第3章 3.1.1、3.1.2

1、教育精选学业分层测评(建议用时：45分钟)学业达标一、填空题1下列命题中，假命题是_(填序号)若与共线，则A，B，C，D不一定在同一直线上；只有零向量的模等于0；共线的单位向量都相等【解析】正确共线的单位向量方向不一定相同，错误【答案】2下列结论中，正确的是_(填序号)若a，b，c共面，则存在实数x，y，使axbyc；若a，b，c不共面，则不存在实数x，y，使axbyc；若a，b，c共面，b，c不共线，则存在实数x，y，使axbyc.【解析】要注意共面向量定理给出的是一个充要条件所以第个命题正确但定理的应用又有一个前提；b，c是不共线向量，否则即使三个向量a，b，c共面，也不一定具有线性关系，

2、故不正确，正确【答案】3已知A，B，C三点不共线，O为平面ABC外一点，若由向量确定的点P与A，B，C共面，那么_.【解析】P与A，B，C共面，()()，即(1)，11.因此1，解得.【答案】4如图3­1­7，已知空间四边形ABCD中，a2c，5a6b8c，对角线AC，BD的中点分别为E，F，则_(用向量a，b，c表示)图3­1­7【解析】设G为BC的中点，连结EG，FG，则(a2c)(5a6b8c)3a3b5c.【答案】3a3b5c5如图3­1­8，平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别在B1B和D1D上，且B

3、EBB1，DFDD1，若xyz，则xyz_.图3­1­8【解析】()，x1，y1，z，xyz.【答案】6如图3­1­9，在三棱锥A­BCD中，若BCD是正三角形，E为其重心，则化简的结果为_. 【导学号：09390071】图3­1­9【解析】E为BCD的重心，DEDF，.0.【答案】07i，j，k是三个不共面的向量，i2j2k，2ij3k，i3j5k，且A，B，C，D四点共面，则的值为_【解析】若A，B，C，D四点共面，则向量，共面，故存在不全为零的实数a，b，c，使得abc0，即a(i2j2k)b(2ij3k)c(i3j5

4、k)0，(a2bc)i(2ab3c)j(2a3b5c)k0.i，j，k不共面，【答案】18有四个命题：若pxayb，则p与a，b共面；若p与a，b共面，则pxayb；若xy，则P，M，A，B共面；若P，M，A，B共面，则xy.其中真命题是_(填序号)【解析】由共面向量定理知，正确；若p与a，b共面，当a与b共线且p与a和b不共线时，就不存在实数组(x，y)使pxayb成立，故错误；同理正确，错误【答案】二、解答题9如图3­1­10所示，ABCD­A1B1C1D1中，ABCD是平行四边形若，2，若b，c，a，试用a，b，c表示.图3­1­10【解

5、】如图，连结AF，则.由已知ABCD是平行四边形，故bc，ac. 由已知，2，c(ca)(a2c)，又(bc)，(bc)(a2c)(abc)10如图3­1­11所示，已知四边形ABCD是空间四边形，E，H分别是边AB，AD的中点，F，G分别是边BC，CD上的点，且，.求证：四边形EFGH是梯形图3­1­11【证明】E，H分别是AB，AD的中点，则()()，且|.又F不在直线EH上，四边形EFGH是梯形能力提升1平面内有点A，B，C，D，E，其中无三点共线，O为空间一点，满足xy，2xy，则x3y_.【解析】由点A，B，C，D共面得xy，又由点B，C，D，

6、E共面得2xy，联立方程组解得x，y，所以x3y.【答案】2已知点G是ABC的重心，O是空间任一点，若，则_.【解析】如图，取AB的中点D，·()()().3.【答案】33在下列命题中：若向量a，b共线，则向量a，b所在的直线平行；若向量a，b所在的直线为异面直线，则向量a，b一定不共面；若三个向量a，b，c两两共面，则向量a，b，c共面；已知空间的三个向量a，b，c，则对于空间的任意一个向量p，总存在实数x，y，z使得pxaybzc.其中正确命题的个数是_【解析】a与b共线，a，b所在直线也可能重合，故不正确；根据自由向量的意义知，空间任两向量a，b都共面，故不正确；三个向量a，b，c中任两个一定共面，但它们三个却不一定共面，故不正确；只有当a，b，c不共面时，空间任意一向量p才能表示为pxaybzc，故不正确综上可知，四个命题中正确的个数为0.【答案】04如图3­1­12，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，EFAB，AB2EF，H为BC的中点求证：FH平面EDB.图3&#