平面向量在解析几何中的应用与求解策略

1、平面向量在解析几何中的应用与求解策略一、利用向量，可以很方便地解决有关平行、垂直、距离等相关问题，其基本理论是：b（一）、直线的方向向量：直线 L 的方向向量为m=（ a,b),则该直线的斜率为k= a（二）、利用向量处理平行问题：,y=(x,y对非零向量 a =(x1), b2),a b 的充要条件是：有且仅有一个12b0) 的充要条件是 ?x1y2-x 2y1=0；a =b ；亦即 a b ( a b（三）、利用向量求角： 设 a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2 ),则两向量 a 、b 的夹角：cos= cos =|a |b1212=x x+y y其特殊情况即为垂直问题：对非

2、零向量a =(x 1,y 1),b2222x1 +y1x2 +y2=(x 2,y 2),x1x2- y1y2=0；a b 的充要条件是a b =0?则有 | 222；（四）、利用向量求距离： 设 a =(x,y),a |=a =x +y若 (,y1),(x2,y2),(x1x2 )2( y1y2 )2则 | AB|=A x1B二、典例分析：【题 1】、点 P（-3,1 ）在椭圆 x2y21(ab0) 的左准线上 .a2b2y=-2反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为:()过点 P 且方向为 a =(2,-5) 的光线，经直线（ A）3（B） 1(C)2（D） 13322所以 KPQ5

3、, 则 l PQ ; y15 ( x3) ； 解析 ：如图 , 过点 P（ -3 ，1）的方向向量 a =(2,-5);22即 LPQ ;5x2 y13 ;联立：5x2y13得Q(9 ,2) ， 由光线反射的对称性知：K QF15y252所以 LQF; y259)，即 LQF1 :5x2y50 ; 令 y=0, 得 F （ -1 ， 0 ） ; 综上所述得：c=1 ，( x1251a 23,则 a3 ; 所以椭圆的离心率ec13 .故选 A。ca33=(2,-5)，则立即有直线的斜率为 点 拨 ： 本 题 中 光 线 所 处 直 线 的 方 向 向 量 是 aK PQ5 ,从而有 l PQ方程

4、为 : y15 ( x3) 。22【题 2 】设椭圆 x2y21 上一点 P 到左准线的距离为10， F 是该椭圆的左焦点，若点M 满足2516OM1OF)，则 |OM |(OP2解：依据椭圆的第二定义则有：|PF|=6 ，再由第一定义则|PF |=4 ；由于OM1 (OPOF ) ，由向量加法的平行四边形法则，则点M处于 PF 的中点2处，故由中位线定理可知|OM | 2。点拨 ：本题中的向量条件OM1 (OPOF ) ，抓住向量加法的平行四边形法则，从而转化得出点M2处于 PF 的中点位置。【例题 3】已知 A,B 为椭圆 x2y2x2y21的公共顶点 ,P,Q 分别为双曲线和椭a2b21

5、(ab0) 和双曲线 a2b2 R,|1), 设 AP,BP,AQ,BQ斜率分别为 k1,k 2,k 3,k 4, 求圆上不同于 A,B 的动点 , 且有 AP+BP=( AQ+BQ)(证 :k 1 +k2+k3+k 4 为一个定值 .解、点 A(-a,0) ； B(a,0) ；由 AP+BP=( AQ+BQ), 依据向量加法的平行四边22x1y1形法则 , 则有 O、 Q、 P 三点共线；设 P(x1,y 1) 、Q（ x2， y2）, 则 a2 -b2 =1,22a22y1y12x1y12b2x1则 x1 -a=2 y1； k 1+k 2 =1+1=122=2 y1；bx +ax -ax-

6、aa-2b 2x2x1x2同样有 k3+k 4=2 ；由于=， 所求的定值为 0。ay2y1y2 , 从而转化得出了O、Q、 点拨：本题中的向量条件 : AP+BP=( AQ+BQ)，通过向量加法的平行四边形法则P 三点共线；然后再继续进行推理、求解，从而得出结论。【例题 4】(2007年全国高考理科12 题) 设 F 为抛物线 y24x 的焦点， A， B， C 为该抛物线上三点，若 FA FB FC0，则 FAFBFC （）A 9B 6C 4D 3解：抛物线的焦点 F（ 1，0）设 A 、B、C 三点的坐标分别为( x1 , y1 ) 、( x2 , y2 ) 、( x3 , y3 ) ；

