全等三角形辅助线做法课件讲义1.doc

1、龙文教育全等三角形问题中常见的辅助线的作法巧添辅助线一倍长中线【夯实基础 】中小学 1 对 1 课外辅导专家例： ABC 中， AD是 BAC 的平分线，且 BD=CD ，求证 AB=AC 方法 1：作 DE AB于 E，作 DFAC于 F，证明二次全等方法 2：辅助线同上，利用面积A方法 3：倍长中线 AD【方法精讲 】常用辅助线添加方法倍长中线BCDAABC 中AAD 是 BC 边中线BCDBCDEAA方式1：延长AD到E，使 DE=AD ，连接 BE方式 2：间接倍长FBDCE作 CFAD于 F，M作 BE AD的延长线于 EDBC连接 BEN延长 MD到 N，使 DN=MD，连接 CD

2、【经典例题 】例 1： ABC 中， AB=5 ，AC=3 ，求中线 AD 的取值范围例 2：已知在 ABC 中，AB=AC ，D 在 AB 上， E 在 AC 的延长线上， DE交 BC 于 F，且 DF=EF，求证： BD=CEADBC FE例 3：已知在 ABC 中， AD 是 BC 边上的中线， E 是 AD 上一点，且 BE=AC ，延长 BE 交 AC 于F，求证： AF=EFAF提示：倍长 AD 至 G，连接 BG，证明 BDG CDA 三角形 BEG 是等腰三角形EBDC龙文教育教务处龙文教育例 4：已知：如图，在 ABC 中， AB AC ，D、E 在 BC上，且DE=EC，

3、过 D作 DF / BA 交 AE于点 F，DF=AC.求证： AE 平分BAC中小学 1 对 1 课外辅导专家AF提示：方法 1：倍长 AE 至 G，连结 DG方法 2：倍长 FE 至 H，连结 CHBDEC第1 题图A例 5：已知 CD=AB ， BDA= BAD ， AE 是 ABD的中线，BEDC求证： C=BAE提示：倍长 AE 至 F，连结 DF证明 ABE FDE（SAS）进而证明 ADFADC（SAS）【融会贯通 】1、在四边形 ABCD 中， AB DC，E 为 BC边的中点， BAE= EAF， AF 与 DC 的延长线相交于点 F。试探究线段 AB 与 AF 、CF 之间

4、的数量关系，并证明你的结论A提示：延长 AE、 DF交于 G证明 AB=GC、 AF=GF所以 AB=AF+FCDBECF2、如图， AD 为ABC 的中线， DE 平分BDA 交 AB 于 E，DF 平分ADC 交 AC 于 F. 求证：BECFEFAEFBCD第14 题图3、已知：如图， ABC 中， C=90 ，CM AB 于 M ，AT 平分 BAC 交 CM 于 D，交 BC 于 T，过 D 作 DE/AB 交 BC 于 E，求证： CT=BE.提示：过 T 作 TNAB于 N 证明 BTN ECDAMDBETC龙文教育教务处龙文教育中小学 1 对 1 课外辅导专家截长补短法引辅助线

5、思路：当已知或求证中涉及到线段a、b、c 有下列情况时：，如直接证不出来，可采用截长法：在较长的线段上截取一条线段等于较短线段；补短法：延长较短线段和较长线段相等，这两种方法放在一起叫截长补短法。通过线段的截长补短， 构造全等把分散的条件集中起来。例 1.如图，ABC中，ACB2B，12。求证：ABACCD证法一：（补短法）在 AB上截取 AEAC，连结 DE延长 AC至点 F，使得 AFAB在 AED和 ACD中在 ABD和 AFD中 AED ACD（ SAS） ABD AFD（ SAS） BF ACB2B ACB2F而 ACB F FDC F FDCCD CF而 AFAC CF AF AC

6、CD AB ACCD证法二：（截长法）例 2. 如图，在 RtABC中， ABAC， BAC90， 1 2，CEBD交 BD的延长线于 E，证明： BD2CE。分析： 这是一道证明一条线段等于另一条线段的 2倍的问题，可构造线段 2CE，转化为证两线段相等的问题，分别延长 BA，龙文教育教务处龙文教育中小学 1 对 1 课外辅导专家CE交于 F，证 BEF BEC，得，再证 ABD ACF，得 BD CF。1、如图， ABC 中，AB=2AC，AD平分BAC ，且 AD=BD，求证：ACD ACCB2、如图， AC BD，EA,EB分别平分 CAB,DBA， CD过点 E，DDA求证 ;ABA

