对立体几何中若干错解的剖析.

1、对立体几何中若干错解的剖析丁勇在立体几何的学习中， 倘若对基本的概念认识不清， 缺乏一定的空间想象能力， 对问题的思考不够严谨，就很容易导致解题的失误，下面举例说明。例 1.已知空间四边形ABCD的对角线AC10cmBD 6cm MN分别是AB、，、CD 的中点， MN 7cm 。 求异面直线 AC 与 BD 所成的角。A错解取 BC中点 E，连结 EM 、 EN ，因为 M 、 N 、 E分别为 AB、CD、 BC的中点，M所以MEAC且ME1 AC 5cm 。 NE BD 且2BDNEN1 BD 3cm 。 MEN 为异面直线 AC 与 BD 所成的角。E2在 MEN 中，由余弦定理得 c

2、osMENME 2NE 2MN 25232721 ，所2ME gNE2532以MEN120 ，所以异面直线AC 与 BD 所成的角为120 。剖析 上述解题过程中没有注意到两条异面直线所成的角的范围是(0 ,90 。所以异面直线 AC 与 BD 所成的角为 180MEN60 ，例 2.把长、宽分别为4、3 的长方形 ABCD 沿对角线 AC 折成直二面角，求顶点B 和D 的距离。D错解 如图，取 AC 的中点 O，连结 DO 、 BO，因为 AB4， AD 3，所以 BO= DO = 5 ，252AOC由勾股定理可求得 BD。2剖析 上述错解是由于对二面角的平面角理解不深造成的。B事实上，由于

3、 DO 、 BO 与棱 AC 不垂直，BOD 并不是二面角的平面角，也不是直角。DDCNMNMACABB如图过点 B 作 BMAC，过点 D作DNAC ， BM ， DN 为两条异面直线，在 RtABC ， BM gAC ABgBC ，因为 AB4, BC 3, AC 5, 所以 BM12，同理129, 同理 AN957 ,DN，又 BC2ACgCM , 所以 CM，而 MN AC2CM5555应用异面直线距离公式 EF2d 2m2n22mn cos去求 BD，这里，二面角BACD 为直二面角，BM 与 DN 的夹角90 ， EF = BD ， dMN7，5mnBMDN12，所以 BD 2MN

4、 2BM 2DN 2337,所以 BD337,故5255B和D的距离 BD3375。例 3.矩形ABCD中，AC2 2ABBC，沿对角线AC折起，使ABC和ADC，所在平面互相垂直，此时BD 的长为5，求 AB 的长。错解 作 BEAC于E， DFAC于F，连结 DE ，BF， B设 ABx, BCy ，在ABC 中， AB 2BC 2AC 2，则x2y28 ，即 y28x2 。 CEFA由等面积公式 BEDFxy, CFAEx2,2222DEFAC2AE2 22x24 x2, 在DEF 中， DE 2EF 2DF 2,222BD 2BE 2DF 2EF 22BE2EF2,即52( xy )

5、2( 4 x2 )2 , 把 代 入 上 式 得222x48x212 0, 所以 x26 或 x22，即 AB6 或 2 剖析 错解忽略了题中所给的条件AB BC ，即 x y 。因而 x26 时， y22 不符合 x2 y2 ，所以 x22，即 AB2 。例 4.四棱锥 PABCD ，底面是边长为 a 的正方形，平面 PCD平面 ABCD ，PA 、PC 与底面所在平面所成角分别为60和 30 。求棱锥的高。PPDCOCBOBDAA（甲）（乙） 错解 因为平面 PCD平面 ABCD ，所以过 P 作 POAC于O，则OP平面 ABCD 。（如图甲）因为PAO 60 ,PCO30 ,设OPh

6、，则 OAOPgcot 603h,3OCgo3h,所以由OAOC AC2a 得32a ， 所 以OP cot 30h 3h3h6 a 。所以所求棱锥的高为6 a 。44 剖析 题目并未说四棱锥 PABCD 是正棱锥，因此，顶点P 在底面上的射影不一定在底面多边形的内部（如图乙） 。正确作图是解几何题的关键，它能引导我们的思路，所以作图时要十分注意。若 O在 AC 上，由 OA OCAC2a 得3 h3h2a ，所以 h6 a 。34若 O 在 AC 的延长线上时，则由OAOCAC2a 知，3h32a ，h3所以 h6 a ,故棱锥的高为6 a 或6 a 。242例 5. 正三棱柱的底面的一边与

7、侧棱都为 a ，过底面的一边与上下底面中心连线的中点作棱柱的截面，求截面的面积。EA 'C 'A 'HGC 'O 'O 'FB 'B 'EPPACACOODDBB（甲）（乙） 错解 设上下底面中心为O 、O ' 。 P 为 OO' 连线的中点， D 为 AB的中点，连结 DP 并延长交 CC'于一点 E ，则ABE 即为所求的截面，如图（甲）。因为 EC DC 3,即OPOD 1EC3a 。所以 ED(3a)2(3a)23a 。所以 S ABE13a2 。2222 剖析 上述解答，似乎没有毛病。但仔细检查不

8、难发现，EC3 a aCC ' 。这说2明 E 点不应落在 CC '内，而应落在 CC '的延长线上，见图（乙） 。设 DE 交上底面于点 H ，过 H 点作 GF ，使得 GF A ' B ' ，则等腰梯形 AGFB 才是所求的截面。因为 EC'3，又 EC'EHGF，所以 GF1AB1a, HD2DE23a ，EC1ECEDAB3333所以 S梯形 AGFB1 (a1 a)g2 3a4 3a2 。即所求棱柱的截面面积为43a2 面积单位。23399例 6. 在半径为15 的球内有一个底面边长为12 3 的内接正三棱锥，求此正三棱锥的体

9、积 . 错解 如（图一）所示，球心O 的位置， OAOBOCOD R15 。 BCD 是边长为 123 的正三角形，它的中心为H 。 H 也是 A 点和 O 点在平面 BCD 上的射影。HBHCHD23123 12, 所以 OHOB2HB 2152122932所以三棱锥 ABCD 的高 h91524 ，又 S BCD3 (12 3)21083.4所以三棱锥 ABCD 的体积 VA124864 3.BCD108 33 剖析 上面的解法只考虑了三棱锥A BCD 的顶点 A 与球心 O 在平面 BCD 的同侧，而遗漏了在异侧的情况。如（图二）所示，三棱锥 ABCD 的高 h OAOH159 6 。所以