工科数学分析-数集和确界原理.

1、数学分析上册教案第一章 实数集与函数石家庄经济学院数理学院§1.2 数集和确界原理授课章节：第一章实数集与函数 - §1.2 数集和确界原理教学目标：使学生掌握确界原理，建立起实数确界的清晰概念.教学要求： (1) 掌握邻域的概念；(2) 理解实数确界的定义及确界原理，并在有关命题的证明中正确地加以运用.教学重点：确界的概念及其有关性质（确界原理）.教学难点：确界的定义及其应用.教学方法：讲授为主 .教学过程：先通过练习形式复习上节课的内容，以检验学习效果，此后导入新课 . 一、 区间与邻域(一) 区间（用来表示变量的变化范围）设 a,bR 且 a<b.? 有限区间区

2、间 ? ，其中? 无限区间? .? 开区间 : x R|a<x<b=(a,b)? 有限区间 ? 闭区间 : x R|a x b=a,b.? 闭开区间 :x R|a x<b=a,b)? 半开半闭区间 ? 开闭区间:x R|a<xb=(a,b? x R|x a=a,+ ).? x R|x a=(- ,a.? 无限区间 ? x R|x>a=(a,+ ).? x R|x<a=(- ,a)?.? x R|- <x<+ =R?. (二) 邻域联想： “邻居 ”字.面意思： “邻近的区域 ”（.看左图） .与 a 邻近的 “区域 ”很多，到底哪一类是我们所要讲

3、的 “邻域 ”呢？就是 “关于 a 的对称区间 ”；如何用数学语言来表达呢？1、 a 的 邻域：设 a R, >0，满足不等式 |x-a|< 的全体实数 x 的集合称为点 a 的邻域，记作 U(a; )，或简记为 U(a)，即6数学分析上册教案 第一章 实数集与函数 石家庄经济学院数理学院 U(a; )=x|x-a|< =(a- ,a+ ).2、点 a 的空心 邻域U(a; )=x0<|x- a|< =(a- ,a)? (a,a+ ) U(a). oo3、 a 的 右邻域和点 a 的空心 右邻域U+(a; )=a,a+ ) U+(a)=xa x<a+ ;U+

4、(a; )=(a,a+ ) U+(a)=xa<x<a+ .004、点 a 的 左邻域和点 a 的空心 左邻域U-(a; )=(a- ,a U-(a)=xa- <x a;U(a; )=(a- ,a) U+(a)=xa- <x<a.0-05、 邻域， +邻域， -邻域U( )=x|x|>M, （其中 M 为充分大的正数）；U(+ )=xx>M, U( - )=xx<-M二、有界集与无界集什么是 “界 ”？定义 1（上、下界）：设 S 为 R 中的一个数集 .若存在数 M(L) ，使得一切 x S 都有 xM(xL)，则称 S 为有上（下）界的数集 .

5、数 M(L) 称为 S 的上界（下界）；若数集 S 既有上界，又有下界，则称 S 为有界集 .闭区间、 (a,b) (a,b为有限数）、邻域等都是有界数集，集合 E=y y=sinx, x ( - , + 也)是有界数集 .若数集 S 不是有界集，则称S 为无界集 .(-,+,()-,0),(0,+等都是无界)数集 ,集合 E=? y y=? 1? , x( 0 , 1 )? 也是无界数集 . x?注： 1）上（下）界若存在，不唯一；2）上（下）界与S 的关系如何？看下例：例 1 讨论数集 N+=n|n 为正整数 的有界性 .分析：有界或无界 上界、下界？下界显然有，如取 L=1；上界似乎无，

6、但需要证明. 7数学分析上册教案第一章 实数集与函数石家庄经济学院数理学院解：任取 n0N+，显然有 n01，所以 N+有下界 1；但 N+无上界 .证明如下：假设 N+有上界 M, 则 M>0 ，按定义，对任意 n0N+，都有 n0M，这是不可能的，如取 n0=M+1, 则 n0 N+，且 n0>M.综上所述知： N+是有下界无上界的数集，因而是无界集.例 2 证明：（ 1）任何有限区间都是有界集；（ 2）无限区间都是无界集；（ 3）由有限个数组成的数集是有界集 .问题：若数集 S 有上界，上界是唯一的吗？对下界呢？(答：不唯一 ，有无穷多个).三、 确界与确界原理1、定义定义