7、C+BDE3、如图，已知在 ABC 内， BAC00BCA60， C40，P，Q分别在BC， CA 上，并且 AP， BQ 分别是BAC ，ABC 的角平分线。求证：BBQ+AQ=AB+BPQP4、如图，在四边形ABCD中， BC BA,ADCD，BD平分ABC ，ADC求证：AC1800ABCBDC5. 已知：如图， ABC中， AD平分 BAC，若 C=2B, 证明： AB=AC+CD.AFIE6. 已知：如图， ABC中， A=60， B 与 C 的平分线 BE,CF交于点 I ，求证： BC=BF+CE.BC龙文教育教务处龙文教育中小学 1 对 1 课外辅导专家7. 已知：如图，在正方

8、形 ABCD中， E 为 AD上一点， BF平分 CBE交 CD于 F，求证： BE=CF+AE.与角平分线有关的辅助线角平分线具有两条性质：a、对称性； b、角平分线上的点到角两边的距离相等。对于有角平分线的辅助线的作法，一般有两种。从角平分线上一点向两边作垂线；利用角平分线，构造对称图形（如作法是在一侧的长边上截取短边） 。通常情况下，出现了直角或是垂直等条件时，一般考虑作垂线；其它情况下考虑构造对称图形。至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件。（ 1）截取构全等如图 1-1 ， AOC=BOC，如取 OE=OF，并连接 DE、DF，则有 OED OFD，从而为我们证明线段、角相等创造

9、了条件。AEE D ADCOBFCF图1-1B图1-2例 1如图 1-2 ，AB/CD，BE平分 ABC，CE平分 BCD，点 E 在 AD上，求证： BC=AB+CD。简证：在此题中可在长线段BC上截取 BF=AB，再证明 CF=CD，从而达到证明的目的。这里面用到了角平分线来构造全等三角形。另外一个全等自已证明。 此题的证明也可以延长 BE与 CD的延长线交于一点来证明。自已试一试。A例2 已知：如图 1-3 ，AB=2AC， BAD= CAD，DA=DB，求证 DCAC分析：此题还是利用角平分线来构造全等三角形。 构造的方法还是截取CE线段相等。其它问题自已证明。DB图1-3AE DA例

10、3 已知：如图 1-4 ，在 ABC中， C=2B,AD 平分 BAC，求F证： AB-AC=CDE龙文教育教务处BCCBD图 1-4龙文教育中小学 1 对 1 课外辅导专家分析：此题的条件中还有角的平分线，在证明中还要用到构造全等三角形，此题还是证明线段的和差倍分问题。用到的是截取法来证明的，在长的线段上截取短的线段，来证明。练习1已知在 ABC中， AD平分 BAC， B=2 C，求证： AB+BD=AC2已知：在 ABC中， CAB=2B，AE平分 CAB交 BC于 E，AB=2AC，求证： AE=2CE3已知：在 ABC中，ABAC,AD为 BAC的平分线， M为 AD上任一点。求证：

11、 BM-CMAB-AC4 已知： D 是 ABC的 BAC的外角的平分线 AD上的任一点，连接 DB、DC。求证： BD+CDAB +AC。A（ 2）、角分线上点向角两边作垂线构全等D过角平分线上一点向角两边作垂线，利用角平分线上的点到两边距离相等的性EF质来证明问题。B例1 如图 2-1 ，已知 ABAD, BAC=FAC,CD=BC。C图 2-1求证： ADC+B=180A分析：可由 C 向 BAD的两边作垂线。近而证 ADC与 B 之和为平角。DBCE图2-2例2 如图 2-2 ，在 ABC中， A=90， AB=AC， ABD=CBD。求证： BC=AB+AD分析：过 D 作 DE B

12、C于 E，则 AD=DE=CE，则构造出全等三角形，从而得证。此题是证明线段的和差倍分问题，从中利用了相当于截取的方法。A例3 已知如图 2-3 ， ABC的角平分线 BM、CN相交于点 P。求证： BAC的平分线也经过点P。NDMFPBC图 2-3龙文教育教务处龙文教育中小学 1 对 1 课外辅导专家分析：连接 AP，证 AP平分 BAC即可，也就是证 P 到 AB、AC的距离相等练习：1如图 2-4 AOP= BOP=15 ，PC/OA，PDOA，如果 PC=4，则PD=（）A4B3C2D1BCP2已知在 ABC中， C=90，AD平分 CAB，CD=1.5,DB=2.5. 求 AC。3已

