函数可积与存在原函数的关系

1、.函数可积与存在原函数的关系本文在区间 a,b上讨论函数存在定积分与存在原函数的关系。得出的结果是两者之间没有必然联系， 存在定积分不一定存在原函数，存在原函数也不一定存在定积分。本文主要给出两个反例。一、存在定积分但不存在原函数的例子定义函数如下：0, x0,1/ 2) (1/ 2,1f ( x)1/ 21, x该函数显然有界， x=1/2 为其唯一的间断点（而且是第一类的），因而可积，1f ( x)dx0 。但因为其有第一类间断点，所以不存在原函数（这个结论是利用0导函数连续性定理得出来的，关于这个定理见本文附录）。可能有人会想到积分上限函数，它的积分上限函数不是原函数吗？我们看看它的积分

2、上限函数，容易求得xF ( x)f (t )dt00显然它的导数并不是 f(x)，而是 f(x)在 x=1/2 处作连续开拓后的函数。 关于积分上限函数和原函数之间的关系问题， 在学了实变函数这门课后将会变得很简单， 这里不再深入讨论。二、存在原函数但不存在定积分的例子。定义函数如下：2x sin 12 cos 1,0 x 1f (x)x 2xx20, x0首先证明，这个函数存在原函数，我们指出，下面这个函数就是它的原函数：F (x)x2 sin 1,0 x 1x20, x 0为此目的，只需证明 F ' ( x)f (x) 对任何 x0,1 成立，而 0<x1 时该式的成立是显然

3、的，关键是证明 F '(0)f(0) ，这里的 F ' (0) 要理解为单侧导数。因为limF ( x) F (0)lim xsin10，这表明 F '(0) 存在，并且 F '(0)f (0) ，这就证x0x2x 0x 0.明了 F ( x) 是 f ( x) 在原函数，即 f ( x) 在原函数存在。现在来考虑 f (x) 的定积分是否存在，其实容易看出它在闭区间0,1 无界，因为任意0 ，函数 f (x) 在区间 (0,)无界，在这个区间上， 2x sin 12 是无穷小x量和有界量的乘积，是无穷小量，但2 cos 12 这一项却是在正无穷与负无穷之xx间

4、 反复 振动 的 量， 例如 取 x xn1，则其值为1，但若取2n2n2x yn1，则其值为 1( 21)， 只 要 n充分大，便可使(2n1)2nxn , yn(0, ) ，同时 f ( xn ) , f ( yn ) 却可以大于任何预先给定的正数。这就是说，任意0 ，函数 f ( x) 在区间 (0, )无界，从而在闭区间 0,1 无界，而我们知道闭区间上的无界函数是不可积的，所以f ( x) 的定积分不存在。综合上面的结果， 函数在闭区间上存在定积分与存在原函数没有必然联系。下面是关于导函数连续性定理的资料：导函数连续性定理 ：若函数 f ( x) 在 x0 的邻域 U (x0 ) 内

5、连续，在 x0 的0空心邻域 U ( x0 ) 内可导，并且导函数f ' ( x0 ) 在 x0 处存在极限 a ，lim f '(x0 ) a ，那么函数 f ( x) 在 x0处存在导数，并且 f ' (x0 ) a 。x x0证明：设 xx0 ，xU ( x0 ) ，则 f (x) 在闭区间 x, x0 上连续，开区间 (x, x0 )内可导，于是由拉格朗日中值定理得f ( x)f ( x0 ) ，其中( x, x0 )xx0f ' (在上式中令 xx0（即 x 从左侧趋向 x0，此时也从左侧趋向 x0 ），得到f (x)f (x0 )lim f ' ( )a ，即 f'( x0 )alimxx0x x0x x0.这表明 f ( x) 在 xx0 处左导数存在，且等于 a ，同理可证明右导数存在，也等于 a ，从而f ( x) 在 x x0 处存在导数，且等于 a 。注：条件中 f (x) 在 x0 处的连续性不可缺， 因为拉格朗日中值定理要求闭