截长补短法证明线段的和差问题

1、“截长补短法”证明线段的和差问题典例分析河大附中桑静华线段的和差问题常常借助于全等三角形的对应边相等 ，将不在一条直线的 两条（或几条）线段转化到同一直线上实际上是通过翻折构造全等三角形 ， 目的是为了转移的边、角和已知条件中的边、角有机的结合在一起.在无法进 行直接证明的情形下，利用“截长补短”作辅助线的方法常可使思路豁然开朗，问题迎刃而解。例1、如图，已知 AC/ BD EA EB分别 平分/ CAB和/ DBA CD过点E,则AB与AC+BD相等吗？请说明理由.分析：证明一条线段等于另两条线段之和（差）常见的方法是:（1）在长线段上截取一条线段等于短线段，再证明余下的线段等于另一条短线段

2、，这种方法叫“截长法”（2）在其中一条短线段的延长线上截取另一条短线段，再证明它们与长线段相等，这种方法叫补短法D证法一：如图（1）在AB上截取AF=AC连结EF. 在厶ACEP AFE中AC =AFV =N2AE = AE ACEA AFE( SAS5 = ZC.m, .一 1 L：I1-',又亠上 1 o'-i-， 6=z D在EFB和 BDE中.6 DI«N 3 = / 4BE = BE EFBA EDB(AAS . FB=DB . AC+BD=AF+FB=AB证法二：如图(2),延长BE,与AC的延长线相交于点F/. . F "4,又34/ F=Z

3、3在厶AEFftA AEB中F = 3.1 "2AE 二 AE AEFAAEB(AAS , AB=AF BE=FE在厶BEDffiA FEC中三5 = 6IBE =FE4 "F BEDA FEC (ASA BD=FC, AB=AF=AC+CF=AC+BD构造 ABDA AED，把AB边转移到AE上,BD转移至U DE上，要证 AB+BD=AC.即可转化为证AE+BD=AE+EC, 即证明BD=EC.证明：在AC上取一点E,使AB=AE，连结DE . 在厶ABD和厶AED中，AB =AE«NBAD =NDAECBAD =AD ABDAAED (SAS). BD=DE

4、，/ B=Z AED.又/ AED=Z EDC + / C=Z B=2Z C, / EDC=Z C. ED=EC.AB+BD=AC.AE上,ABD分析2:因为/ B=2Z C,所以ABV AC, 可以在AB的延长线上取一点E,使得AE=AC, 构造 AEDACD，把AC边转移到 DC转移至U DE上，要证AB+BD=AC.即可转化为证 AB+BD=AB+BE, 即证明BD=BE.证明：在AB的延长线上取一点E,使AC=AE，连结DE .在厶AED和厶ACD中，AE =AC/BAD =DACAD = AD AEDACD (SAS).C=Z E.又/ ABC=Z E+Z BDE=2Z C=2/ BDE, Z E= Z BDE . BE=BD .ACD AB+BD=AE= AC.B分析3:若延长DB到点E,使得 AB=BE, 有 AB+BD=ED, 只要证出ED=AC即可.证明：延长DB到点E,使AB=BE，连结AE,亠则有Z EAB=Z E,EZ ABC=Z E+Z EAB=2Z E.又Z ABC=2Z C, Z E=Z C. AE=AC.又Z EAD=Z EAB+ Z BAD=Z E+Z DAC=Z C+ Z DAC=Z ADE, AE=DE. AB+BD=E