7、则有 FA=( x11, y1 ) ， FB=(x21, y2 ) ， FC=( x3 1, y3 ) ， FAFBFC0 ； x1 1 + x21 + x31 =0 ； x1+x 2+x3=3, 又 由 抛 物 线 的 定 义 可 知FAFBFCx 1+1+x2+1+x3 +1=6，从而选（ B) 。点拨：本题中，向量条件FAFBFC0 ；利用向量的坐标运算规律进行转化后可得x1+x 2+x3=3, 再由于所求均为焦半径，从而利用抛物线的定义马上可得到所求之答案为（B）。【例题5】、（ 2004 年全国高考）给定抛物线C：y24x,F 是C 的焦点，过点F的直线 l与 C相交于 A、 B 两

8、点 . （）设 l 的斜率为1，求 OA与OB 夹角的大小；（）设 FBAF, 若 4,9 ，求 l 在 y 轴上截距的变化范围 .解：（） C的焦点为 F（ 1， 0），直线 L 的斜率为1，所以 L 的方程为 yx1.将 yx 1 代 入 方 程 y 24x ， 并 整 理 得 x26x 10. 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), 则 有x1 x26, x1 x21.OA OB (x1 , y1 ) ( x2 , y2 ) x1 x2y1 y22x1 x2( x1x2 ) 13.| OA |OB |x12y12x22y22x1 x2 x1 x24( x1x2 )16

9、41.cos(OA,OB)OA OB3 14所以与OB夹角的大小为arccos3 14 .| OA |OB |.OA4141（）由题设 FBAF得 ( x21, y2 )(1x1 , y1 ), 即x2 1(1x1 ),y2y1. 又由于点 F 为抛物线的焦点， 则有 | FB | AF | 依据抛物线的定义有： x +1=(x+1) ； 联立方程21和可求得 x1=11） 或求得点 B( ,2), ；又 F（ 1，0），则可得直线L 的；则点 A（， 2方程为：(1) y 2( x1)或(1) y2(x1), 当 4,9 时， l在方程 y 轴上的截距为 2或2, 由 21212,可知 2在

10、 4 ， 9 上是递减的，1111 3214,4213 ,直线 L 在 y 轴上截距的变化范围为4 ,3 3,4.43343443点拔：本题主要是将向量相等的条件FBAF ，转化为向量坐标关系等式：( x2 1, y2 )(1x1, y1 ), 即x21(1 x1 ),A 的坐标数值，再往下进行转y2y1.然后可以此去求出交点化推理，从而使问题得以解决。【例题 6】（2007年湖南高考理科20 题）已知双曲线 x2y22 的左、 右焦点分别为 F ， F ，过点 F122的动直线与双曲线相交于A，B 两点（I）若动点 M 满足 FMFA FBFO （其中 O 为坐标原点） ，求点 M 的轨迹方

11、程； （ II ）在 x 轴1111上是否存在定点C ，使 CA CB 为常数？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由解：由条件知F1(2，0) ， F2 (2，0) ，设 A(x1，y1) ， B( x2， y2 ) （ I ）设 M ( x， y) ，则， ， ，由F M ( x 2 y)F A ( x 2 y )F B ( x 2 y)FO (20)11111221x 2 x1x2，x1x2，F MF AF BF O6x 4当 AB不与x轴垂直时，设直线 AB即1111得yy1y2y1y2y的方程是 yk (x 2)( k1)代入 x2y22有 (1k 2 ) x24k 2 x(