7、2（上确界） 设 S 是 R 中的一个数集，若数 满足： (1) 对一切 x S,有 x （即 是 S 的上界） ; (2) 对任何 <，存在 x0S，使得 x0>（即 是 S 的上界中最小的一个），则称数 为数集 S 的上确界，记作=supS.定义 2'（上确界的等价定义）设E 是 R 中的一个数集，若数M 满足：1） M 是 E上界，2） ? >0,? x' E 使得 x'>则称数 M 为数集 E 的上确界。定义 3（下确界） 设 S 是 R 中的一个数集，若数 满足：（ 1）对一切 xS,有x（即 是 S 的下界）；（ 2）对任何 >

8、，存在 x0S，使得 x0<（即 是 S 的下界中最大的一个），则称数 为数集 S 的下确界，记作=infS.定义 3'（下确界的等价定义）设S 是 R 中的一个数集，若数满足：1） 是 S 下界；2） ? 0， x0S,有 x0 +.则称数 为数集 S 的下确界。上确界与下确界统称为确界.注： 非空有界数集的上（或下）确界是唯一的.命题 设数集 A 有上（下）确界，则这上（下）确界必是唯一的.8 M- .数学分析上册教案第一章 实数集与函数石家庄经济学院数理学院证明 设 =supA， '=supA且 '，则不妨设 <' =supA? xA 有 x

9、'=supA? 对 <'，? x0A 使 <x0，矛盾 .例 supR-=0 ，sup ? n? 1 ， =1inf? =+ +nZn+1n+1nZ? 2? n E=-5,0,3,9,11 则有 infE=-5.开区间 (a,b)与闭区间 a,b 有相同的上确界b 与下确界 a.例 3设 S 和 A 是非空数集，且有 S? A. 则有 supSsupA, infS infA.例 4设 A 和 B 是非空数集 . 若对 ? x A 和? yB,都有 xy,则有supA infB.证明 ? y B, y 是 A 的上界 , ? supA y?. supA 是 B 的下界

10、 , ? supA infB.例 5 A 和 B 为非空数集 , S=A B. 试证明 : infS=min infA , infB .证明 ? x S,有 xA 或 xB, 由 infA 和 infB 分别是 A 和 B 的下界 ,有x infA或 x infB.? x min infA , infB .即 min infA , infB 是数集 S 的下界 ,? infS min infA , infB 又. S? A, ? S 的下界就是 A 的下界 ,infS 是 S 的下界 , ?infS 是 A 的下界 , ? infS infA;同理有 infS infB.于是有 infSmin

11、 infA , infB .综上 , 有 infS=min infA , infB .1、集与确界的关系 : 确界不一定属于原集合 . 以例 3为例做解释 .2、确界与最值的关系 : 设 E 为数集 .（1）E 的最值必属于 E, 但确界未必 , 确界是一种临界点 .9数学分析上册教案第一章 实数集与函数石家庄经济学院数理学院（2） 非空有界数集必有确界 (见下面的确界原理 ), 但未必有最值 .（3） 若 maxE 存在 , 必有 maxE=supE. 对下确界有类似的结论 .3、确界原理 :定理 1(确界原理 ) 一个非空的，有上（下）界的集合，必有上（下）确界.这里我们给一个可以接受的说

12、明 .E? R，E 非空， ? x E，我们可以找到一个整数p，使得 p 不是 E 上界，而 p+1 是 E 的上界 .然后我们遍查 p.1,p.2, ,p.9和 p+1，我们可以找到一个 q0，0q09，使得 p.q0 不是 E 上界， p.(q0+1)是 E 上界，如果再找第二位小数 q1， ,如此下去，最后得到 p.q0q1q2 ，它是一个实数，即为 E 的上确界 .证明 （书上对上确界的情况给出证明，下面讲对下确界的证明）不妨设S 中的元素都为非负数，则存在非负整数n，使得1） ? x S，有 x>n；2）存在 x1S，有 x n+1；把区间 (n,n+1等分，分点为n.1， .2， ,.9, 存在 n1，使得1） ? S，有； x>n.n1；2）存在 x2S，使得 x2 n.n1+再对开区间 (n.n1,n.n1+10110 等分，同理存在n2，使得1）对任何 xS，有 x>n.n1n2；x n.n1n2+2）存在 x2，使