13、知：如图2-5,BAC=CAD,ABAD，CEAB，1AOD图2-4AAE=2 （AB+AD）. 求证： D+B=180。4. 已知：如图 2-6, 在正方形 ABCD中， E 为 CD 的中点， F 为 BCDEBC上的点， FAE=DAE。求证： AF=AD+CF。图 2-55 已知：如图 2-7 ，在 RtABC中， ACB=90 ,CD AB，垂足为D，AE平分 CAB交 CD于 F，过 F 作 FH/AB 交 BC于 H。求证 CF=BH。ADCEB图2-6FCEFHADB图2-7（ 3）、作角平分线的垂线构造等腰三角形从角的一边上的一点作角平分线的垂线，使之与角的两边相交，则截得一

14、个等腰三角形，垂足为底边上的中点，该角平分线又成为底边上的中线和高，以利用中位线的性质与等腰三角形的三线合一的性质。（如果题目中有垂直于角平分线的线段，则延长该线段与角的另一边相交）。A例1 已知：如图 3-1 ，BAD=DAC，ABAC,CDAD于 D，H是 BC中点。1求证： DH= （ AB-AC）2分析：延长 CD交 AB于点 E，则可得全等三角形。问题可证。DCEBH图示 3-1龙文教育教务处龙文教育中小学 1 对 1 课外辅导专家例2 已知：如图 3-2 ，AB=AC， BAC=90 ，AD为 ABC的平分线，FCE BE.求证： BD=2CE。A分析：给出了角平分线给出了边上的一

15、点作角平分线的垂线，可延长DE此垂线与另外一边相交，近而构造出等腰三角形。BC图3-2例 3已知：如图 3-3 在 ABC中，AD、AE分别 BAC的内、外角平分线，过顶点B 作 BN垂直AD,交 AD的延长线于 F，连结 FC并延长交 AE于 M。A求证： AM=ME。M分析：由 AD、AE 是 BAC内外角平分线，可得EAAF，从而有 BF/AE，所以想到利用比例线段证相等。BDCEFN 图3-3例4 已知：如图 3-4 ，在 ABC中， AD平分 BAC， AD=AB，CM1AD交 AD延长线于 M。求证： AM= （AB+AC）2分析：题设中给出了角平分线AD，自然想到以 AD为轴作对

16、称变换，1作 ABD关于 AD的对称 AED，然后只需证 DM= EC，另外由求证的结 2AEFBDnCM图3-4果 AM=1 （AB+AC），即 2AM=AB+AC，也可尝试作 ACM关于 CM的对称2FCM，然后只需证 DF=CF即可。CA练习：HIDF1已知：在 ABC中，ECGBAB=5，AC=3，D 是 BC中点， AEAB图 4-2图 4-1是 BAC的平分线，且 CEAE于 E，连接 DE，求 DE。2已知 BE、BF分别是 ABC的 ABC的内角与外角的平分线， AFBF 于 F，AEBE于 E，连接 EF分别交 AB、 AC于 M、N，求证1MN= BC2（4）、以角分线上一

17、点做角的另一边的平行线龙文教育教务处龙文教育中小学 1 对 1 课外辅导专家有角平分线时， 常过角平分线上的一点作角的一边的平行线，从而构造等腰三角形。 或通过一边上的点作角平分线的平行线与另外一边的反向延长线相交，从而也构造等腰三角形。如图4-1和图 4-2 所示。C例 4 如图， ABAC, 1= 2，求证： ABACBDCD。A1D2AB例 5 如图， BCBA，BD平分 ABC，且 AD=CD，求证： A+ C=180。BDCDC例 6如图， ABCD，AE、 DE分别平分 BAD各 ADE，求证： AD=AB+CD。EAB练习：1. 已知，如图， C=2A，AC=2BC。求证： AB

18、C是直角三角形。ABA1 2C2已知：如图， AB=2AC， 1= 2， DA=DB，求证： DCACBDA3已知 CE、AD是 ABC的角平分线， B=60，求证： AC=AE+CDEBDC龙文教育教务处龙文教育4已知：如图在 ABC中， A=90， AB=AC，BD是 ABC的平分线，求证： BC=AB+AD中小学 1 对 1 课外辅导专家ADBC(5) 、且垂直一线段，应想到、角平分线等腰三角形的中线例 6如图 7， ABC 是等腰直角三角形， BAC=90 ，BD 平分 ABC 交 AC 于点 D，CE 垂直于 BD ，交 BD 的延长线于点 E。求证： BD=2CE 。证明：延长 B