12、4k 22)0则 x1， x2 是上述方程的两个实根，所以x1x24k2 yy2k( xx24)k4k 244k 由得k 2111k1k21x44k 2 ； y4k ；当 k0 时， y0 ，由得，xy4k ，将其代入有k 21k 214x4y4 y( x4)22y整理得( x 6)y4当 k0 时，点 M 的坐标为(4，0)，满足上( x 4)2(x 4) 2y2y21述方程当 AB 与x轴垂直时，x1x22，求得M(80)，也满足上述方程故点M 的轨迹方程是，( x6)2y24 （ II ）假设在 x 轴上存在定点点C ( m，0) ，使 CA CB 为常数，当 AB 不与 x 轴垂直时，

13、由（ I ）有x1x24k21， x1x24k 22 于是k 2k 21CA CB( xm)( xm)k 2 (x12)( x22)(k 2 1) x1 x2(2k 2m)( x1x2 )4k 2m212(k21)(4 k22)4k2 (2 k2m)4k 2m22(12m)k 22m22(12m)44mm2 k 2 1k 2 1k21k21因为 CA CB 是与 k 无关的常数，所以44m0 ，即 m 1，此时 CA CB =1当AB与x轴垂直时，点A，B的坐标可分别设为， 此 时(22)(22)CA CB(，12，)(12)1故在 x 轴上存在定点C (1，0) ，使 CA CB 为常数点拨

14、：本题中的向量条件的转化，关键是利用向量坐标的运算规律去加以运用与转化！【例题 7】设过点 P( x, y) 的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A, B 两点，点 Q 与点 P 关于y 轴对称， O 为坐标原点，若BP2PA 且 OQ AB1 ，则点 P 的轨迹方程是( )A 3x23y21( x0, y0)B3x23y21(x0, y0)C 3 x223 x223 y21(x0, y0)D3y 21(x0, y0)22解：设P（ x， y），则Q（ x ， y ），又设A（ a， 0）， B（ 0 ， b ），则 a0 ， b0 ，于是（ ， ）， （ ， ），由 BP2PA 可

15、得 a 3x， b 3y，BPx yb PAa xy2所以 x0，y0 又 AB （ a，b）（ 3 x，3y），由 OQ ?AB 1 可得 3 x 23y 21( x 0, y 0)22故选 D点拨：本题中的向量条件的转化，关键也是利用向量坐标运算规律去加以运用与转化！【例题 8】已知两点 M（ 2，0）、N（ 2，0），点 P 为坐标平面内的动点， 满足 | MN | | MP | MN NP0，则动点 P（ x， y）的轨迹方程为（）（ A） y 28x（B） y28x（C） y24 x（ D） y 24x解答、设 P(x, y) ， x0, y0，M (2,0), N (2,0) ，

16、MN4；则 MP( x 2, y), NP( x2, y)由 MNMP MNNP0，则 4( x2) 2y24( x2)0，化简整理得 y28x 所以选 B点拨：本题中的向量条件的转化，关键还是利用向量坐标运算规律去加以运用与转化！【例题 9】已知点 M（ 2，0），N（ 2，0），动点 P 满足条件 |PM | |PN |= 2 2 ，记动点 P 的轨迹为 W.（）求 W 的方程；（）若 A ，B 是 W上的不同两点， O 是坐标原点，求OA OB 的最小值 .解：（）由 |PM| |PN|=2 2知动点 P的轨迹是以M , N 为焦点的双曲线的右支，实半轴长a2 ；又半焦距c=2 ，故虚半

17、轴长bc2a22；所以 W 的y方程为 x2y21, x2MHP22x（）设 A ， B 的坐标分别为 ( x1 , y1 ) ,( x2 , y2 ) ；当 AB x 轴时 , x1x2 ,OF从而 y1y2 , 从而 OA OB x1 x2y1 y2x12y122. 当 AB与 x 轴不垂直时 , 设直线 AB 的方程为 ykxm , 与 W的方程联立 , 消去 y 得2km2 ,22 ,所以(1k2 )x22kmxm220. 故 x1x2x1 x2m21kk1OA OBx1x2y1 y2x1 x2(kx1m)( kx2m)(1k 2 ) x1 x2km(x1x2 ) m2(1 k2 )(

