y)dxdy.fY(y)二 f(x, y)dx.例 2 设 D 是平面上的有界区域,其面积为 A,若二维随机变量(X, Y)的概率密度为1f (x,y)= 入i0,(X, y) D,其它，则称(X, Y)在 D 上服从均匀分布现(X, Y)在以原点为中心、1 为半径的圆域上服从均匀分布，求边缘概率密度解：由f (x, y) dxdy =

13、 1,得 A =二3-JDQ3-J30同理可得,fv(y)笛 1-y2,y 0,包 0, -1 P 1.我们称(X, Y)为服从参数为 出、电、巧、；巨、曲勺二维正态分布，试求二维正态随机变量的边缘概率密度 解：令 m = |(x -严 _2 卩以-气)(-2)+(y-A2)2| 1二1二2(y、2)22r(X - 叫)(y丄2)j2(Xr)f(x,y)二.22 兀 512屮一伏exp-12622二1：-2G2(X -叫)2gy -2_-叫.(12)&-叫)2-i1 A?2一1 _x0,147-ho所以,fx(x)二 f (x, y)dy =ea亠 2 兀心1 - P22 121 -e

14、；-2(x-巴)22 拧1e2 2-2dt,从而,、步宁-写ly二：1=2a卡 at2_；2e2dt = - 2二匚2.1一2.m 2_.o-2dy48(x41)2(y屮)2所以,fX(x)=e223同理可得,fY(y)=e2(y(亠成丫成耘).p2 兀 6表明,X-NU；#),YN(丄2, ；).此例说明，二维正态随机变量(X, Y)中的 X、Y 都服从正态分布，并且与参数T无关.所以对于确定的“1、.、2、门、；2而取不同的：?,对应了不同的二维正态分布，但是其中每个随机变量都分别服从相同的正态分布.因此，仅由关于 X 和 Y 的边缘概率密度(分布),一般不能确定 X 和 Y 的联合概率密

15、度(分布).第四节 相互独立的随机变量我们知道，两事件 A、B 相互独立的充要条件是P(AB) = P(A)P(B)由此我们引进随机变量相互独立的定义.定义 设 F(x, y)及 Fx(X)、FY(y)分别是二维随机变量(X, Y)的分布函数及边缘分布函数，若对于所有的 X、y,有PXEx,YEy = PXEx PYy,即 F(x, y) = FX(X)FY(y)(1)则称随机变量 X 和 Y 是相互独立的.可见，在随机变量 X 和 Y 相互独立的情况下，由关于 X 和 Y 的边缘分布函数就唯一地确定(X, Y)的联合分布函数，而且还可推得PY 紬/x =xfy，X二X二 limPHXx二 l

16、imF(x. ：x,y)-F(x,y)PX 二 xX0 Px 空 X 乞 x ：x .xP F(x. ：x, ：) F(x,二)=limFx(x：x)FY(y) -FX(X)FYW)=limFx(x：x) -FX(X)FYW)ZxmPFX(x+Ax)FY(讼)-FX&厅丫(讼)FX(x+Ax) - FX(x)这就是说在 X 和 Y 相互独立的情况下条件分布与边缘分布相同，即条件分布化成了无条件分布 一、离散型设二维离散型随机变量(X, Y)的联合分布律为PX = Xi, Y = yj = pj(i , j= 1,2, 3,),(X, Y)关于 X 和关于 Y 的边缘分布律分别为OOQO

17、Pi .二 P X 二 Xi二 * Pij, i = 1,2,；Pj二PY=yj八 pij, j = 1,2,则 X 和 Y 相互独立的充要条件是PX = Xi, Y = yj= PX = Xi PY = yj,即 Pij = |Pipj例 1 设(X, Y)的联合分布律为证明：X 和 Y 相互独立.例 2 设XX和 Y 相互独立，且分别具有分布律Y1_213-2-10121111111DkDk43123Lk244试写出(X, Y)的联合分布律.二、连续型设二维连续型随机变量(X, Y)的联合概率密度为 f (x, y),关于 X 和 Y 的边缘概率密度为 fx(x)和 fY(y),则 X 和

18、 Y 相互独立的充要条件是等式f (x, y) = fx(x) fY(y)(3)几乎处处成立.=FY(y) = P Y _ y.149例 3 设(X, Y)服从二维正态分布，即其联合概率密度为150则称 f (X1, X2,Xn)为 n 维随机变量(X1, X2,Xn)的联合概率密度.称 Fx,X1)=F(X1,；,，；)，FX1,X2(X1,X2F(X1,X2：),为关于 X1, (X1, X2),的边缘分布函数，fx(X1)=f (X1,X2, Xn)dX2dX3dXn,fx1,X2(X1,X2f(X1,X2, Xn)dX3dX4dXn,为关于 X1, (X1, X2),的边缘概率密度.若

19、对于所有的 X1、X2、Xn,有 F(X1,X2,Xn)二(X1)Fx2&2)Fxn(X.),则称X1, X2,Xn是相互独立的，对离散型即连续型随机变量，也有类似的结论.若对于所有的 X1、x2、xm； 丫1、y2、yn,有F (X1, X2,Xm； y1, y2,yn) = F1(X1, X2,Xm) F2(y1, y2,yn)其中 FF2和 F 依次为(X1,X2,Xm)、(丫1,丫2,Yn)和(X1, X2,Xm；丫1,丫2,，丫n)的分布函数，则称随机变量(X1, X2,Xm)和(丫1, 丫2,Yn)是相互独立的.定理 设随机变量(X1, X2,Xm)和(丫1, 丫2,Yn)相互独立，则 Xi(i = 1,2,m)与 Yj(j = 1,2,n)相 互独立.又若 h、g 是连续函数，则 h(X1, X2,Xm)和 g(Y1, 丫2,Yn)也相互独立.r1T；-；T2_(X_片)22,2(1 P2) L aif