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文档简介
1、精选优质文档-倾情为你奉上幂函数分数指数幂正分数指数幂的意义是:(,、,且)负分数指数幂的意义是:(,、,且)1、 幂函数的图像与性质幂函数随着的不同,定义域、值域都会发生变化,可以采取按性质和图像分类记忆的方法熟练掌握,当的图像和性质,列表如下从中可以归纳出以下结论: 它们都过点,除原点外,任何幂函数图像与坐标轴都不相交,任何幂函数图像都不过第四象限 时,幂函数图像过原点且在上是增函数 时,幂函数图像不过原点且在上是减函数 任何两个幂函数最多有三个公共点奇函数偶函数非奇非偶函数OxyOxyOxyOxyOxyOxyOxyOxyOxy幂函数基本性质(1)所有的幂函数在(0,+)都有定义,并且图象
2、都过点(1,1);(2)0时,幂函数的图象都通过原点,并且在0,+上,是增函数(3)0时,幂函数的图象在区间(0,+)上是减函数.规律总结1在研究幂函数的性质时,通常将分式指数幂化为根式形式,负整指数幂化为分式形式再去进行讨论;2对于幂函数y,我们首先应该分析函数的定义域、值域和奇偶性,由此确定图象的位置,即所在象限,其次确定曲线的类型,即0,01和1三种情况下曲线的基本形状,还要注意0,1三个曲线的形状;对于幂函数在第一象限的图象的大致情况可以用口诀来记忆:“正抛负双,大竖小横”,即0(1)时图象是抛物线型;0时图象是双曲线型;1时图象是竖直抛物线型;01时图象是横卧抛物线型2、 幂函数的应
3、用xOy例1、 幂函数(、,且、互质)的图象在第一,二象限,且不经过原点,则有 ( ) 、为奇数且为偶数,为奇数,且为偶数,为奇数,且奇数,为偶数,且xOy例2、 右图为幂函数在第一象限的图像,则的大小关系是( ) 解:取,由图像可知:,应选例3、 比较下列各组数的大小:(1),;(2),;(3),解:(1)底数不同,指数相同的数比大小,可以转化为同一幂函数,不同函数值的大小问题在上单调递增,且,(2)底数均为负数,可以将其转化为,在上单调递增,且,即,(3)先将指数统一,底数化成正数,在上单调递减,且,即:点评:比较幂形式的两个数的大小,一般的思路是:(1)若能化为同指数,则用幂函数的单调性
4、;(2)若能化为同底数,则用指数函数的单调性;(3)若既不能化为同指数,也不能化为同底数,则需寻找一个恰当的数作为桥梁来比较大小例4、 若,求实数的取值范围分析:若,则有三种情况,或解:根据幂函数的性质,有三种可能:或或,解得:例3已知幂函数()的图象与轴、轴都无交点,且关于原点对称,求的值解:幂函数()的图象与轴、轴都无交点,;,又函数图象关于原点对称,是奇数,或例4、设函数f(x)x3,(1)求它的反函数;(2)分别求出f1(x)f(x),f1(x)f(x),f1(x)f(x)的实数x的范围解析:(1)由yx3两边同时开三次方得x,f1(x)x(2)函数f(x)x3和f1(x)x的图象都经
5、过点(0,0)和(1,1)f1(x)f(x)时,x1及0;在同一个坐标系中画出两个函数图象,由图可知f1(x)f(x)时,x1或0x1;f1(x)f(x)时,x1或1x0点评:本题在确定x的范围时,采用了数形结合的方法,若采用解不等式或方程则较为麻烦例5、求函数y2x4(x32)值域解析:设tx,x32,t2,则yt22t4(t1)23当t1时,ymin3函数y2x4(x32)的值域为3,)点评:这是复合函数求值域的问题,应用换元法【同步练习】1. 下列函数中不是幂函数的是( )答案:2. 下列函数在上为减函数的是( )答案:3. 下列幂函数中定义域为的是( )答案:4函数y(x22x)的定义
6、域是()Ax|x0或x2B(,0)(2,) C(,0)2,D(0,2)解析:函数可化为根式形式,即可得定义域答案:B5函数y(1x2)的值域是()A0,B(0,1) C(0,1) D0,1解析:这是复合函数求值域问题,利用换元法,令t1x2,则y1x1,0t1,0y1答案:D6函数y的单调递减区间为()A(,1)B(,0) C0,D(,)解析:函数y是偶函数,且在0,)上单调递增,由对称性可知选B答案:B7若aa,则a的取值范围是()Aa1Ba0 C1a0 D1a0解析:运用指数函数的性质,选C答案:C8函数y的定义域是 。解析:由(152xx2)30152xx203x5答案:A9函数y在第二
7、象限内单调递增,则m的最大负整数是_解析:m的取值应该使函数为偶函数故m1答案:m110、讨论函数y的定义域、值域、奇偶性、单调性,并画出图象的示意图思路:函数y是幂函数(1)要使y有意义,x可以取任意实数,故函数定义域为R(2)xR,x20y0(3)f(x)f(x),函数y是偶函数;(4)n0,幂函数y在0,上单调递增由于幂函数y是偶函数,幂函数y在(,0)上单调递减(5)其图象如下图所示12已知函数y(1)求函数的定义域、值域;(2)判断函数的奇偶性;(3)求函数的单调区间解析:这是复合函数问题,利用换元法令t152xx2,则y,(1)由152xx20得函数的定义域为5,3,t16(x1)20,16函数的值域为0,2(2)函数的定义域为5,3且关于原点不对称,函数既不是奇函数也不是偶函数(3)函数的定义域为5,3,对称轴为x1,x5,1时,t随x的增大而增大;x(1
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