18、m22)2k2 m2m22k 2224. 又因为 x1x20,所以k 211 k 2k 2 1k21k210 , 从而 OA OB2.综上 , 当 AB x 轴时 ,OA OB 取得最小值2.点拨：向量条件OA OBx1x2y1 y2 在综合题中的转化是经常要用到的，它实质是向量坐标运算规律的应用与转化。【例题 10】（ 2006 年辽宁卷） 已知点 A(x1, y1 ) , B( x2 , y2 ) ( x1 x20) 是抛物线 y22 px( p0) 上的两个动点,O是坐标原点,向量OA,OB满足 OAOBOA O.设B圆C的方程为x2y2( x1x2 )x ( y1 y2 ) y 0(I

19、)证明线段 AB 是圆 C 的直径 ;(II)当圆 C的圆心到直线x-2y=0 的距离的最小值为时， 求 P的值。【解析】 (I)OAOBOAOB ,(OAOB )2(OAOB) 2 ；整理得 :OA OB0x1x2y1 y20 ；设 M(x,y)是以线段 AB为直径的圆上的任意一点,则 MA MB 0即( xx1 )( xx2 )( yy1)( yy2 )0 ；整理得 :x2y2( xx) x( yy) y01212故线段 AB 是圆 C 的直径xx1x2y12 y22(II)解 : 设圆 C 的圆心为 C(x,y),则2；22y1y12 px1 , y22 px2 ( p 0) x1 x2

20、4 p2yy22又因 x1 x2y1 y20 x1 x2y1 y2y1 y2y12 y2 2； x1 x20, y1 y20 y y24 p 24p21xx1x21( y12y22 )1( y12y222 y1 y2 )y1 y21( y22 p2 ) ；所以圆心的轨迹方程为24 p4 p4 ppy2px2 p2 ；设圆心 C 到直线 x-2y=0的距离为 d, 则| x 2y | 1 ( y22p2 ) 2 y | y 22 py 2 p2 | | ( y p)2p2 |dp555 p5p当 y=p 时 ,d有最小值p , 由题设得p25p2 .555点拨：本小题考查了平面向量的基本运算，圆

21、与抛物线的方程、点到直线的距离公式等基础知识，以及综合运用解析几何知识解决问题的能力。【例题 11】（ 2006 年天津卷） 如图，以椭圆 x2y 21 a b 0 的中心 O 为圆心，分别以 a 和 b 为a2b 2半径作大圆和小圆。过椭圆右焦点F c,0 cb 作垂直于 x 轴的直线交大圆于第一象限内的点A 连结OA 交小圆于点 B 设直线 BF 是小圆的切线 （ 1）证明 c2ab，并求直线 BF 与 y轴的交点 M 的坐标；（ 2）设直线 BF 交椭圆于 P 、 Q 两点，证明 OP OQ1 b2 2 证明：（）由题设条件知，RtOFA RtOBF 故 OFOB ，即 cb ；OAOF

22、ac因此， c2ab ；在 RtOFA ，22a222ab. 在 RtOFA中，FA OAOFcb.因此， cFA OA2OF 2a2c2b .于是，直线OA的斜率koab. 设直线 BF 的斜率为 k ，则 k1cBF与 y 轴的交ckoa. 这时，直线b点为 M (0, a) ；( ) 由（），得直线 BF得方程为 ykxa,且 k 2c2abab2b2b由已知，设 P(x1, y1 ) 、 Q(x2 , y2 ) ，则它们的坐标建立方程组x2y21y ，并整理得 (b2a2k 2 ) x22a3kxa4a2b2a2b2；由方程组消去0ykx a由 式 、 和 ； x1 x2a4a2 b2a2 (a2b2 )a3b2； 由 方 程 组 消 去 x ， 并 整 理 得b2a2 k222 aa3b3b ab(b2a2k 2 ) y 22ab2 ya2 b2a2b2k 20a22(1k2)a2b2 (1 a )2 2(ba)由式和，y1 y2bba bb2a2k222 ab3a3bab综上，得到 OP OQx1 x2y1 y2a3b2a2b2 (b a)a2b3a3b3a3b3a3b3注意到 a2abb2a 2c2b22b2，得OP OQa2 b3(aa2b32b2a2 bac2b)a(a2b2) 1(a2ab)1(a2c2 )1b2a3b3b)2