19、A ， CE 交于点 F，在BEF和BEC中， 1=2，BE=BE， BEF=BEC=90，BEFBEC， EF=EC，从而 CF=2CE。又 1+F= 3+ F=90，故 1=3。在 ABD 和 ACF中， 1= 3， AB=AC ， BAD= CAF=90 ，ABD ACF， BD=CF， BD=2CE 。注：此例中 BE 是等腰BCF的底边 CF 的中线。A（六）、借助角平分线造全等E1：如图，已知在 ABC中， B=60， ABC的角平分线AD,CE相交O于点 O，求证： OE=ODBCD2：（06 郑州市中考题）如图，ABC中， AD平分 BAC，DGBC且平分 BC， DEAB 于

20、 E， DFAC于 F. （1）说明 BE=CF的理由；（2）如果 AB=a ，AC=b ，求 AE、ABE的长.EGBCF龙文教育教务处D龙文教育中小学 1 对 1 课外辅导专家总结口诀：图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。线段垂直平分线，常向两端把线连。要证线段倍与半，延长缩短可试验。三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。龙文教育教务处龙文教育中小学 1 对 1 课外辅导专家赠送以下学习资料和倍差倍问题学习目标通过和倍、差倍问题的学习，除了掌握这类问题的解决方法以外，其重点

21、要学习画线段图。二、基础知识1.和倍问题是已知两个数的和及它们之间的倍数关系而求这两个数各是多少的应用题。 基本的数量关系： 和 ( 倍数 +1)= 较小数 ( 即 1 倍数、标准数 )2. 差倍问题是已知两个数的差及它们之间的倍数关系而求这两个数各是多少的应用题。基本公式：差 ( 倍数的差 ) 标准数 ( 一倍数 )例题解析一、和倍问题例 1：某班为“希望工程”捐款，两组少先队员共交废报纸 240 千克，第一组交的废报纸是第二组的 3 倍，问两组各交废报纸多少千克？龙文教育教务处龙文教育中小学 1 对 1 课外辅导专家小结：解答基本的和倍问题，先确定其中一个数作为标准数 (1 倍数 ) ，再

22、找出两数的和，及其相对应的倍数关系，这样就可以求出标准数，也就可求出另一个数 ( 较大数 ) 。基本的数量关系： 和 ( 倍数 +1)=较小数 ( 即 1 倍数、标准数 )练一练：NBA球星姚明到底有多高？现在已知小明和姚明的身高和是339 厘米，姚明的身高大约是小明身高的 2 倍。你能够算出来吗？例 2：哥哥原有 108 元，弟弟有 60 元，如果现在想把哥哥的钱调整到弟弟的 5 倍，弟弟应给哥哥多少钱？练一练： 妹妹有课外书 20 本，姐姐有课外书 25 本，姐姐给妹妹多少本后，妹妹课外书是姐姐的 2 倍？例 3：二个同学共做了 23 道题。如果乙同学再多做 1 题，将是甲同学做的 2 倍

23、，二个同学各做了几题？例 4：熊猫水果店运来水果 380 千克，其中苹果比梨的 3 倍还少 40 千克，水果店运来苹果和梨各多少千克 ?练一练：果园里种桃树和梨树共340 棵, 其中桃树的棵数比梨树的3 倍多 20 棵，梨树种了多少棵？例 5：三捆电线共长 273 米，其中第二根的长度是第一根长度的 2 倍，第三根的长度是第二根长度的 2 倍。三根电线各多少米？练一练：甲、乙、丙三数的和是 78，甲数比乙数的 2 倍多 4，乙数比丙数的 3 倍少 2。求这三个数。龙文教育教务处龙文教育中小学 1 对 1 课外辅导专家例 6：某小学有学生 975 人. 全校男生人数是六年级学生人数的 4 倍少

24、23 人，全校女生人数是六年级学生人数的 3 倍多 11 人. 问全校有男、女生各多少人？二、差倍问题例 1：某小学参观科普展览，第一天参观的人数比第二天多 200 人。已知第一天参观的人数是第二天的 3 倍，两天参观的各是多少人？练一练：已知甲、乙两个数的商是4，而这两个数的差是30，那么这两个数中较小的一个是多少？例 2：甲、乙两车间原来人数相等，因工作需要，从甲车间调 24 人到乙车间 . 这时乙车间人数是甲车间的 4 倍 . 甲、乙两个车间原来各有多少人例 3：四（1）班与四（ 2）班原有图书的本数一样多。后来，四（ 1）班又买来新书 118 本，四（ 2）班从本班原有书中取出 70 本送给一年级同学。这时，四（ 1）班的图书是四（ 2）班的 3 倍。求两班原有图书各多少本例 4：有大、小两猴都有一些